2年模拟（新课标）高考数学一轮复习 8.5空间向量与立体几何.doc

8.5空间向量与立体几何a组20142015年模拟基础题组限时:50分钟1.(2015江西临川一中期中,19)如图,直四棱柱abcd-a1b1c1d1的底面abcd是平行四边形,dab=45,aa1=ab=2,ad=2,点e是c1d1的中点,点f在b1c1上且b1f=2fc1.(1)证明:ac1平面efc;(2)求锐二面角a-fc-e的平面角的余弦值.2.(2014山西太原一模,19)在如图所示的几何体中,四边形abcd为矩形,平面abef平面abcd,efab,baf=90,ad=2,ab=af=2ef=1,点p在棱df上(其中点p不与d、f重合).(1)若p是df的中点,求证:bf平面acp;(2)若二面角d-ap-c的余弦值为,求pf的长.3.(2014重庆六校下学期第三次诊断,20)如图,在四棱锥p-abcd中,adbc,abad,abpa,bc=2ab=2ad=4be,平面pab平面abcd.(1)求证:平面ped平面pac;(2)若直线pe与平面pac所成的角的正弦值为,求二面角a-pc-d的平面角的余弦值.4.(2014辽宁沈阳二模,19)如图,bc为圆o的直径,d为圆周上异于b、c的一点,ab垂直于圆o所在的平面,beac于点e,bfad于点f.(1)求证:bf平面acd;(2)若ab=bc=2,cbd=45,求平面bef与平面bcd所成锐二面角的余弦值.b组20142015年模拟提升题组限时:50分钟1.(2015河北重点中学期中,18)如图,在四棱锥p-abcd中,底面abcd为菱形,bad=60,q为ad的中点.(1)若pa=pd,求证:平面pqb平面pad;(2)若平面apd平面abcd,且pa=pd=ad=2,则在线段pc上是否存在点m,使二面角m-bq-c的大小为60?若存在,试确定点m的位置;若不存在,请说明理由.2.(2014北京西城一模,17)如图,在四棱柱abcd-a1b1c1d1中,底面abcd和侧面bcc1b1都是矩形,e是cd的中点,d1ecd,ab=2bc=2.(1)求证:bcd1e;(2)求证:b1c平面bed1;(3)若平面bcc1b1与平面bed1所成的锐二面角的大小为,求线段d1e的长度.3.(2014宁夏银川一中四模,19)在正三角形abc中,e,f,p分别是ab,ac,bc边上的点,满足=(如图1),将aef沿ef折起到a1ef的位置,使二面角a1-ef-b成直二面角(如图2).(1)求证:a1e平面bep;(2)求直线a1e与平面a1bp所成角大小;(3)求二面角b-a1p-f的余弦值.4.(2014辽宁鞍山二模,18)如图所示,四棱锥p-abcd的底面是边长为1的正方形,pacd,pa=1,pd=,e为pd上一点,pe=2ed.(1)求证:pa平面abcd;(2)求二面角d-ac-e的余弦值;(3)在侧棱pc上是否存在一点f,使得bf平面aec?若存在,指出f点的位置,并证明;若不存在,说明理由.a组20142015年模拟基础题组1.解析(1)证明:以a为坐标原点,射线ab为x轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则a(0,0,0),结合已知易得c(4,2,0),c1(4,2,2),e(3,2,2),f,=(4,2,2),=,=(1,0,-2),=(4,2,2)=0,=(4,2,2)(1,0,-2)=0,ac1ef,ac1ec.又efec=e,且ef、ec平面efc,ac1平面efc.(2)连结af,ac.设向量n=(x,y,z)是平面afc的法向量,则n,n,而=(4,2,0),=,4x+2y=0,x+y+2z=0,令x=1,得n=.又是平面efc的法向量,cos=-.锐二面角a-fc-e的平面角的余弦值为.2.解析(1)证明:连结bd,交ac于点o,连结op.因为o为矩形abcd对角线的交点,所以ob=od,又因为p是df的中点,所以op为三角形bdf的中位线,所以bfop.因为bf平面acp,op平面acp,所以bf平面acp.(4分)(2)因为baf=90,所以afab,因为平面abef平面abcd,且平面abef平面abcd=ab,所以af平面abcd.以a为坐标原点,ab,ad,af所在直线为x轴,y轴,z轴,建立如图所示空间直角坐标系a-xyz,则b(1,0,0),c(1,2,0),f(0,0,1).(7分)因为ab平面adp,所以平面adp的一个法向量为n1=(1,0,0).设p点坐标为(0,2-2t,t)(0t1),则=(0,2-2t,t),又=(1,2,0),设平面apc的一个法向量为n2=(x,y,z),则所以平面apc的一个法向量为n2=,所以|cos|=,(10分)解得t=或t=2(舍).所以p,=,|=.故pf的长为.(12分)3.解析(1)证明:平面pab平面abcd,平面pab平面abcd=ab,abpa,pa平面abcd.又abad,故可建立如图所示的空间直角坐标系a-xyz.设be=1,ap=,则=(2,4,0),=(0,0,),=(2,-1,0),(2分)=4-4+0=0,=0,deac,deap,ed平面pac.(4分)平面ped平面pac.