中考数学一轮复习 第三章 函数及其图象 3.4.2 二次函数的应用（试卷部分）课件.ppt

3 4 2二次函数的应用 中考数学 江苏专用 考点二次函数的应用 a组2014 2018年江苏中考题组 五年中考 1 2018连云港 7 3分 已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h m 与飞行时间t s 满足函数表达式h t2 24t 1 则下列说法中正确的是 a 点火后9s和点火后13s的升空高度相同b 点火后24s火箭落于地面c 点火后10s的升空高度为139md 火箭升空的最大高度为145m 答案da 当t 9时 h 136 当t 13时 h 144 所以点火后9s和点火后13s的升空高度不相同 此选项错误 b 当t 24时 h 1 0 所以点火后24s火箭离地面的高度为1m 此选项错误 c 当t 10时 h 141 此选项错误 d 由h t2 24t 1 t 12 2 145知火箭升空的最大高度为145m 此选项正确 故选d 解题关键本题主要考查二次函数的应用 采用逐项分析法 解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质 思路分析分别求出t 9 13 24 10时h的值可判断a b c三个选项 将解析式配方成顶点式可判断d选项 2 2018盐城 27 14分 如图 在平面直角坐标系xoy中 抛物线y ax2 bx 3经过点a 1 0 b 3 0 且与y轴交于点c 1 求抛物线的表达式 2 如图 将宽为4个单位长度的直尺垂直于x轴 并沿x轴左右平移 直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于p q两点 点p在点q的左侧 连接pq 在线段pq上方抛物线上有一动点d 连接dp dq i 若点p的横坐标为 求 dpq面积的最大值 并求此时点d的坐标 ii 直尺在平移过程中 dpq面积是否有最大值 若有 求出面积的最大值 若没有 请说明理由 解析 1 将a 1 0 b 3 0 代入y ax2 bx 3 得解得 抛物线的表达式为y x2 2x 3 2 i 当点p的横坐标为 时 点q的横坐标为 此时点p的坐标为 点q的坐标为 设直线pq的表达式为y mx n m 0 将p q代入y mx n 得解得 直线pq的表达式为y x 如图 过点d作de y轴交直线pq于点e 设点d的坐标为 x x2 2x 3 则点e的坐标为 de x2 2x 3 x2 3x s dpq de xq xp 2x2 6x 2 8 2 0 当x 时 dpq的面积取最大值 最大值为8 此时点d的坐标为 ii 假设有最大值 设点p的横坐标为t 则点q的横坐标为4 t 点p的坐标为 t t2 2t 3 点q的坐标为 4 t 4 t 2 2 4 t 3 利用待定系数法易知 直线pq的表达式为y 2 t 1 x t2 4t 3 设点d的坐标为 x x2 2x 3 则点e的坐标为 x 2 t 1 x t2 4t 3 de x2 2x 3 2 t 1 x t2 4t 3 x2 2 t 2 x t2 4t s dpq de xq xp 2x2 4 t 2 x 2t2 8t 2 x t 2 2 8 2 0 当x t 2时 dpq的面积取最大值 最大值为8 假设成立 即直尺在平移过程中 dpq面积有最大值 面积的最大值为8 思路分析 1 利用待定系数法即可求出抛物线的表达式 2 由点p的横坐标可得出点p q的坐标 利用待定系数法可求出直线pq的表达式 过点d作de y轴交直线pq于点e 表示出de的长度 再表示 dpq的面积 利用二次函数的性质即可求出最值 3 2017泰州 23 10分 怡然美食店的a b两种菜品 每份成本均为14元 售价分别为20元 18元 这两种菜品每天的营业额共为1120元 总利润为280元 1 该店每天卖出这两种菜品共多少份 2 该店为了增加利润 准备降低a种菜品的售价 同时提高b种菜品的售价 售卖时发现 a种菜品售价每降0 5元可多卖1份 b种菜品售价每提高0 5元就少卖1份 如果这两种菜品每天销售总份数不变 那么这两种菜品一天的总利润最多是多少 解析 1 设该店每天卖出a b两种菜品分别为x y份 根据题意得解得 x y 60 答 该店每天卖出这两种菜品共60份 2 设a种菜品售价降低0 5a元 即每天卖 20 a 份 这两种菜品一天的总利润为w元 因为两种菜品每天销售总份数不变 所以b种菜品每天卖 40 a 份 每份售价提高0 5a元 则w 20 14 0 5a 20 a 18 14 0 5a 40 a 6 0 5a 20 a 4 0 5a 40 a 0 5a2 4a 120 0 5a2 16a 160 a2 12a 280 a 6 2 316 当a 6时 w最大 最大值为316 答 这两种菜品每天的总利润最多是316元 主要考点二元一次方程组的应用 配方法求二次函数最大值 解题关键根据题意列出正确的关系式是解题关键 解析 1 根据题意得a 4 0 c 0 2 抛物线y x2 bx c经过a c两点 y x2 x 2 2 存在 如图 令y 0 则 x2 x 2 0 解得x1 4 x2 1 b 1 0 过d作dm x轴于m交ac于k 过b作bn x轴交直线ac于n dm bn dke bne 又 设d k b 1 0 n a 2 2 当a 2时 