3年高考（新课标）高考数学一轮复习 10.5二项分布与正态分布.doc

【3年高考】（新课标）2016版高考数学一轮复习 10.5二项分布与正态分布a组20122014年高考基础题组1.(2014安徽,17,12分)甲乙两人进行围棋比赛,约定先连胜两局者直接赢得比赛,若赛完5局仍未出现连胜,则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为,乙获胜的概率为,各局比赛结果相互独立.(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率;(2)记x为比赛决出胜负时的总局数,求x的分布列和均值(数学期望).2.(2014大纲全国,20,12分)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4,各人是否需使用设备相互独立.(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率;(2)x表示同一工作日需使用设备的人数,求x的数学期望.3.(2014陕西,19,12分)在一块耕地上种植一种作物,每季种植成本为1 000元,此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性,且互不影响,其具体情况如下表:作物产量(kg)300500概率0.50.5作物市场价格(元/kg)610概率0.40.6(1)设x表示在这块地上种植1季此作物的利润,求x的分布列;(2)若在这块地上连续3季种植此作物,求这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率.4.(2012四川,17,12分)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)a和b,系统a和系统b在任意时刻发生故障的概率分别为和p.(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为,求p的值;(2)设系统a在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量,求的概率分布列及数学期望e.5.(2012山东,19,12分)现有甲、乙两个靶,某射手向甲靶射击一次,命中的概率为,命中得1分,没有命中得0分;向乙靶射击两次,每次命中的概率为,每命中一次得2分,没有命中得0分.该射手每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击.(1)求该射手恰好命中一次的概率;(2)求该射手的总得分x的分布列及数学期望ex.6.(2013辽宁,19,12分)现有10道题,其中6道甲类题,4道乙类题,张同学从中任取3道题解答.(1)求张同学至少取到1道乙类题的概率;(2)已知所取的3道题中有2道甲类题,1道乙类题.设张同学答对每道甲类题的概率都是,答对每道乙类题的概率都是,且各题答对与否相互独立.用x表示张同学答对题的个数,求x的分布列和数学期望.7.(2013课标全国,19,12分)一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取4件作检验,这4件产品中优质品的件数记为n.如果n=3,再从这批产品中任取4件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果n=4,再从这批产品中任取1件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优质品率为50%,即取出的每件产品是优质品的概率都为,且各件产品是否为优质品相互独立.(1)求这批产品通过检验的概率;(2)已知每件产品的检验费用为100元,且抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为x(单位:元),求x的分布列及数学期望.8.(2012湖南,17,12分)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据,如下表所示.一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数(人)x3025y10结算时间(分钟/人)11.522.53已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x,y的值,并求顾客一次购物的结算时间x的分布列与数学期望;(2)若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算,且各顾客的结算相互独立,求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率.(注:将频率视为概率)b组20122014年高考提升题组1.(2014课标,5,5分)某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是() a.0.8b.0.75c.0.6d.0.452.(2014辽宁,18,12分)一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布直方图,如图所示.将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立.(1)求在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率;(2)用x表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数,求随机变量x的分布列,期望e(x)及方差d(x).3.(2014湖北,20,12分)计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站.过去50年的水文资料显示,水库年入流量x(年入流量:一年内上游来水与库区降水之和,单位:亿立方米)都在40以上.其中,不足80的年份有10年,不低于80且不超过120的年份有35年,超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率,并假设各年的年入流量相互独立.(1)求未来4年中,至多有1年的年入流量超过120的概率;(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最多可运行台数受年入流量x限制,并有如下关系:年入流量x40x120发电机最多可运行台数123若某台发电机运行,则该台年利润为5 000万元;若某台发电机未运行,则该台年亏损800万元.欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机多少台?4.(2013山东,19,12分)甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜3局者获得比赛的胜利,比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是外,其余每局比赛甲队获胜的概率都是.假设各局比赛结果相互独立.(1)分别求甲队以30,31,32胜利的概率;(2)若比赛结果为30或31,则胜利方得3分、对方得0分;若比赛结果为32,则胜利方得2分、对方得1分.求乙队得分x的分布列及数学期望.5.(2013陕西,19,12分)在一场娱乐晚会上,有5位民间歌手(1至5号)登台演唱,由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手.各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手,其中观众甲是1号歌手的歌迷,他必选1号,不选2号,另在3至5号中随机选2名.观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱,因此在1至5号中随机选3名歌手.(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率;(2)x表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和,求x的分布列及数学期望.6.(2012天津,16,13分)现有4个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏,掷出点数为1或2的人去参加甲游戏,掷出点数大于2的人去参加乙游戏.(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率;(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率;(3)用x,y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数,记=|x-y|,求随机变量的分布列与数学期望e.a组20122014年高考基础题组1.解析用a表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”,ak表示“第k局甲获胜”,bk表示“第k局乙获胜”,则p(ak)=,p(bk)=,k=1,2,3,4,5.(1)p(a)=p(a1a2)+p(b1a2a3)+p(a1b2a3a4)=p(a1)p(a2)+p(b1)p(a2)p(a3)+p(a1)p(b2)p(a3)p(a4)=+=.(2)x的可能取值为2,3,4,5.p(x=2)=p(a1a2)+p(b1b2)=p(a1)p(a2)+p(b1)p(b2)=,p(x=3)=p(b1a2a3)+p(a1b2b3)=p(b1)p(a2)p(a3)+p(a1)p(b2)p(b3)=,p(x=4)=p(a1b2a3a4)+p(b1a2b3b4)=p(a1)p(b2)p(a3)p(a4)+p(b1)p(a2)p(b3)p(b4)=,p(x=5)=1-p(x=2)-p(x=3)-p(x=4)=.故x的分布列为x2345pex=2+3+4+5=.2.解析记ai表示事件:同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备,i=0,1,2,b表示事件:甲需使用设备,c表示事件:丁需使用设备,d表示事件:同一工作日至少3人需使用设备.(1)d=a1bc+a2b+a2c,p(b)=0.6,p(c)=0.4,p(ai)=0.52,i=0,1,2,(3分)所以p(d)=p(a1bc+a2b+a2c)=p(a1bc)+p(a2b)+p(a2c)=p(a1)p(b)p(c)+p(a2)p(b)+p(a2)p()p(c)=0.31.(6分)(2)x的可能取值为0,1,2,3,4,则p(x=0)=p(a0)=p()p(a0)p()=(1-0.6)0.52(1-0.4)=0.06,p(x=1)=p(ba0+a0c+a1)=p(b)p(a0)p()+p()p(a0)p(c)+p()p(a1)p()=0.60.52(1-0.4)+(1-0.6)0.520.4+(1-0.6)20.52(1-0.4)=0.25,p(x=4)=p(a2bc)=p(a2)p(b)p(c)=0.520.60.4=0.06,p(x=3)=p(d)-p(x=4)=0.25,p(x=2)=1-p(x=0)-p(x=1)-p(x=3)-p(x=4)=1-0.06-0.25-0.25-0.06=0.38,(10分)数学期望ex=0p(x=0)+1p(x=1)+2p(x=2)+3p(x=3)+4p(x=4)=0.25+20.38+30.25+40.06=2.(12分)3.解析(1)设a表示事件“作物产量为300 kg”,b表示事件“作物市场价格为6元/kg”,由题设知p(a)=0.5,p(b)=0.4,利润=产量市场价格-成本,x所有可能的取值为50010-1 000=4 000,5006-1 000=2 000,30010-1 000=2 000,3006-1 000=800.p(x=4 000)=p()p()=(1-0.5)(1-0.4)=0.3,p(x=2 000)=p()p(b)+p(a)p()=(1-0.5)0.4+0.5(1-0.4)=0.5,p(x=800)=p(a)p(b)=0.50.4=0.2,所以x的分布列为x4 0002 000800p0.30.50.2(2)设ci表示事件“第i季利润不少于2 000元”(i=1,2,3),由题意知c1,c2,c3相互独立,由(1)知,p(ci)=p(x=4 000)+p(x=2 000)=0.3+0.5=0.8(i=1,2,3),3季的利润均不少于2 000元的概率为p(c1c2c3)=p(c1)p(c2)p(c3)=0.83=0.512;3季中有2季利润不少于2 000元的概率为p(c2c3)+p(c1c3)+p(c1c2)=30.820.2=0.384,所以,这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率为0.512+0.384=0.896.4.