同济大学的高等数学讲义 (2).pdf

第三单元第三单元 极限运算法则极限运算法则 一 本单元的内容要点一 本单元的内容要点 1 无穷小与无穷大的概念 无穷小与无穷大的概念 2 极限的运算法则 极限的运算法则 3 两个重要极限两个重要极限 4 无穷小的阶与等价无穷小及等价无穷小的替换准则 无穷小的阶与等价无穷小及等价无穷小的替换准则 二 本单元的教学要求二 本单元的教学要求 1 理解无穷小和无穷大的概念 理解无穷小和无穷大的概念 2 掌握极限的运算法则掌握极限的运算法则 3 掌握两个重要极限并由此去计算比较复杂的极限 掌握两个重要极限并由此去计算比较复杂的极限 4 理解无穷小阶的概念 熟记几个常用的等价无穷小并理解无穷小阶的概念 熟记几个常用的等价无穷小并 由此去求一些复杂的极限 由此去求一些复杂的极限 三 本单元教学的重点与难点三 本单元教学的重点与难点 重点重点 1 无穷小的概念 无穷小与极限的关系 无穷小的概念 无穷小与极限的关系 2 极限的运算法则 尤其是复合函数极限的运算法则 极限的运算法则 尤其是复合函数极限的运算法则 3 两个重要极限 两个重要极限 4 无穷小的阶与等价无穷小的替换 无穷小的阶与等价无穷小的替换 难点难点 1 要区别无穷小与要区别无穷小与 很小很小 的数的差别 注意到无穷小是的数的差别 注意到无穷小是 一类以零为极限的变量 一类以零为极限的变量 2 注意无穷大与无界函数的差别 无穷大并不是极限 注意无穷大与无界函数的差别 无穷大并不是极限 但却有明显的变化趋势 为了指出这类特殊的变化形式但却有明显的变化趋势 为了指出这类特殊的变化形式 才引入了无穷大的概念 才引入了无穷大的概念 3 理解无穷小的阶的概念及本质 掌握用等价无穷小替理解无穷小的阶的概念及本质 掌握用等价无穷小替 换方法去求某些复杂极限的方法 尤其是使用等价无穷换方法去求某些复杂极限的方法 尤其是使用等价无穷 小替换的条件 小替换的条件 本单元教学时数 本单元教学时数 6课时课时 无穷小与无穷大无穷小与无穷大 1 无穷小无穷小 定义如果定义如果x x0 x 时函数时函数f x 的极限为零 那么函 数 的极限为零 那么函 数 f x 就叫做就叫做x x0 x 时的无穷小 时的无穷小 注注 1 无穷小是以零为极限的变量 不能把它混同于一个无穷小是以零为极限的变量 不能把它混同于一个 很小的数 很小的数 2 变量是否为无穷小与自变量的变化过程有关 变量是否为无穷小与自变量的变化过程有关 例例1 因 所以变量是当因 所以变量是当x 0时 的无穷小量 时 的无穷小量 0 1 limsin0 x x x 1 sinx x 定理定理1在自变量的同一变化过程在自变量的同一变化过程x x0 x 中 函数中 函数 f x 有极限有极限A的充分必要条件是的充分必要条件是f x A 其中 其中 是无是无 穷小 穷小 证 若 则 证 若 则 0 0 当当0 x x0 时 有 时 有 0 lim xx f xA f xA 令 令 f x A 则 上式为则 上式为 00 f xAf xA 0 0 当当0 x x0 时 有 时 有 0 0 0 f xAf x 即 即 0 lim xx f xA 同理可讨论同理可讨论 x 的情形 的情形 2 无穷大无穷大 定义定义2 设函数设函数 f x 在在x0的某一个空心领域中有定义的某一个空心领域中有定义 或或 x 大于某一个正数大于某一个正数 若对于任意给定的正数 若对于任意给定的正数M 总存在 总存在 正数 正数 或正数或正数X 只要 只要x适合不等式适合不等式0 x x0 X 对 对 应的函数值应的函数值 f x 总满足不等式总满足不等式 f xM 则称函数则称函数 f x 为当为当x x0 x 时的无穷大 记为时的无穷大 记为 lim x f x 注注1 记号并不是表明函数记号并不是表明函数f x 当当x x0 x 时极限存在 而仅是为了表明函数时极限存在 而仅是为了表明函数f x 当自变量 在变化的过程中 有确定的变化趋势 当自变量 在变化的过程中 有确定的变化趋势 2 无穷大无穷大 不是一个数 不是一个数 lim x f x 例例2 证明 即函数当证明 即函数当x 1时 为无穷大 时 为无穷大 1 1 lim 1 x x 1 1 f x x 证 证 M 0 要使 即故取 要使 即故取 1 1 M x 1 1 x M 1 M 当当0 x x0 即 即 1 1 lim 1 x x x y o1 1 1 y x 定理定理2 在自变量的某一个变化过程中 如果在自变量的某一个变化过程中 如果 f x 为无穷 大 