谐振管的试验研究.pdf

1 谐振管的实验研究 谐振管的实验研究 实验目的 实验目的 1 研究谐振管中机械波的运动规律 2 学习仪器的安装与调试 实验原理 实验原理 1 声波声波 当扬声器的膜片振动时 声波便会产生并通过空气传播 声波是由 空气分子在扬声器的轴线方向上作来回的微小的位移形成的 假如你可 以看到扬声器附近的一小块空气的话 你将发现这块空气并没有移动得 很远 而是以与扬声器相同的频率在轴线方向上来回移动 这种振动与 波在一根绳子上的传播的形式十分相似 一个很大的不同点就是 如果 你在观察绳上的一小部分的时候 你会发现它的振动与绳上波的传播方 向是垂直的 而空气的振动与波的传播方向是一致的 因此 声波是纵 波 声波形成的另一种方式是一系列的压缩和膨胀 当扬声器的膜片向 外运动时 附近的空气就会被挤压 形成一小部分的高压空气 这一小 部分的高压空气又挤压它周围的空气 如此循环下去 因此高压空气就 会远离扬声器传播开去 当扬声器的膜片向里运动的时候 周围的空气 就会膨胀 产生低压空气并远离扬声器传播开去 一般来说 声波会朝各个方向传播 但是我们在研究声波的时候可 以将其简化成只朝一个方向传播 例如在谐振管里面 我们近似地认为 声波沿管的轴线方向传播 2 管中的驻波 管中的驻波 当介质中有反向进行的两个同频率的波存在时 这两个波叠加后将 产生干涉现象 为了简单起见 设两波具有相同的振幅 它们的运动方 程为 11 cos yAtkx 22 cos yAtkx 合成后 运动方程为 2121 12 2 coscos 22 yyyAkxt 在合成波的表达式中 y与t和x的关系分别出现在两个因子之中 2 不同x处 合成波的振幅不同 由因子 21 2cos 2 Akx 确定 只要 21 cos 2 kx 不变符号 不同x处的合成振动的位相都是 21 2t 这些点的振动位相仅随t增加 不再随x的增加而减 少 亦即不呈现位相在空间的传播 仅在 21 cos 2 kx 易号时 位相才发生变化 因此 合成波实际上是一种振动 不再是振动的传播 故称为驻波驻波 驻波中 振动的振幅在空间有一定的分布规律 1 当 21 2 kxn 即 2121 2 0 1 2 222 nn xn k i 时 21 cos1 2 kx 振幅最大 这种位置称为波腹波腹 这时质点的 振幅为分波腹的两倍 相邻波腹的距离为 2 2 当 21 21 22 kxn 即 21 21 0 1 2 422 xnn i 时 21 cos0 2 kx 振幅为零 这种位置称为波节波节 相邻波节的 距离也是 2 当波在绳子的一端被反射回来时 会和原来的波发生干涉 产生驻 波 声波从管的另一端反射回来时也会产生驻波 在绳上的驻波中 无 上下振动的点称为波节 绳子以最大振幅上下振动的点称为波腹 类似 地 空气不振动的点称为声波的波节 空气振动最大的点称为声波的波 腹 表征声压大小的波节和波腹也存在于波形中 事实上 声波的波腹 点为压力的最小点 这称为声压节点 同样地 声波的波节点称为声压 腹点 这其实是很容易理解的 假设两个声波的波腹点相向运动 中间 的空气将要被挤压 这就形成了声压波腹点 当两个声波的波腹相互远 离的时候 中间的空气就要膨胀 形成声压波节点 声波反射可以发生在闭合或打开管的尾部 如果管尾闭合 我们称 之为闭管 此时空气被阻挡 则声波的波节出现在管尾 如果管尾开放 3 我们称之为开管 此时管内外的压力相当 则声波的波腹出现在管尾 现在对声波在管尾反射的情况作一个理论解释 当xl 的管端开向自 由空间的时候 即使对波长比管子的直径大得多的情况 开口上的流动 条件和压力分布也不会是均匀的 但在波长很长的极限情况下 能够在 