菱形（第二课时） (2).docx

菱形（第课时）1.理解并运用菱形的定义和两个判定定理进行有关的推理论证和计算.2.了解菱形的现实应用和常用判别条件.1.从菱形性质定理的逆命题出发,提出猜想,发现结论,然后给出证明,进一步理解互逆命题的意义,体会菱形的性质与判定的区别与联系.2.让学生经历探索菱形判定定理的过程,理解并掌握菱形的判定方法,积累几何学习的经验,培养学生的观察能力、动手能力,发展合情推理和演绎推理能力.1.让学生在探究过程中加深对菱形的理解,养成主动探索的学习习惯.2.通过菱形与矩形判定方法的类比,进一步体会类比的思想方法的作用.【重点】菱形的定义和判定定理的运用.【难点】探究菱形的判定条件并合理利用它进行论证和计算.【教师准备】教学中出示的教学插图和例题.【学生准备】复习菱形的定义及其性质.导入一:过渡语上节我们研究了菱形的定义与性质,现在请同学们回忆学过的内容,回答下面的问题.1.菱形有哪些性质?其中哪些是平行四边形所没有的?学生思考、交流.在学生讨论的基础上,教师以表格的形式予以梳理.图形边角对角线平行四边形对边平行且相等对角相等互相平分菱形四条边都相等,对边平行对角相等垂直且互相平分,并且每一条对角线平分一组对角2.用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉子,做成一个可转动的十字架,四周围上一根橡皮筋,做成一个四边形(如下图).提问:任意转动木条,这个四边形总有什么特征?你能证明你发现的结论吗?继续转动木条,观察什么时候橡皮筋围成的四边形变成菱形.学生结合实验发现,橡皮筋围成的四边形始终是平行四边形,当两根木条互相垂直时,这个平行四边形是菱形.设计意图引导学生复习学过的菱形的定义、性质,再用实验演示,引导学生观察,分析,提出自己的猜想,为学习菱形的判定奠定基础.导入二:过渡语前面我们研究了平行四边形,菱形的定义与性质,你能用学过的知识解决下面的问题吗?计算下列各题:(1)菱形周长为20,一条对角线的长为8,则另一条对角线的长为.(2)菱形的两条对角线分别为6,8,则这个菱形的面积为,边长为.(3)菱形的一个内角为120,一条较长的对角线的长为10,则菱形的周长为.(4)上面的计算中,用到了菱形的哪些特性?学生先独立完成,同桌交流,并检查.(1)由“菱形的四条边都相等”得边长为5,由“菱形的对角线互相垂直且平分”和勾股定理可得菱形的另一条对角线的长为6.(2)由“菱形的面积等于两条对角线乘积的一半”得菱形的面积为24,由“菱形的对角线互相垂直且平分”和勾股定理可得菱形的边长为5.(3)由“菱形的对角线互相垂直且平分”和勾股定理建立方程,计算可得菱形的边长为,周长为.(4)上面的计算中,用到的菱形特性有:菱形的四条边都相等;菱形的对角线互相垂直且平分;菱形的每一条对角线平分一组对角.提问:如果一个四边形是平行四边形,则只要再有什么条件就可以判定它是一个菱形?依据是什么?根据菱形的定义可知:一组邻边相等的平行四边形是菱形.所以只要再有一组邻边相等的条件即可.追问:要判定一个四边形是菱形,除根据定义判定外,还有其他的判定方法吗?设计意图通过计算引导学生复习学过的菱形的性质,为下面学习菱形的判定奠定基础.过渡语前面我们研究了菱形的性质,下面我们研究如何判定一个平行四边形或四边形是菱形.1.对角线互相垂直的平行四边形是菱形思路一提问:对角线互相垂直的平行四边形是菱形,你能证明这个命题的正确性吗?学生思考:这个命题的条件是什么?结论是什么?先画出图形,写出已知和求证.已知:在ABCD中,对角线ACBD于点O,如图.求证:ABCD是菱形.小组讨论,交流:可根据菱形的定义来证明这个平行四边形是菱形,由平行四边形的性质得到BO=DO,由AOB=AOD=90及AO=AO,得AOBAOD,可得到AB=AD(或根据线段垂直平分线的性质定理,得到AB=AD),最后证得ABCD是菱形.学生整理证明过程.证明:四边形ABCD是平行四边形,OB=OD,ACBD,AB=AD,ABCD是菱形.通过探究和进一步证明可以归纳得到菱形的一个判定定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.提示:此定理包括两个条件:(1)是一个平行四边形;(2)两条对角线互相垂直.用符号语言表述为:在ABCD中,对角线ACBD,ABCD是菱形.思路二请指出下列命题的条件、结论及它的逆命题,判断该逆命题的真假,并说明理由.(1)菱形的对角线互相垂直;(2)菱形的四条边都相等.师生交流、实验、猜想、证明.命题“菱形的对角线互相垂直”的条件是:四边形是菱形,结论是:对角线互相垂直.它的逆命题是:对角线互相垂直的四边形是菱形.该逆命题是假命题.如图,四边形ABCD中,对角线ACBD,显然它不是菱形.