(6分)(2)由(1)知,平面pac的一个法向量是=(2,-1,0),且=(2,1,-),设直线pe与平面pac所成的角为,则sin =|cos|=,解得=2.0,=2,即p(0,0,2).(8分)设平面pcd的法向量为n=(x0,y0,z0),=(2,2,0),=(0,-2,2),n,n,令x0=1,则n=(1,-1,-1),(10分)cos=.(11分)显然二面角a-pc-d的平面角是锐角,二面角a-pc-d的平面角的余弦值为.(12分)4.解析(1)证明:bc为圆o的直径,cdbd.ab圆o所在的平面,abcd,又abbd=b,cd平面abd.又bf平面abd,cdbf.又bfad且adcd=d,bf平面acd.(2)如图,以o为原点建立空间直角坐标系.则b(0,-1,0),e(0,0,1),d(1,0,0),a(0,-1,2).bfad,df=ad,得=,f,=,=(0,1,1).设平面bef的法向量为n1=(x,y,z),则即解得不妨取平面bef的一个法向量n1=(0,-1,1).又由已知ab垂直于圆o所在的平面,得是平面bcd的一个法向量,设平面bef与平面bcd所成的锐二面角为,n2=(0,0,2),则cos =|cos|=.b组20142015年模拟提升题组1.解析(1)证明:pa=pd,q为ad的中点,pqad.四边形abcd为菱形,bad=60,q为ad的中点,bqad.又pqbq=q,ad平面pqb,ad平面pad,平面pqb平面pad.(2)平面pad平面abcd,平面pad平面abcd=ad,且由(1)知pqad,pq平面abcd.以q为坐标原点,分别以qa,qb,qp所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,如图.则q(0,0,0),结合已知易得p(0,0,),b(0,0),c(-2,0).假设存在满足题意的点m,可知m与点p,c不重合,设=(01),则m(-2,(1-).易知平面cbq的一个法向量为n1=(0,0,1).设平面mbq的法向量为n2=(x,y,z),由可取n2=,二面角m-bq-c的大小为60,cos 60=|cos|=,解得=(=-1舍去),=.存在满足题意的点m,且点m为线段pc靠近p的三等分点.2.解析(1)证明:因为底面abcd和侧面bcc1b1是矩形,所以bccd,bccc1,又因为cdcc1=c,所以bc平面dcc1d1,因为d1e平面dcc1d1,所以bcd1e.(2)证明:连结d1b1,db,因为bb1dd1,bb1=dd1,所以四边形d1dbb1是平行四边形.连结db1交d1b于点f,连结ef,则f为db1的中点.在b1cd中,因为de=ce,df=b1f,所以efb1c.又因为b1c平面bed1,ef平面bed1,所以b1c平面bed1.(3)由(1)可知bcd1e,又因为d1ecd,且bccd=c,所以d1e平面abcd.设g为ab的中点,以e为原点,eg,ec,ed1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图.则e(0,0,0),b(1,1,0),c(0,1,0),g(1,0,0).设d1e=a,则d1(0,0,a),b1(1,2,a).设平面bed1的一个法向量为n=(x,y,z),因为=(1,1,0),=(0,0,a),所以由得令x=1,得n=(1,-1,0).设平面bcc1b1的一个法向量为m=(x1,y1,z1),因为=(1,0,0),=(1,1,a),所以由得令z1=1,得m=(0,-a,1).由平面bcc1b1与平面bed1所成的锐二面角的大小为,得|cos|=cos,解得a=1.所以d1e=1.3.解析不妨设正三角形abc的边长为3.(1)证明:在题图1中,取be的中点d,连结df.=,af=ad=2,又a=60,adf为正三角形.又ae=ed=1,efad,在题图2中有a1eef,beef.a1eb为二面角a1-ef-b的平面角.二面角a1-ef-b为直二面角,a1ebe.又beef=e,a1e平面bef,即a1e平面bep.(2)由(1)可知,a1e平面bep,beef,故可建立如图所示的空间直角坐标系,则e(0,0,0),a1(0,0,1),b(2,0,0),f(0,0),p(1,0),=(2,0,-1),=(-1,0),=(0,0,1),设平面a1bp的法向量为n1=(x1,y1,z1),则令x1=3,则n1=(3,6).cos=,易知直线a1e与平面a1bp所成角的大小为.(3)=(0,-1),=(-1,0,0),设平面a1fp的法向量为n2=(x2,y2,z2).则n2,n2,即令y2=1,得n2=(0,1,).cos=,又易知二面角b-a1p-f为钝二面角,所以二面角b-a1p-f的余弦值是-.4.解析(1)证明:pa=ad=1,pd=,pa2+ad2=pd2,即paad.(2分)又pacd,adcd=d,pa平面abcd.(4分)(2)过e作egpa交ad于g,从而eg平面abcd,且ag=2gd,eg=pa=.(5分)连结bd交ac于o,过g作ghod,交ac于h,gh=od=,连结eh.ghac,eh在平面abcd上的射影为gh,ehac,ehg为二面角d-ac-e的平面角.(6分)又tanehg=,二面角d-ac-e的余弦值为.(7分)(3)存在.以a为原点,