管道中传播的唯一波是平面波 即基频方式的波 此时在xl 处 开 端的空气有类似活塞的作用 向开阔空间辐射出声音 同时向0 x 处 反射回一部分声音 当波长非常长时 从开端辐射出去的声音很少 因 而在管子内部就建立起很强的驻波 3 谐振 谐振 由以上讨论可见 驻波实际上是一种振动 是多自由度的振动 因 而 对于一定的驻波系统 也有固有频率 只是固有频率不只一个 而 有许多个 例如 对两端固定的弦 其上任一扰动经两端反射即成为两 列反向行进波 叠加后成驻波 这样的系统所能激发的驻波 在弦的两 端必须为波节 因而其波长有一定的限制 弦长l必为半波长的整数倍 即 2 nl 1 2 n 对于一端固定 一端自由的弦 由于 固定端是波节 自由端是波腹 所以波长必须满足4 12 nl 1 2 n 正如以上所述 当波从管尾反射 反射波和原来的波发生干涉时就 会产生驻波 但是 声波却可在管的两端来回反射好几次 所有这些复 合的反射波将一起发生干涉 一般来说 这些复合的反射波的位相不一 定相同 因此合成的振幅会比较小 然而在某些特定的频率 其位相一 致时 将产生一个振幅非常大的驻波 这些频率称为谐振频率 在实验 1 中 研究谐振发生时管的长度和频率之间的关系 可以发 现用波长比频率更容易描述谐振的条件 谐振状态也与管的关闭与否有 关 对于一个闭管来说 波长满足以下条件时就会发生谐振 2 nl 1 2 n 其中l为管长 这些波长将会在管的两端 产生声波波节 或声压波腹 也可以说当管长为半波长的整数倍时会 发生共振 对 开 管 来 说 波 长 满 足 以 下 条 件 时 就 会 发 生 谐 振 4 12 nl 1 2 n 这些波长将会在管的开端产生声波波 腹 或声压波节 因此 当管长为四分之一波长的奇数倍时发生共振 4 上面所说的公式和图像只是一个理想的理论情况 主要是因为 波 在管中的传播还依赖于管的直径和波的频率 波节和波腹不会刚好出现 在管的两端 用麦克风来研究管的两端的波形是一个很有用的实验 下 面给出一个更加精确的描述管中驻波的经验公式 闭管 0 8 2ldn 1 2 3 n l为管长 d为直径 开管 0 4 4ldn 1 2 3 n l为管长 d为直径 实验仪器实验仪器 PASCO WA 9612 型谐振管可用来研究声波在管中的传播 也可以 用来观察一端封闭或两端封闭的谐振管中的驻波图样和研究当管长变 化时波节和波腹的位置 也可以通过测量共振波形频率和波长的方法来 间接测量声速或更加直接地利用示波器的触发方式来测量声波脉冲在 管中传播的时间来测定声速 注意 注意 四种谐振状态描述如下 第一种 n 1 被称作基音 其他的叫做 泛音 每一种描述都是有联系的 5 声波可通过扬声器来产生并通过微型麦克风来探测 麦克风既可固定在 扬声器的旁边来检测谐振波形 也可以固定在一根金属杆上 使之可在 管中来回移动并检测管中的波形特性 WA 9612 型谐振管及其配件 如图一 型谐振管及其配件 如图一 1 90cm 长的壁上带有十进制刻度的透明塑料管 2 两个塑料管底座 其中一个内置扬声器与麦克风 3 带有放大器的小型麦克风和一根可直接连接到示波器的信号 线 4 可移动的活塞 5 麦克风探测杆 86cm 铜杆 6 可用来覆盖孔的夹子 另需 另需 1 可驱动32 0 1W扬声器的函数发生器 例如PASCO PI 9587B 数字函数发生器 2 普通示波器或存储示波器 例如 PASCO SB 9591 3 可连接函数发生器与扬声器的带有香蕉插头的导线 4 数字万用表 直尺等 谐振管的安装与调试 谐振管的安装与调试 1 按图 2 连接仪器 麦克风可被放在位于扬声器下的麦克风孔里面 或者像下面插图所示的那样 