取得最大值 最大值是 存在 a 4 0 b 1 0 c 0 2 ac 2 bc ab 5 ac2 bc2 ab2 abc是以 acb为直角的直角三角形 取ab的中点p p 连接pc pa pc pb cpo 2 bac tan cpo tan2 bac 过d作x轴的平行线交y轴于r 交ac于g 情况一 dcf 2 bac dgc cdg 又 dgc bac cdg bac rc k rg k dr 3k k k 解得a 或0 舍去 综上可得 点d的横坐标为 2或 解题关键本题考查了待定系数法求函数的解析式 相似三角形的判定和性质等知识 正确作出辅助线 结合三角函数求值是解决问题的关键 5 2016连云港 26 12分 如图 在平面直角坐标系xoy中 抛物线y ax2 bx经过两点a 1 1 b 2 2 过点b作bc x轴 交抛物线于点c 交y轴于点d 1 求此抛物线对应的函数表达式及点c的坐标 2 若抛物线上存在点m 使得 bcm的面积为 求出点m的坐标 3 连接oa ob oc ac 在内 求使得 aoc与 obn相似 边oa与边ob对应 的点n的坐标 解析 1 把a 1 1 b 2 2 代入y ax2 bx中得解得 所求函数表达式为y x2 x 2分 bc x轴 设c点坐标为 x0 2 x0 2 解得x0 或x0 2 由题意知x0 0 x0 c 4分 2 设 bcm边bc上的高为h bc s bcm h h 2 点m即为抛物线上到bc的距离为2的点 点m的纵坐标为0或4 令y x2 x 0 解得x1 0 x2 m1 0 0 m2 6分 令y x2 x 4 解得x3 x4 m3 m4 综上所述 点m的坐标为 0 0 8分 3 a 1 1 b 2 2 c d 0 2 易求得ob 2 oa oc aod bod 45 tan cod 如图1 当 aoc bon时 aoc bon on 2oc 5 过点n作ne x轴于点e cod 45 aoc 45 bon noe 在rt noe中 tan noe tan cod oe 4 ne 3 点n的坐标为 4 3 同理可得 点n的坐标也可为 3 4 思路分析 1 将a b点的坐标代入y ax2 bx 求出a b的值 再根据bc x轴 从而得c点坐标 2 由bc长与 bcm的面积 求出m的纵坐标 从而可得其横坐标 进而得m点坐标 3 分类讨论 利用相似三角形的性质求解 评析本题是二次函数的综合应用 考查了二次函数的性质 相似三角形的性质 也考查了分类讨论思想 6 2016镇江 28 10分 如图1 二次函数y1 x 2 x 4 的图象与x轴交于a b两点 点a在点b的左侧 其对称轴l与x轴交于点c 它的顶点为点d 1 写出点d的坐标 2 点p在对称轴l上 位于点c上方 且cp 2cd 以p为顶点的二次函数y2 ax2 bx c a 0 的图象过点a 试说明二次函数y2 ax2 bx c a 0 的图象过点b 点r在二次函数y1 x 2 x 4 的图象上 到x轴的距离为d 当点r的坐标为时 二次函数y2 ax2 bx c a 0 的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于2d 如图2 已知0 m 2 过点m 0 m 作x轴的平行线 分别交二次函数y1 x 2 x 4 y2 ax2 bx c a 0 的图象于点e f g h 点e g在对称轴l左侧 过点h作x轴的垂线 垂足为点n 交二次函数y1 x 2 x 4 的图象于点q 若 ghn ehq 求实数m的值 解析 1 3 1 1分 2 点p在对称轴l上 位于点c上方 且cp 2cd 点p的坐标为 3 2 以p为顶点的二次函数y2 ax2 bx c a 0 的图象过点a y2 2 x 3 2 2 或y2 2 x 2 x 4 或y2 2x2 12x 16 二次函数y2 ax2 bx c a 0 的图象过点b 3分 由对称性说理相应给分 3 1 或 3 1 或 3 1 6分 每个坐标给1分 设过点m平行于x轴的直线交对称轴l于点k 易证直线l也是二次函数y2 ax2 bx c a 0 的图象的对称轴 设n n 0 hn 2 n 2 n 4 qn n 2 n 4 即 7分 ghn ehq 由对称性可知 8分 解法一 设kg t t 0 则g的坐标为 3 t m e的坐标为 3 2t m 评析本题为二次函数综合题 考查了二次函数的顶点坐标 点是否在二次函数图象上 相似三角形的性质以及二次函数的性质 本题为压轴题 属难题 7 2017扬州 27 12分 农经公司以30元 千克的价格收购一批农产品进行销售 为了得到日销售量p 千克 与销售价格x 元 千克 之间的关系 经过市场调查获得部分数据如下表 1 请你根据表中的数据 用所学过的一次函数 二次函数 反比例函数的知识确定p与x之间的函数表达式 2 农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格 才能使日销售利润最大 3 若农经公司每销售1千克这种农产品需支出a元 a 0 的相关费用 当40 x 45时 农经公司的日获利的最大值为2430元 求a的值 日获利 日销售利润 日支出费用 解析 1 假设p与x成一次函数关系 设函数表达式为p kx b 则解得 p 30 x 1500 检验 当x 35时 p 450 当x 45时 p 150 当x 50时 p 0 满足题意 