则为无穷小 反之 如果 为无穷 大 则为无穷小 反之 如果f x 为无穷小 且为无穷小 且 1 f x f x 0 则为无穷大 则为无穷大 1 f x 证设 证设 0 由无穷大的定义 由无穷大的定义 0 当 当0 x x0 即 即 1 f x 0 当当0 x x0 时 有 时 有 0 lim 0 xx f x 1 M 1 f x M 因当因当0 x x0 即 即 0 lim 0 xx f x 类似 可证的情形 类似 可证的情形 0 lim 0 xx f x 极限运算法则极限运算法则 利用函数极限与无穷小的关系利用函数极限与无穷小的关系 定理定理1 我们导出如下 的极限运算法则 为了简化起见 我们以记号 表示当自变量在某一个变化过程中的极限 这里变量 我们导出如下 的极限运算法则 为了简化起见 我们以记号 表示当自变量在某一个变化过程中的极限 这里变量 x可以可以x x0 也可以也可以x 在相关的证明过程中 只要 把 在相关的证明过程中 只要 把0 x x0 X即可 即可 lim x f x 定理定理3 有限个无穷小的和是无穷小 有限个无穷小的和是无穷小 证考虑两个无穷小的情形 设当 证考虑两个无穷小的情形 设当x x0时 时 是无穷小 考虑变量 是无穷小 考虑变量 由条 件 故对 由条 件 故对 0 1 0 当当0 x x0 1时 有时 有 0 lim0 xx 2 0 2 0 当当0 x x0 2 时 有时 有 0 lim0 xx 2 取 当取 当0 x x0 时 有 时 有 12 min 22 0 使得对一切的有 使得对一切的有 u M 又设 又设 是当是当x x0时的无穷小量 即 时的无穷小量 即 0 2 0 当 当 0 x x0 2时 有时 有 01 o U x 01 o xU x M 取 当取 当0 x x0 时 有 时 有 12 min uM M 同时成立 从而同时成立 从而 uuM M 2 111121 B BBg xBB B 0 当 当0 x x0 0 0 当当0 u u0 有有 f uA 0 1 0 当当0 x x0 1 有有 g x g x0 又由假设 当又由假设 当0 x x0 1 有 有g x u0 取 取 max 1 2 则当 则当0 x x0 1时 有时 有 0 0 lim xx g xu 0 0 g xu 从而 有从而 有 f g xAf uA 0时 时 1 lim3 x u 0 0 lim uu uu 故由定理故由定理6 得 得 1 lim 21 x x 极限存在准则极限存在准则 在这一目中 我们主要讨论极限存在的两个重要准在这一目中 我们主要讨论极限存在的两个重要准 则 及利用这两个准则所得到的两个重要极限 则 及利用这两个准则所得到的两个重要极限 limlim nn nn yza 准则准则1 如果数列如果数列 xn yn zn 满足下列条件 满足下列条件 yn xn zn n 1 2 3 则数列 则数列 xn 的极限存在 且的极限存在 且 lim n n xa 证因证因xn a yn a 由数列极限的定义 由数列极限的定义 0 N1 0 当当n N1时时 有有 xn a 0 N2 0 当当n N2时 有时 有 zn a N时 关系式时 关系式 nn yaza 同时成立 即有同时成立 即有 nnn ayxza 即即 n xa M 时 时 1 0 o xU x g xf xh x 00 lim lim lim lim xxxxxx g xh xAg xh xA 则 则 0 lim lim xxx f xAf xA 重要极限重要极限1 0 sin lim1 x x x 证首先注意到函数对一切证首先注意到函数对一切x 0都有定义 并且 为偶函数 故仅需证明对 都有定义 并且 为偶函数 故仅需证明对x 0时关系成立即可 时关系成立即可 sinx x 如图所示 在单位圆中 记圆心角如图所示 在单位圆中 记圆心角 AO D C B x 0 2 AOBxx 点点A处的切线与处的切线与OB的连长线交于的连长线交于D BC OA 则 则 sin tan xCB xABxAD DAOB的面积的面积 扇形扇形AOB DAOD的面积 的面积 111 sintan 222 xxx sintan xxx 即 即 不等式两边都除以不等式两边都除以 sinx 得 得 1 1 sincos x xx 变形为变形为 sin cos1 x x x 因 由准则因 由准则1 得 得 0 limcos1 x x 0 sin lim1 x x x 注注 0 limcos1 x x 当时 有不等式 当时 有不等式0 2 x 2 2 