高中数学 第三章 导数及其应用 3.1 变化率与导数 3.1.3 导数的几何意义课件2 新人教A版选修11.ppt

3 1 3导数的几何意义 1 平均变化率 函数y f x 从x1到x2平均变化率为 2 平均变化率的几何意义 割线的斜率 o a b x y y f x x1 x2 f x1 f x2 x2 x1 x f x2 f x1 y 3 导数的概念 函数y f x 在x x0处的瞬时变化率 4 求函数y f x 在x x0处的导数的一般步骤 1 根据导数的几何意义描述实际问题 2 求曲线上某点处的切线方程 重点 3 导函数的概念及对导数的几何意义的理解 难点 平面几何中我们是怎样判断直线是否是圆的割线或切线的呢 探究点1切线 提示 按照交点的个数 观察 如图 当pn xn f xn n 1 2 3 4 沿着曲线f x 趋近于点p x0 f x0 时 割线ppn的变化趋势是什么 探究1 观察图形 思考下列问题 明确切线与割线的关系 1 当p1 p2 p3 pn的位置逐渐靠近点p时 割线ppn的位置与pt的位置有什么关系 提示 割线ppn逐渐接近pt 探究总结 对切线的两点说明 1 切线是否存在的判断 曲线上一点是否有切线 要根据割线是否有极限位置来判断 如有极限 则在此点有切线 且切线是唯一的 如不存在 则在此点处无切线 如图 直线l1是曲线c的切线吗 l2呢 l2 l1 a b o x y 即时训练 解答 直线l1不是曲线c的切线 l2是曲线c的切线 在上面的研究过程中 某点的割线斜率和切线斜率与某点附近的平均变化率和某点的瞬时变化率有何联系 平均变化率 割线的斜率 瞬时变化率 导数 切线的斜率 探究点2导数的几何意义 提示 提示 据两点间的斜率公式知kpt的值不知道 但当pn接近于点p时 割线ppn接近于pt 可以用近似地表示kpt 2 设点p x0 y0 pn xn yn 则是多少 你能知道kpt是多少吗 函数在处的导数就是曲线在点 x0 f x0 处的切线的斜率 即 曲线在点 x0 f x0 处的切线的方程为 导数的几何意义 2016 齐齐哈尔高二检测 曲线f x 在点 1 5 处的切线斜率为 a k 3b k 3c k 4d k 4 c 即时训练 例1求曲线y f x x2 1在点p 1 2 处的切线方程 因此 切线方程为y 2 2 x 1 即y 2x 解 求曲线在某点处的切线方程的基本步骤 求出切点的坐标 求切线的斜率 即函数y f x 在x x0处的导数 利用点斜式求切线方程 总结提升 2 已知曲线c y x3 x 2 求曲线过点p 1 2 的切线方程 互动探究 解题关键 注意题中信息为过点p 1 2 的切线方程 故需要注意验证其是否为切点 解 设切点为 x0 x03 x0 2 则得y x x0 x 2 3x0 x 3x02 1 3x02 1 所以切线方程为y x03 x0 2 3x02 1 x x0 将点p 1 2 代入得 2 x03 x0 2 3x02 1 1 x0 即 x0 1 2 2x0 1 0 所以x0 1或x0 若曲线c y x3 x 2上一点p处的切线恰好平行于直线y 11x 1 则p点坐标为 切线方程为 即时训练 解析 设点p坐标为 x0 x03 x0 2 则曲线c在点p处的切线的斜率为f x0 3x02 1 又因为切线平行于直线y 11x 1 所以3x02 1 11 即x02 4 即x0 2 所以p点坐标为 2 8 或 2 4 则切线方程为y 8 11 x 2 或y 4 11 x 2 即y 11x 14或y 11x 18 答案 2 8 或 2 4 y 11x 14或y 11x 18 例2如图 它表示跳水运动中高度随时间变化的函数 的图象 根据图象 请描述 比较曲线在附近的变化情况 t4 t3 解 可用曲线h t 在t0 t1 t2处的切线刻画曲线h t 在上述三个时刻附近的变化情况 1 当t t0时 曲线h t 在t0处的切线l0平行于t轴 故在t t0附近曲线比较平坦 几乎没有升降 2 当t t1时 曲线h t 在t1处的切线l1的斜率h t1 0 故在t t1附近曲线下降 即函数h t 在t t1附近单调递减 3 当t t2时 曲线h t 在t2处的切线l2的斜率h t2 0 故在t t2附近曲线下降 即函数h t 在t t2附近也单调递减 从图可以看出 直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度 这说明曲线h t 在t1附近比在t2附近下降得缓慢 通过观察跳水问题中导数的变化情况 你得到了哪些结论 1 以直代曲 大多数函数就一小段范围看 大致可以看作直线 某点附近的曲线可以用过该点的切线近似代替 2 函数的单调性与其导函数正负的关系 3 曲线的变化快慢及切线的倾斜角的内在联系 总结提升 已知函数f x 在区间 0 3 上的图象如图所示 记k1 f 1 k2 f 2 k3 f 2 f 1 则k1 k2 k3之间的大小关系为 请用 连接 提示 曲线的导数越大 曲线的弯曲程度越大 图象变化得越快 变式练习 解 由导数的几何意义可知k1 k2分别为曲线在a b处切线的斜率 而k3 f 2 f 1 为直线ab的斜率 由图象易知k1 k3 k2 答案 k1 k3 k2 例3如图表示人体血管中的药物浓度c f t 单位 mg ml 随时间t 单位 min 变化的函数图象 根据图象 估计t 0 2 0 4 0 6 0 8时 血管中药物浓度的瞬时变化率 把数据用表格的形式列出 精确到0 1 解 血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率 就是药物浓度 从图象上看 它表示曲线在该点处的切线的斜率 f t 在此时刻的导数 数形结合 以直代曲 以简单对象刻画复杂的对象 b 即点p处的切线的斜率等于4 2 在点p处的切线方程是y 8 3 4 x 2 即12x 3y 16 0 y 2x 1 直