所求的函数表达式为p 30 x 1500 b组2014 2018年全国中考题组 考点二次函数的应用 1 2018湖北武汉 15 3分 飞机着陆后滑行的距离y 单位 m 关于滑行时间t 单位 s 的函数解析式是y 60t t2 在飞机着陆滑行中 最后4s滑行的距离是m 答案24 解析y 60t t2 t 20 2 600 即t 20时 y取得最大值 即滑行距离达到最大 此时滑行距离是600m 当t 16时 y 60 16 162 576 所以最后4s滑行的距离为600 576 24m 2 2014辽宁沈阳 15 4分 某种商品每件进价为20元 调查表明 在某段时间内若以每件x元 20 x 30 且x为整数 出售 可卖出 30 x 件 若使利润最大 每件的售价应为元 答案25 解析设利润为y元 则y x 20 30 x x2 50 x 600 x 25 2 25 所以当每件的售价为25元时 利润最大 3 2018福建 23 10分 如图 在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙mn 某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园abcd 其中ad mn 已知矩形菜园的一边靠墙 另三边一共用了100米木栏 1 若a 20 所围成的矩形菜园的面积为450平方米 求所利用旧墙ad的长 2 求矩形菜园abcd面积的最大值 解析 1 设ad的长为x米 则ab的长为米 依题意 得 450 解得x1 10 x2 90 因为a 20 x a 所以x 90不合题意 舍去 故所利用旧墙ad的长为10米 2 设ad的长为x米 0 x a 则矩形菜园abcd的面积s x2 100 x x 50 2 1250 若a 50 则当x 50时 s最大 s最大 1250 若0 a 50 则当0 x a时 s随x的增大而增大 故当x a时 s最大 s最大 50a a2 综上 当a 50时 矩形菜园abcd面积的最大值是1250平方米 当0 a 50时 矩形菜园abcd面积的最大值是平方米 解后反思本题考查一元二次方程 二次函数等基础知识 考查运算能力 推理能力 应用意识 创新意识 考查函数与方程思想 分类与整合思想 数形结合思想 4 2017河南 23 11分 如图 直线y x c与x轴交于点a 3 0 与y轴交于点b 抛物线y x2 bx c经过点a b 1 求点b的坐标和抛物线的解析式 2 m m 0 为x轴上一动点 过点m且垂直于x轴的直线与直线ab及抛物线分别交于点p n 点m在线段oa上运动 若以b p n为顶点的三角形与 apm相似 求点m的坐标 点m在x轴上自由运动 若三个点m p n中恰有一点是其他两点所连线段的中点 三点重合除外 则称m p n三点为 共谐点 请直接写出使得m p n三点成为 共谐点 的m的值 解析 1 直线y x c与x轴交于点a 3 0 3 c 0 c 2 b 0 2 1分 抛物线y x2 bx c过点a 3 0 32 3b 2 0 b 抛物线的解析式为y x2 x 2 3分 2 mn x轴 m m 0 n 由 1 知直线ab的解析式为y x 2 oa 3 ob 2 在 apm和 bpn中 apm bpn amp 90 若使 bpn和 apm相似 则需 nbp 90 或 bnp 90 分两种情况讨论如下 i 当 nbp 90 时 过点n作nc y轴于点c 则 nbc bnc 90 nc m bc m2 m 2 2 m2 m nbp 90 nbc abo 90 abo bnc rt ncb rt boa 5分 解得m 0 舍去 或m m 6分 ii 当 bnp 90 时 bn nm 点n的纵坐标为2 m2 m 2 2 m 0 舍去 或m m 综上 点m的坐标为或 8分 m 1或m 或m 11分 详解 由已知得m m 0 n p 令 x2 x 2 0 得x1 3 x2 i 当0 m 3时 mn yn ym m2 m 2 pm yp ym m 2 此时只可能p是mn的中点 即mn 2pm m2 m 2 2 解得m1 3 m2 当m 3时 m p n重合 不符合题意 舍去 故m ii 当 m 0时 mn m2 m 2 pm m 2 此时只可能n是pm的中点 即pm 2mn m 2 2 失分警示1 第 2 问中 分 nbp 90 和 bnp 90 两种情况求点m的坐标 分m3四种情况求m的值 做题时考虑不全面 易失分 2 在求线段长度时 一定要注意端点的位置和坐标的符号 5 2016北京 27 7分 在平面直角坐标系xoy中 抛物线y mx2 2mx m 1 m 0 与x轴的交点为a b 1 求抛物线的顶点坐标 2 横 纵坐标都是整数的点叫做整点 当m 1时 求线段ab上整点的个数 若抛物线在点a b之间的部分与线段ab所围成的区域内 包括边界 恰有6个整点 结合函数的图象 求m的取值范围 解析 1 y mx2 2mx m 1 m x 1 2 1 抛物线的顶点坐标为 1 1 2 当m 1时 抛物线的表达式为y x2 2x 令y 0 解得x1 0 x2 2 线段ab上整点的个数为3 当抛物线经过点 1 0 时 m 当抛物线经过点 2 0 时 m 结合函数的图象可知 m的取值范围为 m 解析 1 抛物线的解析式为y x2 8 3分 2 正确 理由 设p 则pf 8 x2 4分 过点p作pm y轴于点m 