高考数学总复习 2.2 函数的单调性与最值课件 文 新人教B版.ppt

2 2函数的单调性与最值 考纲要求 1 理解函数的单调性 最大值 最小值及其几何意义 2 会利用函数的图象理解和研究函数的性质 1 函数的单调性 1 单调函数的定义 2 单调区间的定义如果函数y f x 在区间d上是 或 那么就说函数y f x 在这一区间具有 严格的 单调性 叫做y f x 的单调区间 增函数 减函数 区间d 2 函数的最值 思考辨析 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 在增函数与减函数的定义中 可以把 任意两个自变量 改为 存在两个自变量 2 对于函数f x x d 若x1 x2 d且 x1 x2 f x1 f x2 0 则函数f x 在d上是增函数 答案 1 2 3 4 5 6 答案 d 2 2017 温州模拟 若函数f x 2x a 的单调递增区间是 3 则a的值为 a 2b 2c 6d 6 答案 b 5 教材改编 已知函数f x x2 2ax 3在区间 1 2 上具有单调性 则实数a的取值范围为 解析 函数f x x2 2ax 3的图象开口向上 对称轴为直线x a 画出草图如图所示 由图象可知函数在 a 和 a 上都具有单调性 因此要使函数f x 在区间 1 2 上具有单调性 只需a 1或a 2 从而a 1 2 答案 1 2 方法规律 确定函数单调性的方法 1 定义法和导数法 证明函数单调性只能用定义法和导数法 2 复合函数法 复合函数单调性的规律是 同增异减 3 图象法 图象不连续的单调区间不能用 连接 方法规律 求函数最值的常用方法 1 单调性法 先确定函数的单调性 再由单调性求最值 2 图象法 先作出函数的图象 再观察其最高点 最低点 求出最值 3 换元法 对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数 再用相应的方法求最值 题型三函数单调性的应用命题点1比较大小 例3 2016 安徽皖北片第一次联考 已知偶函数f x 对于任意x r都有f x 1 f x 且f x 在区间 0 2 上是递增的 则f 6 5 f 1 f 0 的大小关系是 a f 0 f 6 5 f 1 b f 6 5 f 0 f 1 c f 1 f 6 5 f 0 d f 1 f 0 f 6 5 解析 由f x 1 f x 得f x 2 f x 1 f x 函数f x 的周期是2 函数f x 为偶函数 f 6 5 f 0 5 f 0 5 f 1 f 1 f x 在区间 0 2 上是单调递增的 f 0 f 0 5 f 1 即f 0 f 6 5 f 1 答案 a 答案 a 方法规律 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略 1 比较大小 比较函数值的大小 应将自变量转化到同一个单调区间内 然后利用函数的单调性解决 2 解不等式 在求解与抽象函数有关的不等式时 往往是利用函数的单调性将 f 符号脱掉 使其转化为具体的不等式求解 此时应特别注意函数的定义域 3 利用单调性求参数 视参数为已知数 依据函数的图象或单调性定义 确定函数的单调区间 与已知单调区间比较求参数 需注意若函数在区间 a b 上是单调的 则该函数在此区间的任意子集上也是单调的 分段函数的单调性 除注意各段的单调性外 还要注意衔接点的取值 跟踪训练3 1 f x 是定义在 0 上的单调增函数 满足f xy f x f y f 3 1 当f x f x 8 2时 x的取值范围是 a 8 b 8 9 c 8 9 d 0 8 答案 1 b 2 d 答题模板系列1确定抽象函数单调性解函数不等式 典例 12分 函数f x 对任意的m n r 都有f m n f m f n 1 并且x 0时 恒有f x 1 1 求证 f x 在r上是增函数 2 若f 3 4 解不等式f a2 a 5 2 思维点拨 1 对于抽象函数的单调性的证明 只能用定义 应该构造出f x2 f x1 并与0比较大小 2 将函数不等式中的抽象函数符号 f 运用单调性 去掉 是本题的切入点 要构造出f m f n 的形式 解析 1 证明设x1 x2 r 且x1 x2 x2 x1 0 当x 0时 f x 1 f x2 x1 1 2分 f x2 f x2 x1 x1 f x2 x1 f x1 1 4分 f x2 f x1 f x2 x1 1 0 f x1 f x2 f x 在r上为增函数 6分 2 m n r 不妨设m n 1 f 1 1 f 1 f 1 1 f 2 2f 1 1 8分 f 3 4 f 2 1 4 f 2 f 1 1 4 3f 1 2 4 f 1 2 f a2 a 5 2 f 1 10分 f x 在r上为增函数 a2 a 5 1 3 a 2 即a 3 2 12分 答题模板 解函数不等式问题的一般步骤 第一步 定性 确定函数f x 在给定区间上的单调性 第二步 转化 将函数不等式转化为f m f n 的形式 第三步 去f 运用函数的单调性 去掉 函数的抽象符号 f 转化成一般的不等式或不等式组 第四步 求解 解不等式或不等式组确定解集 第五步 反思 反思回顾 查看关键点 易错点及解题规范 温馨提醒 本题对函数的单调性的判断是一个关键点 不会运用条件x 0时 f x 1 构造不出f x2 f x1 f x2 x1 1的形式 便找不到问题的突破口 第二个关键应该是将不等式化为f m f n 的形式 解决此类问题的易错点 忽视了m n的取值范围 即忽视了f x 所在的单调区间的约束 方法与技巧1 利用定义证明或判断函数单调性的步骤 1 取值 2 作差 3 定量 4 判断 2 确定函数单调性有四种常用方法 定义法 导数法 复合函数