追问:“对角线互相垂直的四边形是菱形”是假命题,那么“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”是真命题,还是假命题?请说明理由.学生再分析发现:“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”是真命题.理由如下:已知:如图,在ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,ACBD.求证:ABCD是菱形.解析要证明ABCD是菱形,只要证明有一组邻边相等即可.证明:四边形ABCD是平行四边形,OA=OC(平行四边形的对角线互相平分).又ACBD,BD是线段AC的垂直平分线. BA=BC(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等).ABCD是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形).教师总结:通过大家猜想、证明,我们得到了菱形的一个判定定理.定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.根据这个判定定理,以后要判定一个四边形是菱形,只需要满足两个条件:对角线互相垂直;平行四边形.用符号语言表述为:在ABCD中,对角线ACBD,ABCD是菱形.设计意图从菱形性质定理的逆命题出发,提出猜想,发现结论,然后给出证明,让学生进一步理解互逆命题的意义,体会菱形的性质与判定的区别与联系.2.四条边相等的四边形是菱形思路一过渡语接下来,我们一起来探究菱形的另外一种判定定理.已知线段AC,分别以A,C为圆心,以大于AC的长为半径作弧,两条弧分别相交于点B,D,依次连接A,B,C,D.所得四边形ABCD是菱形,你知道其中的道理吗?学生跟着老师一起画图,各抒己见.一生介绍自己的想法:由作法知四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA,四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形).AB=AD,四边形ABCD是菱形(菱形的定义).教师引导学生经过猜想、证明,得出菱形的一个判定定理.定理:四条边相等的四边形是菱形.用符号语言表述为:四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA,四边形ABCD是菱形.设计意图通过画图,让学生从直观操作的角度去发现问题,使探究问题形象化、具体化,培养学生的形象思维,利用平行四边形的判定和菱形的定义,判定该四边形是菱形,进一步培养学生的抽象思维,本活动进一步体现了实验几何和论证几何的有机结合.思路二过渡语接下来请继续讨论上页思路二中的(2).学生讨论,交流.命题“菱形的四条边都相等”的条件是:四边形是菱形,结论是:四条边都相等.它的逆命题是:四条边都相等的四边形是菱形.该逆命题是真命题.理由如下:已知:如图,在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA.求证:四边形ABCD是菱形.解析根据菱形的定义,只需证四边形ABCD是平行四边形即可.证明:AB=BC=CD=DA,四边形ABCD的两组对边分别相等.四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形).AB=AD,四边形ABCD是菱形(菱形的定义).师:通过大家猜想、证明,我们又得到了菱形的一个判定定理.定理:四条边相等的四边形是菱形.用符号语言表述为:四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA,四边形ABCD是菱形.至此,我们得到了菱形的三种判定方法:一个定义和两个判定定理.以后同学们可以直接应用菱形的定义、定理来解决问题.设计意图从菱形性质定理的逆命题出发,提出猜想,发现结论,然后给出证明,让学生进一步理解互逆命题的意义,体会菱形的性质与判定的区别与联系.知识拓展(1)无论是定义还是判定定理,运用时一定要分清它的条件与结论.(2)用边来判定:先说明四边形是平行四边形,再说明有一组邻边相等;说明四边形的四条边相等.(3)用对角线进行判定:先说明四边形是平行四边形,再说明四边形的对角线互相垂直;说明四边形的对角线互相垂直平分.3.例题讲解过渡语接下来,我们运用菱形的判定解决一些相关的问题.(补充)如图,在ABCD中,对角线AC的垂直平分线分别与AD,AC,BC相交于点E,O,F.求证四边形AFCE是菱形.