则pd2 pm2 dm2 x 2 x4 x2 4 pd x2 2 6分 pd pf x2 2 x2 2 猜想正确 7分 3 好点 共有11个 9分 在点p运动时 de大小不变 当pe与pd的和最小时 pde的周长最小 pd pf 2 pd pf 2 pe pd pe pf 2 当p e f三点共线时 pe pf最小 此时点p e的横坐标都为 4 将x 4代入y x2 8 得y 6 p 4 6 此时 pde的周长最小 且 pde的面积为12 点p恰为 好点 pde的周长最小时 好点 的坐标为 4 6 11分 提示 pde的面积s x2 3x 4 x 6 2 13 由 8 x 0 知4 s 13 所以s的整数值有10个 由函数图象知 当s 12时 对应的 好点 有2个 所以 好点 共有11个 7 2017山东潍坊 23 9分 工人师傅用一块长为10dm 宽为6dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器 需要将四角各裁掉一个正方形 厚度不计 1 在图中画出裁剪示意图 用实线表示裁剪线 虚线表示折痕 并求长方体底面面积为12dm2时 裁掉的正方形边长多大 2 若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的五倍 并将容器进行防锈处理 侧面每平方分米的费用为0 5元 底面每平方分米的费用为2元 裁掉的正方形边长多大时 总费用最低 最低为多少 解析 1 如图所示 2分 设裁掉的正方形边长为xdm 由题意可得 10 2x 6 2x 12 3分 即x2 8x 12 0 解得x1 2或x2 6 舍去 4分 所以当长方体底面面积为12dm2时 裁掉的正方形的边长为2dm 5分 2 由题意得 10 2x 5 6 2x 所以0 x 2 5 6分 设总费用为w元 由题意可知 w 0 5 2x 16 4x 2 10 2x 6 2x 7分 4x2 48x 120 4 x 6 2 24 8分 因为该二次函数图象的对称轴为直线x 6 开口向上 所以当0 x 2 5时 w随x的增大而减小 所以当x 2 5时 w取最小值 wmin 25 所以当裁掉的正方形边长为2 5dm时 总费用最低 最低为25元 9分 c组教师专用题组 考点二次函数的应用 1 2017辽宁沈阳 15 3分 某商场购进一批单价为20元的日用商品 如果以单价30元销售 那么半月内可销售出400件 根据销售经验 提高销售单价会导致销售量的减少 且销售单价每提高1元 销售量相应减少20件 当销售单价是元时 才能在半月内获得最大利润 答案35 解析设销售单价为x元 半月内的利润为y元 由题意知y x 20 400 20 x 30 x 20 1000 20 x 20 x2 1400 x 20000 20 x 35 2 4500 20 0 抛物线开口向下 当x 35时 y取得最大值 即销售单价是35元时 才能在半月内获得最大利润 2 2018江西 21 9分 某乡镇实施产业扶贫 帮助贫困户承包了荒山种植某品种蜜柚 到了收获季节 已知该蜜柚的成本价为8元 千克 投入市场销售时 调查市场行情 发现该蜜柚销售不会亏本 且每天销售量y 千克 与销售单价x 元 千克 之间的函数关系如图所示 1 求y与x的函数关系式 并写出x的取值范围 2 当该品种蜜柚定价为多少时 每天销售获得的利润最大 最大利润是多少 3 某农户今年共采摘蜜柚4800千克 该品种蜜柚的保质期为40天 根据 2 中获得最大利润的方式进行销售 能否销售完这批蜜柚 请说明理由 思路分析 1 利用待定系数法求出y与x的函数关系式 根据蜜柚销售不会亏本及销售量不能为负求得x的取值范围 2 根据 总利润 单件利润 销售量 列出函数解析式 并配方成顶点式即可得出最大利润 3 根据 2 中获得最大利润的方式进行销售 即x 19 求出40天的总销售量 与4800比较即可得出答案 方法指导用二次函数解决实际最值问题的一般步骤 1 设出实际问题中的变量 2 建立函数关系式 3 利用待定系数法或根据题意分析列等式求出函数关系式 4 确定自变量取值范围 5 利用二次函数的性质求出最值 对所得最值进行检验 是否符合实际意义 3 2017内蒙古包头 23 10分 某广告公司设计一幅周长为16米的矩形广告牌 广告设计费为每平方米2000元 设矩形一边长为x米 面积为s平方米 1 求s与x之间的函数关系式 并写出自变量x的取值范围 2 设计费能达到24000元吗 为什么 3 当x是多少米时 设计费最多 最多是多少元 解析 1 矩形的周长为16米 一边长为x米 其邻边长为 8 x 米 s x 8 x x2 8x 其中 0 x 8 3分 2 能 理由如下 设计费为每平方米2000元 当设计费为24000元时 面积为24000 2000 12 平方米 令 x2 8x 12 解得x1 2 x2 6 设计费能达到24000元 6分 3 s x2 8x x 4 2 16 当x 4时 s取得最大值 且smax 16 16 2000 32000 元 当x是4米时 设计费最多 最多是32000元 10分 思路分析 1 一边长为x米 用x表示出其邻边的长 从而可求s与x的关系式 2 根据设计费求出面积 代入解析式能求出符合题意的边长 所以答案是肯定的 3 把解析式表示成顶点式 求出最大面积 进而求出最多的设计费 方法规律用函数探究实际问题中的最值问题一般有两种方法 