高考数学总复习 2.4 二次函数与幂函数课件 文 新人教B版.ppt

1 二次函数 1 二次函数解析式的三种形式 一般式 f x 顶点式 f x 零点式 f x ax2 bx c a 0 a x m 2 n a 0 a x x1 x x2 a 0 2 二次函数的图象和性质 2 幂函数 1 定义 形如 r 的函数称为幂函数 其中x是自变量 是常数 2 五种幂函数的图象比较 y x 3 幂函数的性质 幂函数在 0 上都有定义 幂函数的图象过定点 1 1 当 0时 幂函数的图象都过点 1 1 和 0 0 且在 0 上单调递增 当 0时 幂函数的图象都过点 1 1 且在 0 上单调递减 答案 1 2 3 4 5 6 答案 b 答案 c 答案 b 4 已知函数y x2 2x 3在闭区间 0 m 上有最大值3 最小值2 则m的取值范围为 解析 如图 由图象可知m的取值范围是 1 2 答案 1 2 5 已知函数f x x2 2ax 1 a在x 0 1 时有最大值2 求a的值 解析 函数f x x2 2ax 1 a x a 2 a2 a 1 对称轴方程为x a 当a 0时 f x max f 0 1 a 1 a 2 a 1 当0 a 1时 f x max f a a2 a 1 a2 a 1 2 即a2 a 1 0 当a 1时 f x max f 1 a a 2 综上可知 a 1或a 2 题型一求二次函数的解析式 例1 已知二次函数f x 满足f 2 1 f 1 1 且f x 的最大值是8 试确定此二次函数的解析式 解析 方法一 利用一般式 设f x ax2 bx c a 0 方法规律 求二次函数的解析式 关键是灵活选取二次函数解析式的形式 利用所给出的条件 根据二次函数的性质进行求解 跟踪训练1 1 二次函数的图象过点 0 1 对称轴为x 2 最小值为 1 则它的解析式是 2 2017 武汉模拟 若函数f x x a bx 2a 常数a b r 是偶函数 且它的值域为 4 则该函数的解析式f x 2 由f x 是偶函数知f x 图象关于y轴对称 b 2 f x 2x2 2a2 又f x 的值域为 4 2a2 4 故f x 2x2 4 题型二二次函数的图象与性质命题点1二次函数的单调性 例2 已知函数f x x2 2ax 3 x 4 6 1 求实数a的取值范围 使y f x 在区间 4 6 上是单调函数 2 当a 1时 求f x 的单调区间 又 x 4 6 f x 在区间 4 1 和 0 1 上为减函数 在区间 1 0 和 1 6 上为增函数 命题点2二次函数的最值 例3 已知函数f x x2 2x 若x 2 3 则函数f x 的最大值为 解析 f x x 1 2 1 2 x 3 如图 f x max f 2 8 答案 8 引申探究 已知函数f x x2 2x 若x 2 a 求f x 的最小值 解析 函数y x2 2x x 1 2 1 对称轴为直线x 1 x 1不一定在区间 2 a 内 应进行讨论 当 2 a 1时 函数在 2 a 上单调递减 则当x a时 y取得最小值 即ymin a2 2a 当a 1时 函数在 2 1 上单调递减 在 1 a 上单调递增 则当x 1时 y取得最小值 即ymin 1 综上 当 2 a 1时 ymin a2 2a 当a 1时 ymin 1 命题点3二次函数中的恒成立问题 例4 1 2017 石家庄模拟 设函数f x ax2 2x 2 对于满足1 x 4的一切x值都有f x 0 则实数a的取值范围为 2 已知a是实数 函数f x 2ax2 2x 3在x 1 1 上恒小于零 则实数a的取值范围为 方法规律 1 二次函数最值问题解法 抓住 三点一轴 数形结合 三点是指区间两个端点和中点 一轴指的是对称轴 结合配方法 根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成 2 由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键 一般有两个解题思路 一是分离参数 二是不分离参数 两种思路都是将问题归结为求函数的最值 至于用哪种方法 关键是看参数是否已分离 这两个思路的依据是 a f x 恒成立 a f x max a f x 恒成立 a f x min 跟踪训练2已知a是实数 函数f x 2ax2 2x 3在x 1 1 上恒小于零 求实数a的取值范围 解析 由题意知2ax2 2x 3 0在 1 1 上恒成立 当x 0时 3 0 适合 答案 1 c 2 a 方法规律 1 幂函数的形式是y x r 其中只有一个参数 因此只需一个条件即可确定其解析式 2 在区间 0 1 上 幂函数中指数越大 函数图象越靠近x轴 简记为 指大图低 在区间 1 上 幂函数中指数越大 函数图象越远离x轴 跟踪训练3 1 2017 河南漯河一模 已知幂函数f x m2 3m 3 xm 1为偶函数 则m a 1b 2c 1或2d 3 2 2017 江苏南京一模 已知幂函数f x m 1 2xm2 4m 2在 0 上单调递增 函数g x 2x k 当x 1 2 时 记f x g x 的值域分别为集合a b 若a b a 则实数k的取值范围是 a 0 1 b 0 1 c 0 1 d 0 1 解析 1 幂函数f x m2 3m 3 xm 1为偶函数 m2 3m 3 1 即m2 3m 2 0 解得m 1或m 2 当m 1时 幂函数f x x2为偶函数 满足条件 当m 2时 幂函数f x x3为奇函数 不满足条件 故选a 2 f x 是幂函数 m 1 2 1 解得m 2或m 0 若m 2 则f x x 2在 0 上单调递减 不满足条件 若m 0 则f x x2在 0 上单调递增 满足条件 即f x x2 当x 1 2 时 f x 1 4 即a 1 4 当x 1 2 时 g x 2 k 4 k 即b 2 k 4 k a b a b a 2 k 1且4 k 4 解得0 k 1 答案 1 a 2 d 思想与方法系列3分类讨论思想在二次函数最值中的应用 典例 12分 已知f x ax2 2x 0 x 1 求f x 的最小值 思维点拨 参数a的值确定f x 图象的形状 a 0时 函数f x 的图象为抛物线 还要考虑开口方向和对称轴与所给范围的关系 温馨提醒 1 本题在求二次函数最值时 用到了分类讨论思想 求解中既对系数a的符号进行讨论 又对对称轴进行讨论 在分类讨论时要遵循分类的原则 一是分类的标准要一致 二是分类时要做到不重不漏 三是能不分类的要尽量避免分类 绝不无原则的分类讨论 2 在有关二次函数最值的求解中 若轴定区间动 仍应对区间进行分类讨论 方法与技巧1 二次函数的三种形式 1 已知三个点的坐标时 宜用一般式 2 已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大 小 值有关的量时 常使用顶点式 3 已知二次函数与x轴有两个交点 且横坐标已知时 选用零点式求f x 更方便 2 研究二次函数的性质要注意 1 结合图象分析 2 含参数的二次函数 要进行分类讨论 3 利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧在比较幂值的大小时 必须结合幂值的特点 转化为同指数幂 再选择适当的函数 借助其单调性进行比较 失误与防范1 对于函数y a