学生讨论,明确思路:已知EFAC,根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”,该题只需证四边形AFCE是平行四边形即可.学生规范板书解题过程.证明:四边形ABCD是平行四边形,AO=CO,AEFC.EAO=FCO.又AOE=COF,AO=CO,AOECOF.EO=FO.又AO=CO,四边形AFCE是平行四边形.又EFAC,AFCE是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形).解题策略当已知对角线互相垂直时,我们可以考虑先证明四边形是平行四边形,进而证得四边形是菱形.(教材例4)如图,ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且AB=5,AO=4,BO=3.求证:ABCD是菱形.师生分析:由勾股定理的逆定理可证AOB是直角三角形,得出对角线互相垂直,从而证明ABCD是菱形.证明:AB=5,AO=4,BO=3,AB2=AO2+BO2.OAB是直角三角形,ACBD.ABCD是菱形.解题策略菱形与直角三角形的知识常常结合起来运用.涉及求线段长度时,常常用到勾股定理;遇到求直角时,可用勾股定理的逆定理判定三角形是直角三角形.本节课你有哪些收获?学生归纳小结菱形的判定方法:(1)菱形的定义:有一组邻边相等的平行四边形是菱形.(2)菱形的判定定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.(3)菱形的判定定理:四条边相等的四边形是菱形.1.(2014崇左中考)下列说法正确的是()A.对角线相等的平行四边形是菱形B.有一组邻边相等的平行四边形是菱形C.对角线互相垂直的四边形是菱形D.有一个角是直角的平行四边形是菱形解析:根据菱形的定义与判定定理直接辨别各选项正确与否.由菱形的定义,可知一组邻边相等的平行四边形叫做菱形,因此,选项B正确.故选B.2.已知平行四边形ABCD,下列条件:ACBD;BAD=90;AB=BC;AC=BD.其中能使平行四边形ABCD是菱形的有()A.B.C.D.解析:对角线互相垂直的平行四边形是菱形,一组邻边相等的平行四边形是菱形,因此都可以判定平行四边形ABCD是菱形.故选A.3.用直尺和圆规作一个菱形,如图,能得到四边形ABCD是菱形的依据是()A.一组邻边相等的四边形是菱形B.四条边相等的四边形是菱形C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形D.每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形解析:根据菱形的判定定理(四条边相等的四边形是菱形)即可判定,由题中图的作法可知AD=AB=DC=BC,四边形ABCD是菱形.故选B.4.一个平行四边形的一条边长是3,两条对角线的长分别是4和2,这是一个特殊的平行四边形吗?为什么?求出它的面积解析:先根据题意画出相应的图形,如图.根据平行四边形的对角线互相平分,可求出OB及OA的长,由勾股定理的逆定理可得BOA为直角,进而得ACBD.根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”可得平行四边形ABCD为菱形.根据菱形的面积等于对角线乘积的一半可求得菱形ABCD的面积.解:这是一个菱形.理由如下:如图,ABCD中,AC=4,BD=2,AB=3,OA=AC=2,OB=BD=.OA2+OB2=22+()2=9,而AB2=32=9,OA2+OB2=AB2.AOB是直角三角形,AOB=90.ACBD.ABCD是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形).S菱形ABCD=ACBD=42=4.第2课时1.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.2.四条边相等的四边形是菱形.3.例题讲解例1例2一、教材作业【必做题】教材第58页练习第1,2,3题;教材第60页习题18.2第6题.【选做题】教材第61页习题18.2第10题.二、课后作业【基础巩固】1.下列条件中,能判定四边形是菱形的是()A.对角线相等B.对角线互相垂直C.对角线相等且互相垂直D.对角线互相垂直且平分2.下列图形中,不一定为菱形的是()A.四条边相等的四边形B.用两个能完全重合的等边三角形拼成的四边形C.一组邻边相等的平行四边形D.有一个角为60度的平行四边形3.如图所示,ABC中,E,F,D分别是AB,AC,BC上的点,且DEAC,DFAB.要使AEDF是一个菱形,在不改变图形的前提下,你需添加的一个条件是.4.木工师傅在做菱形的窗格时,总是保证四条边框一样长,你能说出其中的道理吗?