一种是列出一次函数解析式 分析自变量的取值范围 得出最值 另一种是建立二次函数模型 列出二次函数关系式 整理成顶点式 当二次项系数小于0时 有最大值 即顶点的纵坐标 自变量的取值即为顶点的横坐标 当二次项系数大于0时 有最小值 即顶点的纵坐标 自变量的取值即为顶点的横坐标 4 2017湖北黄冈 23 12分 月电科技有限公司用160万元作为新产品的研发费用 成功研制出了一种市场急需的电子产品 已于当年投入生产并进行销售 已知生产这种电子产品的成本为4元 件 在销售过程中发现 每年的年销售量y 万件 与销售价格x 元 件 的关系如图所示 其中ab为反比例函数图象的一部分 bc为一次函数图象的一部分 设公司销售这种电子产品的年利润为z 万元 注 若上一年盈利 则盈利不计入下一年的年利润 若上一年亏损 则亏损计作下一年的成本 1 请求出y 万件 与x 元 件 之间的函数关系式 2 求出第一年这种电子产品的年利润z 万元 与x 元 件 之间的函数关系式 并求出第一年年利润的最大值 3 假设公司的这种电子产品第一年恰好按年利润z 万元 取得最大值时进行销售 现根据第一年的盈亏情况 决定第二年将这种电子产品每件的销售价格x 元 定在8元以上 x 8 当第二年的年利润不低于103万元时 请结合年利润z 万元 与销售价格x 元 件 的函数示意图 求销售价格x 元 件 的取值范围 解析 1 当4 x 8时 设y k 0 将a 4 40 代入 得k 4 40 160 y与x之间的函数关系式为y 1分 当8 x 28时 设y k x b k 0 将b 8 20 c 28 0 代入得 解得 y与x之间的函数关系式为y x 28 3分 综上所述 y 4分 2 当4 x 8时 z x 4 y 160 x 4 160 当4 x 8时 z随着x的增大而增大 当x 8时 z取最大值 zmax 80 5分 5 2016苏州 28 10分 如图 直线l y 3x 3与x轴 y轴分别相交于a b两点 抛物线y ax2 2ax a 4 a 0 经过点b 1 求该抛物线的函数表达式 2 已知点m是抛物线上的一个动点 并且点m在第一象限内 连接am bm 设点m的横坐标为m abm的面积为s 求s与m的函数表达式 并求出s的最大值 3 在 2 的条件下 当s取得最大值时 动点m相应的位置记为点m 写出点m 的坐标 将直线l绕点a按顺时针方向旋转得到直线l 当直线l 与直线am 重合时停止旋转 在旋转过程中 直线l 与线段bm 交于点c 设点b m 到直线l 的距离分别为d1 d2 当d1 d2最大时 求直线l 旋转的角度 即 bac的度数 解析 1 直线l y 3x 3与x轴 y轴分别相交于a b两点 当y 0时 x 1 当x 0时 y 3 点a b的坐标分别为 1 0 0 3 点b 0 3 在抛物线y ax2 2ax a 4上 3 a 4 a 1 该抛物线的函数表达式为y x2 2x 3 2 连接om s s四边形oamb s aob s obm s oam s aob 3 m 1 m2 2m 3 1 3 m2 m 点m在第一象限 0 m 3 当m 时 s有最大值 3 由 2 可知 当m 时 s有最大值 ym 即点m 的坐标为 分别过点b m 作bd l 于点d m e l 于点e 则bd d1 m e d2 易得bm 评析本题为二次函数综合题 考查了用待定系数法求二次函数的解析式 三角形面积的最值问题 以及二次函数的性质 本题为压轴题 属难题 6 2016河北 26 12分 如图 抛物线l y x t x t 4 常数t 0 与x轴从左到右的交点为b a 过线段oa的中点m作mp x轴 交双曲线y k 0 x 0 于点p 且oa mp 12 1 求k值 2 当t 1时 求ab长 并求直线mp与l对称轴之间的距离 3 把l在直线mp左侧部分的图象 含与直线mp的交点 记为g 用t表示图象g最高点的坐标 4 设l与双曲线有个交点的横坐标为x0 且满足4 x0 6 通过l位置随t变化的过程 写出t的取值范围 解析 1 设点p x y 则mp y 由oa的中点为m知oa 2x 代入oa mp 12 得2x y 12 即xy 6 k xy 6 3分 2 当t 1时 令y 0 0 x 1 x 3 x1 1 x2 3 由b在a左边 得b 3 0 a 1 0 ab 4 5分 l的对称轴为x 1 而m为 mp与l对称轴之间的距离为 6分 3 a t 0 b t 4 0 l的对称轴为x t 2 7分 又mp为x 当t 2 即t 4时 顶点 t 2 2 就是g的最高点 当t 4时 l与mp的交点就是g的最高点 10分 4 5 t 8 或7 t 8 12分 注 如果考生答 5 t 8 给1分 4 的简解 对于双曲线 当4 x0 6时 1 y0 即l与双曲线在c d 6 1 之间的一段有个交点 由 4 t 4 t 4 得t1 5 t2 7 由1 6 t 6 t 4 得t3 8 t4 8 随着t的逐渐增大 l位置随着点a t 0 向右平移 如图所示 当t 5时 l右侧过点c 当t 8 7时 l右侧过点d 即5 t 8 当8 t 7时 l右侧离开了点d 而左侧未到点c 即l与该段无交点 舍去 当t 7时 l左侧过点c 当t 8 时 l左侧过点d 即7 t 8 7 2016天津 25 10分 已知抛物线c y x2 2x 1的顶点为p 与y轴的交点为q 点f 1 求点p q的坐标 2 