解析(1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件c,那么1-p()=1-p=.解得p=.(4分)(2)由题意得,p(=0)=,p(=1)=,p(=2)=,p(=3)=.所以,随机变量的概率分布列为0123p故随机变量的数学期望:e=0+1+2+3=.(12分)5.解析(1)记:“该射手恰好命中一次”为事件a,“该射手射击甲靶命中”为事件b,“该射手第一次射击乙靶命中”为事件c,“该射手第二次射击乙靶命中”为事件d,由题意知p(b)=,p(c)=p(d)=,由于a=b+c+d,根据事件的独立性和互斥性得p(a)=p(b+c+d)=p(b)+p(c)+p(d)=p(b)p()p()+p()p(c)p()+p()p()p(d)=+1-1-+1-1-=.(2)根据题意,x的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,根据事件的独立性和互斥性得p(x=0)=p()=1-p(b)1-p(c)1-p(d)=,p(x=1)=p(b)=p(b)p()p()=,p(x=2)=p(c+d)=p(c)+p(d)=+=,p(x=3)=p(bc+bd)=p(bc)+p(bd)=+=,p(x=4)=p(cd)=,p(x=5)=p(bcd)=.故x的分布列为x012345p所以ex=0+1+2+3+4+5=.6.解析(1)设事件a=“张同学所取的3道题至少有1道乙类题”,则有=“张同学所取的3道题都是甲类题”.因为p()=,所以p(a)=1-p()=.(6分)(2)x所有的可能取值为0,1,2,3.p(x=0)=;p(x=1)=+=;p(x=2)=+=;p(x=3)=.所以x的分布列为x0123p(10分)所以e(x)=0+1+2+3=2.(12分)7.解析(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件a1,第一次取出的4件产品全是优质品为事件a2,第二次取出的4件产品都是优质品为事件b1,第二次取出的1件产品是优质品为事件b2,这批产品通过检验为事件a,依题意有a=(a1b1)(a2b2),且a1b1与a2b2互斥,所以p(a)=p(a1b1)+p(a2b2)=p(a1)p(b1|a1)+p(a2)p(b2|a2)=+=.(2)x可能的取值为400,500,800,并且p(x=400)=1-=,p(x=500)=,p(x=800)=.所以x的分布列为x400500800pex=400+500+800=506.25.8.解析(1)由已知得25+y+10=55,x+30=45,所以x=15,y=20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本,将频率视为概率得p(x=1)=,p(x=1.5)=,p(x=2)=,p(x=2.5)=,p(x=3)=.x的分布列为x11.522.53px的数学期望为e(x)=1+1.5+2+2.5+3=1.9.(2)记a为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟”,xi(i=1,2)为该顾客前面第i位顾客的结算时间,则p(a)=p(x1=1且x2=1)+p(x1=1且x2=1.5)+p(x1=1.5且x2=1),由于各顾客的结算相互独立,且x1,x2的分布列都与x的分布列相同,所以p(a)=p(x1=1)p(x2=1)+p(x1=1)p(x2=1.5)+p(x1=1.5)p(x2=1)=+=.故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为.b组20122014年高考提升题组1.a由条件概率可得所求概率为=0.8,故选a.2.解析(1)设a1表示事件“日销售量不低于100个”,a2表示事件“日销售量低于50个”,b表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另一天销售量低于50个”.因此p(a1)=(0.006+0.004+0.002)50=0.6,p(a2)=0.00350=0.15,p(b)=0.60.60.152=0.108.(2)x可能取的值为0,1,2,3,相应的概率为p(x=0)=(1-0.6)3=0.064,p(x=1)=0.6(1-0.6)2=0.288,p(x=2)=0.62(1-0.6)=0.432,p(x=3)=0.63=0.216.分布列为x0123p0.0640.2880.4320.216因为xb(3,0.6),所以期望e(x)=30.6=1.8,方差d(x)=30.6(1-0.6)=0.72.3.解析(1)依题意,p1=p(40x120)=0.1.由二项分布,在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为p=(1-p3)4+(1-p3)3p3=+4=0.947 7.(2)记水电站年总利润为y(单位:万元).(i)安装1台发电机的情形.由于水库年入流量总大于40,故一台发电机运行的概率为1,对应的年利润y=5 000,e(y)=5 0001=5 000.(ii)安装2台发电机的情形.依题意,当40x80时,一台发电机运行,此时y=5 000-800=4 200,因此p(y=4 200)=p(40x80)=p1=0.2;当x80时,两台发电机运行,此时y=5 0002=10 000,因此p(y=10 000)=p(x80)=p2+p3=0.8.由此得y的分布列如下:y4 20010 000p0.20.8所以,e(y)=4 2000.2+10 0000.8=8 840.(iii)安装3台发电机的情形.依题意,当40x80时,一台发电机运行,此时y=5 000-1 600=3 400,因此p(y=3 400)=p(40x120时,三台发电机运行,此时y=5 0003=15 000,因此p(y=15 000)=p(x120)=p3=0.1,由此得y的分布列如下:y3 4009 20015 000p0.20.70.1所以,e(y)=3 4000.2+9 2000.7+15 0000.1=8 620.综上,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机2台.4.解析(1)记“甲队以30胜利”为事件a1,“甲队以31胜利”为事件a2,“甲队以32胜利”为事件a3,由题意,各局比赛结果相互独立,故p(a1)=,p(a2)=,p(a3)=.所以,甲队以30胜利、以31胜利的概率都为,以32胜利的概率为.(2)设“乙队以32胜利”为事件