0cos11cos2sin 22 xx xx 即 即 2 01cos 2 x x 当当x 0时 由准则得时 由准则得 2 0 2 x 1 0 lim 1cos0 x x 即即 0 limcos1 x x 例例9 求求 0 tan lim x x x 解解 0000 tansin1sin1 limlimlimlim1 coscos xxxx xxx xxxxx 例例10 求求 3 0 sintan lim x xx x 解解 33 00 2 22 00 2 2 0 sintansin cos1 limlim cos 2sin 1sincos1 2 limlim cos 2 12 lim 2 xx xx x xxxx xx x x xx xxxx x x 0 arcsin lim x x x 例例11 求求 解令解令t arc sinx 则则x sin t 当当x 0时 时 t 0 则由复合则由复合 函数的极限运算法则 得函数的极限运算法则 得 00 arcsin limlim1 sin xt xt xt 准则准则2 单调有界数列必有极限 单调有界数列必有极限 作为这个准则的应用 我们来讨论极限作为这个准则的应用 我们来讨论极限 1 lim 1 x x x 设 今证数列设 今证数列 xn 单调增加且有界 单调增加且有界 1 1 n n x x 23 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 3 1 1 1 11112 1 1111 2 3 1121 111 n n n x n nn nn nn nnn n nn n nn nnn n nnnn 类似地有类似地有 1 11112 1 1111 2 13 11 1121 111 111 112 111 1 111 n x nnn n nnnn n nnnn 比较比较xn xn 1的展开式 可以看到除前两项外 的展开式 可以看到除前两项外 xn的每的每 一项都小于一项都小于xn 1的每一项 且还多了最后的一项 其值的每一项 且还多了最后的一项 其值 大于零 所以大于零 所以 xn xn 1 由此说明数列由此说明数列 xn 是单调增加上升的 又因是单调增加上升的 又因 21 1 111111 1 11 1 2 3 222 1 1 1 2 133 1 2 1 2 n n n n x n 此说明数列此说明数列 xn 是有界的 由极限存在准则是有界的 由极限存在准则2 知数列 知数列 xn 的极限存在 以数的极限存在 以数e表示 即表示 即 1 lim 1 n n e n 可以证明 当可以证明 当x x 时 函数的极限 均存在 且都等于 时 函数的极限 均存在 且都等于e 即有 即有 1 1 x x 1 lim 1 x x e x 例例12 求求 1 lim 1 x x x 解解 1 1 11 lim 1lim1 xn xx e xx 例例13 求求 1 2 1 2 2 222 lim 1lim 1 1 111 2 lim1 1 xx xx x x xxx e x 此例说明 对于任何整数此例说明 对于任何整数k 总有 总有 1 lim 1 x k x e x 例例14 求求 2 lim 2 x x x x 解解 4 2 4 4 2244 limlimlim 1 222 4 lim1 2 xxx xxx x x xx xxx e x 无穷小的比较无穷小的比较 在本节的第一目中 我们看到有限个无穷小的和 积在本节的第一目中 我们看到有限个无穷小的和 积 仍然是无穷小 但无穷小的商却会出现多种情况 例如 仍然是无穷小 但无穷小的商却会出现多种情况 例如 2 2 00 3sin lim0 lim0 lim1 3 xxx xxx xxx 可以看到 当可以看到 当x 0时 时 x2 0比比x 0的速度更快 而的速度更快 而 sin x 0与与x 0的速度大致相同 在这个过程中 可以的速度大致相同 在这个过程中 可以 看到看到 阶阶 起了一个比较重要的作用 为此 我们引入 起了一个比较重要的作用 为此 我们引入 定义 设 定义 设 是两个无穷小 是两个无穷小 若则称 是 的高阶无穷小 记作 若则称 是 的高阶无穷小 记作lim0 x o 若则称 是 的低阶无穷小 若则称 是 的低阶无穷小 lim x 若则称 是 的同阶无穷小 若则称 是 的同阶无穷小 lim0 x c 若则称 是 的 若则称 是 的k阶无穷小阶无穷小 lim0 k x 若则称 是 的等价无穷小 记作 若则称 是 的等价无穷小 记作 lim1 x 由前面的例中可以看到 由前