将抛物线c向上平移得抛物线c 点q平移后的对应点为q 且fq oq 求抛物线c 的解析式 若点p关于直线q f的对称点为k 射线fk与抛物线c 相交于点a 求点a的坐标 解析 1 y x2 2x 1 x 1 2 顶点p的坐标为 1 0 当x 0时 y 1 点q的坐标为 0 1 2 根据题意 设抛物线c 的解析式为y x2 2x m 则点q 的坐标为 0 m 其中m 1 得oq m 点f 过点f作fh oq 垂足为h 则fh 1 q h m 在rt fq h中 根据勾股定理 得fq 2 q h2 fh2 fq 2 12 m2 m fq oq m2 m m2 解得m 抛物线c 的解析式为y x2 2x 设点a x0 y0 则y0 2x0 且y0 0 过点a作x轴的垂线 与直线q f相交于点n 可设点n的坐标为 x0 n 则an y0 n 其中y0 n 连接fp 由点f p 1 0 得fp x轴 得fp an 有 anf pfn 连接pk 则直线q f是线段pk的垂直平分线 fp fk 有 pfn afn anf afn 得af an 根据勾股定理 得af2 x0 1 2 其中 x0 1 2 y0 af y0 y0 y0 n 得n 0 即点n的坐标为 x0 0 设直线q f的解析式为y kx b k 0 则解得 y x 由点n在直线q f上 得 x0 0 解得x0 将x0 代入y0 2x0 得y0 点a的坐标为 8 2015吉林长春 24 12分 如图 在平面直角坐标系中 抛物线y a x 1 2 4与x轴交于a b两点 与y轴交于点c 且点b的坐标为 3 0 点p在这条抛物线上 且不与b c两点重合 过点p作y轴的垂线与射线bc交于点q 以pq为边作rt pqf 使 pqf 90 点f在点q的下方 且qf 1 设线段pq的长度为d 点p的横坐标为m 1 求这条抛物线所对应的函数表达式 2 求d与m之间的函数关系式 3 当rt pqf的边pf被y轴平分时 求d的值 4 以ob为边作等腰直角三角形obd 当0 m 3时 直接写出点f落在 obd的边上时m的值 d m2 2m m m2 3m 当0 m 3时 如图 d m m2 2m m2 3m 6分 图 图 3 边pf被y轴平分 如图 线段pq被y轴平分 点p与点q关于y轴对称 m m2 2m 0 解得m1 0 m2 1 点p不与点c重合 m 1 当m 1时 d 12 3 1 2 8分 4 2 1 1 12分 提示 如图 9 2015山东临沂 26 13分 在平面直角坐标系中 o为原点 直线y 2x 1与y轴交于点a 与直线y x交于点b 点b关于原点的对称点为点c 1 求过a b c三点的抛物线的解析式 2 p为抛物线上一点 它关于原点的对称点为q 当四边形pbqc为菱形时 求点p的坐标 若点p的横坐标为t 1 t 1 当t为何值时 四边形pbqc面积最大 并说明理由 解析 1 解方程组得 点b的坐标为 1 1 1分 点c和点b关于原点对称 点c的坐标为 1 1 2分 又 点a是直线y 2x 1与y轴的交点 点a的坐标为 0 1 3分 设抛物线的解析式为y ax2 bx c a 0 解得 抛物线的解析式为y x2 x 1 5分 2 如图1 点p在抛物线上 可设点p的坐标为 m m2 m 1 当四边形pbqc是菱形时 o为菱形的中心 pq bc 即点p q在直线y x上 m m2 m 1 7分 解得m 1 8分 点p的坐标为 1 1 或 1 1 9分 图1 解法一 如图2 点p的坐标为 t t2 t 1 过点p作pd y轴 交直线y x于点d 则d t t 分别过点b c作be pd cf pd 垂足分别为点e f 图2 pd t t2 t 1 t2 1 be cf 2 10分 s pbc pd be pd cf pd be cf t2 1 2 t2 1 12分 s pbqc 2t2 2 当t 0时 s pbqc有最大值2 13分 解法二 如图3 点p的坐标为 t t2 t 1 过点b作y轴的平行线 过点c作x轴的平行线 两直线交于点d 连接pd 图3 s pbc s bdc s pbd s pdc 2 2 2 t 1 2 t2 t 1 1 t2 1 12分 s pbqc 2t2 2 当t 0时 s pbqc有最大值2 13分 解法三 如图4 过点p作pe bc 垂足为e 作pf x轴交bc于点f 图4 pe ef 点p的坐标为 t t2 t 1 点f的坐标为 t2 t 1 t2 t 1 pf t2 t 1 t t2 1 pe t2 1 11分 s pbc bc pe 2 t2 1 t2 1 12分 s pbqc 2t2 2 当t 0时 s pbqc有最大值2 13分 10 2015内蒙古包头 26 12分 已知抛物线y x2 bx c经过a 1 0 b 3 0 两点 与y轴相交于点c 该抛物线的顶点为点d 1 求该抛物线的解析式及点d的坐标 2 连接ac cd bd bc 设 aoc boc bcd的面积分别为s1 s2和s3 用等式表示s1 s2 s3之间的数量关系 并说明理由 3 点m是线段ab上一动点 不包括点a和点b 过点m作mn bc交ac于点n 连接mc 是否存在点m使 amn acm 若存在 求出点m的坐标和此时刻直线mn的解析式 若不存在 请说明理由 解析 1 抛物线y x2 bx c经过a 1 0 b 3 0 两点 解得 该抛物线的解析式为y x2 2x 