把它捆在麦克风探测杆的末端并从探测管 伸入谐振管 使之可用来确定波节和波腹的位置 你还可以通过移动活 图 1 谐振管及其配件 6 塞来改变谐振管的有效长度 位于管外的活塞连接杆的尾部应该用支架 支撑起来 以免给活塞过大的负荷 2 数字万用表与函数发生器的直流输出端连接 这样就可以很方便 地读出函数发生器输出信号的频率 具体方法见附录 把函数发生器 的频率置于大约 100Hz 并使振幅为 0 然后打开发生器 慢慢增大振 幅直到你能听到扬声器的声音 警告警告 过大的驱动电流会损坏扬声器 缓慢地增大振幅 直到可以听见扬 声器的声音 但不要太大 注意大多数的函数发生器在高频时更有效 因 此当你增大频率时要适当地减小振幅 3 打开示波器与放大器的电源 设置扫描速率和发生器的频率大概 一致 选择适当的增益使你可以清晰地看到由麦克风探测到的声音信 号 如果在最大的增益时你也看不见信号 调整信号发生器的频率直到 从扬声器发出的声音达到最大值 然后增大信号发生器的振幅直到你能 在示波器上清晰地看见图像 4 调整声波的频率或管的长度来使声波发生谐振 并且可以通过听 到一个最大的声音或在示波器上观察到最大的波形信号来确定共振的 产生 注意 注意 开管指一端闭合 另一端是打开的 而闭管是两端都闭合的 实验一实验一 谐振频率谐振频率 当一个扬声器在管口发出声音时 在某些特定的频率下 谐振管可 以将声音放大 这些频率叫作谐振频率 因为在这些频率时 管的尺寸 图 2 仪器安装图 7 可让能量在扬声器和管之间产生最大的传递 实验内容 实验内容 1 按图 1 1 连接谐振管 示波器和函数发生器 并将函数发生器 的直流输出端直接与数字万用表连接 设置示波器的扫描速度 大约为 5ms div 通道 A 的增益大约为 5mv div 打开放大器和 函数发生器 函数发生器的输出频率大约为 100Hz 调节函数 发生器的振幅直到你可以清晰地听到扬声器的声音 2 当你小心地增加频率时注意听管中的声音 一般来说 当你增 大频率时 声音会更大 因为扬声器一般在高频时响应更大 当你慢慢地增大频率时 你会听到一个最大的声音 这表示了 一种谐振模式 调整频率找到产生最大声音时的最小频率 你 也可以通过示波器找到麦克风输出的最大信号 此时就找到了 谐振频率 在自己设计的表格中记录这个最小频率 3 慢慢增大频率直到你找到一个新的谐振频率 测量并记录下来 继续测量更高的谐振频率 最少记录六个 图 1 1 4 用前面的经验公式算出最小谐振频率的理论值 0 f 理 并用以上 所测得的频率值除以这个理论值 所得的商记录在表格中 并 作 f 与 f 0 f 理曲线 用曲线的拟合求出最小谐振频率的实验平 均值 5 用活塞把管的一端封住 重复以上的步骤 2 4 研究闭管的谐 振频率特点 问题与思考 问题与思考 1 两种情况下得到的 0 ff 理数值一样吗 哪支管子给出了一系 8 列连续的整数 2 得到的整数值是严格的整数吗 会出现什么样的误差 为什么 会出现这种误差 3 可以由实验结果来计算声速吗 请说出你的方法 并分析其不 确定度 注意事项及指导注意事项及指导 示波器应该选择适当的增益 使实验过程中可以准确地观察到最 大 最小值 1 由于波腹和波节不是正好出现在管的开口端 所以麦克风应该 放在管口外面约 1 5 厘米处 2 基频应该细心地去找 或者用反推的方法找出来 如果基频不 准确 将会对实验带来很大的误差 3 在高频时误差比较大 所以一般只测量六组左右的数据 不过 可以测量高频的数据 观察其误差情况 并分析其原因 作图 时可以用 origin 作图软件 这样在做线性拟合的时候比较方便 4 麦克风用完后应及时将自带的放大器电源开关关掉 实验二实验二 驻波驻波 