【趣味数学】高中数学校本课程：第11课时 立体几何趣题——球在平面上的投影.doc

第11课时 立体几何趣题球在平面上的投影教学要求：明白球在不同光照下的投影教学过程： 放在水平面上的球与水平面切于点A，一束光线投射到球上，那么球的影子的轮廓是什么曲线?切点A与轮廓曲线的关系又是什么? 一、平行光线下球的投影 放在水平面上的半径为R的球与水平面切于点止，与水平面所成角为()的太阳光投射到球上，则球在水平面上的投影是以A为 一个焦点的椭圆分析：显然，当太阳光垂直于水平面，即时，球在水平面上的投影是以为A圆心，R为半径的圆；当时，球在水平面上的投影是以A为一个焦点的椭圆，如图1如图l所示，与球面相切的光线构成一个圆柱面，与球切于圆O，则光线在水平面上的投影，可以看成圆柱面与水平面的交线， 设与水平面平行且与球相切的平面与球相切于点D，与圆柱面的交线为；P为上的任意一点，经过点P的光线为PP，(P，为光线PP与平面的交点)，且与球相切于点C，过点D作与光线平行的直线交水平面于点B，连结PB,易知，PB=PD=PC，PA=PC,即知PA+PB=PP, 又PP =为一定值，则知点P在以A,B为焦点，长轴长为的椭圆上，二、点光源下的球的投影放在水平面上的半径为R的球与水平面切于点A，与水平面距离为h的点光源S(S在球面外)投射到球上，则球在水平面上的投影是以A为一个焦点的圆锥曲线或以A为圆心的圆，且其形状与大小与光源到水平面的距离h及SA与水平面所成角有关1当过点S，球心O的直线与水平面垂时，此时必有h2R球在水平面上的投影是以球与水平面的切点为圆心的圆(图略)，2当过点S、球心O的直线与水平面不垂直时 若h2R，则球在水平面上的投影是以A为一个焦点的椭圆，如图2如图2所示，与球相切的光线构成一个圆锥面设切点的集合为圆；球与圆锥面及水平面都相切，与圆锥面的切点的集合为圆，与水平面的切点为B；P为球在水平面的投影线上的任意一点，过P的光线与球O、的切点分别为D，C，则有PC=PB、PD=PA，易知CD为两圆锥母线之差(为一定值)即PA+PB=CD(定值)，所以，球在水平面上的投影是以A、B为焦点的椭圆. 若h=2R,则球在水平面上的投影是以A为焦点的抛物线，如图3如图3所示，与球O相切的光线构成一个圆锥面设切点的集合为圆Ol；过S、O，A的平面与水平面交于AG；圆Ol所在的平面与水平面的交线为L；P为球在水平面的投影线上的任意一点，过P与平行的平面与圆锥面交于所以，球在水平面上的投影是以A为焦点，L为准线的抛物线 若h2R，则球在水平面上的投影是以A为一个焦点的双曲线的一支，如图4 如图4所示，与球O相切的光线构成一个圆 锥面设切点的集合为圆02；球Ol与圆锥面及 水平面都相切，与圆锥面的切点的集合为圆03， 与水平面的切点为月；户为球在水平面的投影线上的任意一点，过户的光线与球O、Ol的切点分 别为G、打，则有PH二PB、PG二PA，且易知GH为两圆锥母线之和(为一定值)即PB-PA=CH(定值)，所以，球在水平面上的投影是以A,B为焦点的双曲线的一支 三、小结：当平行光线与水平面垂直时，球 在光线的投射下的轮廓线是一个圆，且球与水平面的切点为这个圆的圆心，当平行光线与水平 面不垂直时，球在光线下的投影是以球与水平面的切点为一个焦点的椭圆 当点光源S与球心的连线与水平面垂直时，