3 2分 1 4 点d的坐标为 1 4 3分 2 s1 s2 s3的数量关系为s2 s1 s3 过点d作de x轴于点e 作df y轴于点f 则在rt cfd中 cd2 2 cd 在rt edb中 bd2 20 在rt boc中 bc2 18 bc 3 cd2 bc2 bd2 bcd为直角三角形 s1 ao oc 1 3 s2 ob oc 3 3 s3 bc cd 3 3 s1 s3 3 s2 s1 s3 7分 3 存在点m 使得 amn acm 设点m的坐标为 m 0 1 m 3 则ma m 1 m 1 在rt aoc中 ac mn bc an m 1 amn acm man cam amn acm m 1 2 m 1 m1 m2 1 舍 11 2015陕西 24 10分 在平面直角坐标系中 抛物线y x2 5x 4的顶点为m 与x轴交于a b两点 与y轴交于c点 1 求点a b c的坐标 2 求抛物线y x2 5x 4关于坐标原点o对称的抛物线的函数表达式 3 设 2 中所求抛物线的顶点为m 与x轴交于a b 两点 与y轴交于c 点 在以a b c m a b c m 这八个点中的四个点为顶点的平行四边形中 求其中不是菱形的平行四边形的面积 解析 1 令y 0 得x2 5x 4 0 x1 4 x2 1 令x 0 得y 4 a 4 0 b 1 0 c 0 4 a 1 0 b 4 0 c 0 4 也正确 3分 2 不妨令a在b的左侧 a b c关于坐标原点o对称的点为 4 0 1 0 0 4 所求抛物线的函数表达式可设为y ax2 bx 4 5分 将 4 0 1 0 代入上式 得a 1 b 5 y x2 5x 4即为所求 7分 3 如图 取四点a m a m 连接am ma a m m a mm 由中心对称性可知 mm 过点o oa oa om om 四边形ama m 为平行四边形 又知aa 与mm 不垂直 ama m 不是菱形 8分 过点m作md x轴于点d y x2 5x 4 m 又 a 4 0 a 4 0 aa 8 md s ama m 2s ama 2 8 18 10分 求得符合题意的 bmb m 的面积为或 cmc m 的面积为20亦正确 12 2015福建福州 26 13分 如图 抛物线y x2 4x与x轴交于o a两点 p为抛物线上一点 过点p的直线y x m与对称轴交于点q 1 这条抛物线的对称轴是 直线pq与x轴所夹锐角的度数是 2 若两个三角形面积满足s poq s paq 求m的值 3 当点p在x轴下方的抛物线上时 过点c 2 2 的直线ac与直线pq交于点d 求 pd dq的最大值 pd dq的最大值 备用图 解析 1 x 2 45 2 设直线pq交x轴于点b 分别过点o a作pq的垂线 垂足分别是e f 显然当点b在oa的延长线上时 s poq s paq不成立 当点b落在线段oa上时 如图1 图1 由 obe abf得 ab 3ob ob oa 由y x2 4x得点a 4 0 ob 1 b 1 0 1 m 0 m 1 当点b落在ao的延长线上时 同理可得ob oa 2 图2 b 2 0 2 m 0 m 2 综上所述 当m 1或2时 s poq s paq 3 解法一 过点c作ch x轴交直线pq于点h 如图3 可得 chq是等腰三角形 cdq 45 45 90 ad ph dq dh pd dq ph 过点p作pm 直线ch于点m 则 pmh是等腰直角三角形 ph pm 当pm最大时 ph最大 当点p在抛物线顶点处时 pm取最大值 此时pm 6 ph的最大值为6 即pd dq的最大值为6 图3解法二 如图4 过点p作pe x轴 交ac于点e 作pf cq于点f 图4 则 pde cdq pfq是等腰直角三角形 设点p x x2 4x 则e x x 4 f 2 x2 4x pe x2 3x 4 fq pf 2 x 点q 2 x2 5x 2 cq x2 5x pd dq pe cq 2x2 8x 4 x 2 2 6 0 x 4 当x 2时 pd dq的最大值为6 由 可知 pd dq 6 设pd a 则dq 6 a pd dq a 6 a a2 6a a 3 2 18 当点p在抛物线的顶点时 a 3 pd dq 18 pd dq的最大值为18 附加说明 对a的取值范围的说明 设p点坐标为 n n2 4n 延长pm交ac于n pd a pn 4 n n2 4n n2 3n 4 0 0 n 4 当n 时 有最大值 为 0 a 解后反思在第 2 问中 pqa和 pqo共用底边pq 从而可以把面积的比转换为高的比 再利用相似三角形求得oa和ob的关系 构造方程 求出m的值 第 3 问构造等腰直角三角形是解题的突破口 综合性较强 属于难题 13 2014无锡 26 10分 如图 二次函数y ax2 bx c a 0 的图象过坐标原点o 与x轴的负半轴交于点a 过a点的直线与y轴交于b 与二次函数的图象交于另一点c 且c点的横坐标为 1 ac bc 3 1 1 求点a的坐标 2 设二次函数图象的顶点为f 其对称轴与直线ab及x轴分别交于点d和点e 若 fcd与 aed相似 求此二次函数的关系式 解析 1 过c点作cg x轴 垂足为g 则og 1 ag 3 ao 4 点a的坐标为 4 0 2 由题知 c 0 将a 4 0 代入y ax2 bx中 得0 16a 4b b 4a y ax2 4ax f 2 