由于声波在管中的两端传播时会来回反射 所有的波会发生相互叠 加 如果管的长度和声波的波长满足特定的条件 就会形成驻波 我们 知道 谐振发生时的频率叫谐振频率 在这个实验中 将在谐振管中产 生驻波 并使用微型麦克风来研究驻波的分布情况 图 2 1 仪器安装图 9 实验内容 实验内容 1 按图 2 1 连接谐振管 示波器和函数发生器 示波器的扫描速度 大约为5ms div 通道A的增益大约为5mv div 打开放大器和函数 发 生器 函数发生器的输出频率大约为 100Hz 调节函数发生器的振 幅直到你可以清晰地听到扬声器的声音 用示波器来测量扬声器的 输出 并将函数发生器的直流输出端直接与数字万用表连接以测量 频率 2 小心地在增加频率时注意听管中的声音 一般来说 频率大于 300Hz 的谐振比较明显 先找一个比较明显的谐振状态 然后把麦 克风探测杆伸进谐振管 沿着管移动麦克风 记录下当示波器信号 最大 最小时麦克风的位置 并记录于表格中 由于探测杆太短 你不可能移动太长的距离 所以在测量管的另外一端时 要将探测 杆从另外一端伸进去进行探测 应注意研究管的开放端波形分布的 情况 3 重复上面的步骤测量至少五个不同的谐振频率 并记录下来 然后作出一维的波形分布图样 4 以下测量闭管的波形分布情况 将活塞插入管中使管长大约为 80 厘米 重复以上步骤测量管内波形分布情况 并作出分布图样 5 如果有存储示波器的话 麦克风的读数可以更精确地读出 所 以可以做一个更精确的波形分布研究 与上面的方法类似 麦克风 沿着管移动 每隔 2 厘米测量一个输出电压 然后作出一维的波动 强度分布图样 问题与思考 问题与思考 1 波节或波腹是否正好出现在管口 为什么 2 用麦克风可以确定波节和波腹的位置 你认为哪一个的可信程 度较高 请分析原因 3 在低频时波形比较开阔 而在高频时波形比较紧凑 你认为这 对确定波节点或波腹点有影响吗 为什么 4 因为相邻的波节或波腹点的距离为半波长 所以可以通过实验 数据来确定波长 而且频率已知 就可以计算出声速了 并与 理论值 v 331 5 0 607t m sec 比较 其中 t 为摄氏温度 请分析 这种方法测量声速的特点及不确定度 注意事项及指导注意事项及指导 1 由于波腹和波节不是正好出现在管的开口端 所以移动麦克风 的时候应该一直移到管口外面 直到找到最小点或最大点 10 2 在封闭端是波节只是一个理论上的结果 事实上当麦克风到达 活塞端面时并不是信号最小值 3 波节和波腹都有一个范围 而不是理论上的一个点 一般来说 波节点比较明显 4 声波是纵波 与我们通常接触的横波不一样 声波是通过在传 播方向上空气的压缩来传播的 也就是说会在传播方向上形成 空气密度的疏密点 空气密度大的点称为波节 密度小的称为 波腹 然而由于麦克风是一个压力换能器 它探测到的是空气 的压力分布情况 在示波器上看到的信号最大点代表波节 信 号最小点代表波腹 在作图的时候 这一点是非常值得注意的 由于麦克风是一个压力换能器 它探测到的是空气 的压力分布情况 在示波器上看到的信号最大点代表波节 信 号最小点代表波腹 在作图的时候 这一点是非常值得注意的 实验三实验三 管长和谐振模式管长和谐振模式 给定一个管长 不同的频率都将产生驻波 同样的道理 给定一个 频率则不同的管长都将产生驻波 在这个实验中你将测量特定的频率对 应产生谐振的不同管长 实验内容 实验内容 1 按图 3 1 连接谐振管 示波器和函数发生器 将活塞移到靠近 管尾的位置 信号发生器的频率大约为 1500Hz 加大振幅直到 可以清晰地听到扬声器的声音 记下这个频率 慢慢朝里面移 动活塞 直到你听到管放大的扬声器的声音 表示已经在管中 