【能力提升】5.已知菱形的周长为24,一条对角线长为8,求菱形的面积.6.(2015长春中考)如图,CE是ABC外角ACD的平分线,AFCD交CE于点F,FGAC交CD于点G.求证四边形ACGF是菱形.7.如图所示,DE是ABCD中ADC的平分线,EFAD交DC于F,1,2在图中已标注.(1)求证四边形AEFD是菱形;(2)如果A=60,AD=5,求菱形AEFD的面积.【拓展探究】8.如图所示,在ABC中,BAC=90,ADBC,BE,AF分别是ABC,DAC的平分线,BE和AD交于G,试说明四边形AGFE的形状.9.(2015甘南中考)如图(1),在ABC和EDC中,AC=CE=CB=DC,ACB=DCE=90,AB与CE交于F,ED与AB,BC分别交于M,H.(1)求证CF=CH;(2)如图(2),ABC不动,将EDC绕点C旋转到BCE=45时,试判断四边形ACDM是什么四边形,并证明你的结论.【答案与解析】1.D(解析:根据菱形的判定定理即可作出判断.)2.D(解析:根据菱形的判定定理作答即可.)3.AE=AF(解析:(答案不唯一)添加AE=AF或DE=DF或AD是BAC的平分线或AE=ED,AF=FD等都可以.)4.解:四条边相等的四边形是菱形.5.解:由题意知菱形的边长为6,故另一条对角线长为4,故菱形的面积为84=16.6.证明:AFCD,FGAC,四边形ACGF为平行四边形,CE是ABC外角ACD的平分线,ACF=FCG,AFCG,AFC=FCG,ACF=AFC,AF=AC,ACGF为菱形.7.(1)证明:由题意知DFAE,EFAD,四边形DAEF是平行四边形.由题意知2=AED,1=2,AED=1.AD=AE,四边形AEFD是菱形.(2)解:由于A=60,因此AED为等边三角形,DE=AE=5.连接AF与DE相交于O,则EO=,OA= =.AF=5.S菱形AEFD=AFDE=55=.8.解:四边形AGFE是菱形.理由如下:由BAC=90,ADBC,易得BAD=C,AGE=ABG+BAG,AEB=EBD+C,又ABG=EBC,AGE=AEG.AE=AG.由AF是DAC的平分线,易知AFGE且AF平分GE.同理可得BEAF且BE平分AF.AF与GE垂直且互相平分,从而可知四边形AGFE是菱形.9.(1)证明:ABC和EDC都是等腰直角三角形,且AC=CE=CB=CD,A=D=45.ACB=DCE=90,ACB-ECB=DCE-ECH,即ACF=DCH,在AFC和DHC中, AFCDHC(ASA),CF=CH.(2)解:菱形,证明如下:BCE=45,ACF=BCE=DCH=45,即ACD=135,又A=D=45,在四边形ACDM中,AMD=360-ACD-A-D=135,ACD=AMD,四边形ACDM是平行四边形.又AC=CD,四边形ACDM是菱形.1.本教案设计重点突出,设计合理,符合学生的心理接受能力.2.本教案重点突出了学生的探究新知的过程,让学生在观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程中,真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法,积累数学活动经验.菱形的判定定理学生基本掌握,但综合运用时,仍有困难,还需要一定的训练.“自主探索,合作交流”的学习方式,有助于学生思维能力的培养,今后的教学中,仍要注意学生学习方式的培养,重视学生学习的全过程,让学生真正成为课堂的主人,学习的主人.练习(教材第58页)1.(1)已知:如图(1)所示,在ABCD中,对角线ACBD于点O.求证:ABCD是菱形.证明:四边形ABCD是平行四边形,OB=OD,又ACBD,直线AC是线段BD的垂直平分线,AB=AD,ABCD是菱形.(2)已知:如图(2)所示,在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA.求证:四边形ABCD是菱形.证明:在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA,AB=CD,BC=DA,四边形ABCD是平行四边形.又AB=BC,四边形ABCD是菱形.2.解:这个平行四边形是菱形.理由如下:在ABCD中,AB=9,BD=12,AC=6,OB=OD=6,OA=OC=3.62+(3)2=92,即OB2+OA2=AB2,AOB是直角三角形,AOBO,即ACBD,ABCD是菱形,S菱形ABCD=ACBD=612=36.3.解:四边形ABCD是菱形.理由如下:如图所示,作AEBC于点E,CFAB于点F.纸条等宽,AE=CF.ABCD,ADBC,四边形ABCD是平行四边形.SABCD=ABCF=B