4a c 1 3a de 2a d 2 2a fcd aed 显然有 dcf dea 90 过c作ch df交df于h 则ch 1 dh a hf a h为df的中点 dcf 90 dh ch 1 a 1 此二次函数的关系式为y x2 4x 解后反思本题是二次函数综合题 涉及的知识点较多 有一定难度 对于第 2 问 得出h为df的中点是解题的关键 14 2014湖北黄冈 25 13分 已知 如图所示 在四边形oabc中 ab oc bc x轴于点c a 1 1 b 3 1 动点p从点o出发 沿着x轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动 过点p作pq垂直于直线oa 垂足为点q 设点p移动的时间为t秒 0 t 2 opq与四边形oabc重叠部分的面积为s 1 求经过o a b三点的抛物线的解析式 并确定顶点m的坐标 2 用含t的代数式表示点p 点q的坐标 3 如果将 opq绕着点p按逆时针方向旋转90 是否存在t 使得 opq的顶点o或顶点q在抛物线上 若存在 请求出t的值 若不存在 请说明理由 4 求出s与t的函数关系式 解析 1 抛物线过原点o 0 0 可设经过a b o三点的抛物线的解析式为y ax2 bx a 0 或直接设y ax2 bx c a 0 将a 1 1 b 3 1 代入y ax2 bx a 0 中 得 y x2 x 又y x2 x x 2 2 顶点m的坐标为 2 点a的坐标为 1 1 coa 45 opq为等腰直角三角形 过q作qd x轴于d op 2t od op 2t t dq op t 点p的坐标为 2t 0 点q的坐标为 t t 3 当 opq绕点p逆时针旋转90 后 点o的坐标为 2t 2t 点q的坐标为 3t t 若点o在y x2 x上 则 2t 2 2t 2t 2t2 t 0 t1 0 t2 0 t 2 t 当t 时 点o 1 1 在y x2 x上 只需求出t的值即可 若点q在y x2 x上 则 3t 2 3t t t2 t 0 t1 0 t2 1 又 0 t 2 t 1 当t 1时 点q 3 1 在y x2 x上 只需求出t的值即可 4 如图 分三种情况讨论 当0 t 1时 s s opq op yq 2t t t2 当1 t 时 设p q 交ab于点e s s op q s aeq ab oc q ae coa 45 aeq 也为等腰直角三角形 oq op cos45 2t t aq oq oa t t 1 s aeq aq 2 t 1 2 s t2 t 1 2 2t 1 或s s梯形oaep 如图 当 t 2时 设p q 交bc于点f 交ab于点e 则s s op q s ae q s cfp s ae q aq 2 t 1 2 s cfp cp 2 2t 3 2 s t2 t 1 2 2t 3 2 2t2 8t 或s s梯形oabc s be f s 评析本题的 1 2 问较为基础 主要考查二次函数的基础知识 3 4 问需要分情况进行讨论 对学生分析问题的能力要求较高 15 2014广东广州 24 14分 已知平面直角坐标系中两定点a 1 0 b 4 0 抛物线y ax2 bx 2 a 0 过点a b 顶点为c 点p m n n 当 apb为直角时 将该抛物线向左或向右平移t个单位 点c p平移后对应的点分别记为c p 是否存在t 使得首尾依次连接a b p c 所构成的多边形的周长最短 若存在 求t的值并说明抛物线平移的方向 若不存在 请说明理由 解析 1 抛物线过a b两点 解得 抛物线的解析式为y x2 x 2 解析式转化为顶点式为y 点c的坐标为 2 存在 由题意知点p在x轴的下方 设抛物线和y轴的交点为d 则d 0 2 连接ad bd 当点p与点d重合时 ad bd 2 ab 5 故ad2 bd2 ab2 即 adb 90 由抛物线的对称性可得 点d关于抛物线对称轴的对称点e 3 2 满足 aeb 90 以ab为直径作圆 则d e均在圆上 抛物线上点a到d及e到b之间的部分在圆内 当p在这两个范围内运动时 满足 apb为钝角 m的取值范围为 1 p的坐标为 3 2 将bp沿pc方向平移 使得p与c重合 b落在b 处 作y 则c在这条直线上 以y 这条直线为对称轴 作b 的对称点b 连接ab ab与cp为定值 则只需求ac bp的最小值即可 ac bp ac b c ac cb ab 当c为ab 与直线y 的交点时 ac bp最小 根据平移性质可得 b 的坐标为 b 的坐标为 设直线ab 的解析式为y kx b k 0 解得 y x 当y 时 x t 抛物线应该向左平移 16 2014山东济南 28 9分 如图1 抛物线y x2平移后过点a 8 0 和原点 顶点为b 对称轴与x轴相交于点c 与原抛物线相交于点d 1 求平移后抛物线的解析式并直接写出阴影部分的面积s阴影 2 如图2 直线ab与y轴相交于点p 点m为线段oa上一动点 pmn为直角 边mn与ap相交于点n 设om t 试探究 t为何值时 man为等腰三角形 t为何值时线段pn的长度最小 最小长度是多少 图1图2备用图 解析 1 设平移后的抛物线解析式为y x2 bx c 1分 平移后的抛物线过原点和a 8 0 解得 平移后的抛物线的解析式为y x2 x 2分 s阴影 12 3分 2 如图 由 1 可知顶点b的坐标为 4 3 bc垂直平分线段o