产生了驻波 调整活塞的位置 直到听到最大的声音或看见示 波器的最大信号 这表明谐振已经发生 在自制表格中记录下 这个位置 2 继续移动活塞 直到驻波重新产生 记下这个新的位置 移动 图 3 1 仪器安装图 11 活塞直到找出所有的位置 3 改变频率重复以上内容 4 以公式中的 n 为横坐标 管长为纵坐标作图 得到的直线的斜 率是二分之一波长 请同学们自己推导 用这种方法可以计算 声速 问题与思考 问题与思考 1 在作图时管长应该怎样计算 2 在低频时实验的效果很差 为什么 3 在高频是会有什么样的误差 注意事项及指导 注意事项及指导 1 麦克风应该首先在管口附近找一个信号的最大值 这样可以更 为容易地在以下的实验过程中找到代表谐振发生的最大信号 2 在低频时 实验的误差较大 最好从高频开始 3 改变频率的时候如果发现在某些频率下移动活塞时信号变化不 明显 应该继续增大频率 直到找到另外一个新的谐振频率 实验四 管中的声速 实验四 管中的声速 以上的实验是通过先产生一个驻波 然后测量产生驻波的声音的波 长的方法来测量声音在管中的速度 你也可以更直接地测量声速 在这 个实验中你将通过控制一个声音脉冲在管中传播反射来测量声速 实验内容 实验内容 1 按图 4 1 连接谐振管 示波器和函数发生器 移动活塞到管的 另一端 函数发生器大约为 10Hz 的方波 增大振幅直到能清晰 地听见扬声器发出的滴答声 示波器连接函数发生器的输出端 图 4 1 仪器安装图 12 或触发输出 当你选择一个和函数发生器的输出相同的扫描频 率时 屏幕上将会出现如下图所示的图像 2 增大示波器的扫描速度 直到你可以更清晰地看到方波的一部 分脉冲 你会看到一系列由于方波突然的电压上升而使扬声器 发出的声波 接着又有一系列相似的由于管端活塞反射出来的 声波 高速扫描将可以看见更低失真的图像 3 计算原始脉冲和第一个反射脉冲在屏幕上的距离 在自制的表 格中记录数据 并记录下扫描速率和扬声器与活塞之间的距离 4 移动活塞到一个新的位置 同时注意第一个反射脉冲的移动在 新的位置记录下新的数据 5 继续移动活塞直到记下五组数据 6 将活塞移开 重复以上的步骤测量开管中的声速 并将数据记 录在自制的表格中 问题与思考 问题与思考 如果两种情况下声速是一样的 用闭管的结果来计算开管的长度 并与管的真实长度比较 1 说说怎样设计一个实验计算空气中声音的速度而不是管中的声 速 注意事项及指导 注意事项及指导 1 此实验的信噪比很小 所以应该尽量保持环境的安静 2 示波器的增益应该打到比较大 直到看见清晰的波形为止 3 10Hz 只是一个参考的频率 其实慢慢地增大频率 会发现可 以找到更清晰的波形 但是频率不应该超过 50Hz 否则会使 原来的信号与下一个方波信号发生叠加 4 在测量的时候 波形会发生比较大的跳动 此时更应该仔细读 数 5 如果调整频率可以找到一个比较稳定的波形 几个信号波形又 比较相似的话 可以采取测量多个反射信号之间的时间差然后 求平均的方法 这样可以减少误差 6 测量闭管的声速的时候 管长不应该小于 30cm 否则会带来 较大的误差 附录 附录 PASCO PI 9598 型函数发生器型函数发生器 介绍 介绍 13 PASCO PI 9598 型函数发生器可提供频率从 1Hz 至 100kHz 的 正弦波或方波 和其他大多数函数发生器不同的是 它有一个内置 的电源放大器 在最大输出电压为 24V 时最大输出电流为 0 5A 此 仪器广泛应用于各类型的实验室之中 它的输出频率可由数字电压 表来测量 而且相对误差小于 1 因此 对于大多数实验 并不需 要单独配备电源放大器和频率计或示波器 而只需要一个函数发生 器