运用全等三角形证题的基本思路.doc

运用全等三角形证题的基本思路运用全等三角形能够证明若干与线段或角有关的几何问题那么如何证明两个三角形全等呢？一般来说，应根据题设条件，结合图形寻求边或角相等，使之逐步逼近某一判定公理或定理，其基本思路有：一、有两边对应相等，则寻求夹角或第三边对应相等例1 已知：如图1，ABAC，ADAE，12，求证：BDCE分析：要证明BDCE，只要证明ABDACE因为已知条件已给出了有两边对应相等，所以只需证明这两边的夹角也相等，即BADCAE而根据图形和已知条件“12”，即可获证证明：12，1BAC2BAC，即BADCAE在ABD和ACE中，ABDACE（SAS），故BDCE例2 已知：如图2，ABDF，ACDE，BEFC，求证：ABDF分析：要证明ABDF，只要证明BF，由于B、F分别在ABC和DFE中，这就要证明ABCDFE，因为已知条件给出了两边对应相等，所以可证明两个三角形的第三条边对应相等，即BCFE，而根据图形和已知条件“BEFC”，即可获证证明：BEFC，BEECFCCE，即BCFE在ABC和DFE中，ABCDFE（SSS），BF，故ABDF二、有两角对应相等，则寻求夹边或任一等角的对边对应相等例3 已知：如图3，ABCD，ADBC求证：ABCD，ADBC分析：要证明ABCD，ADBC，只要连结AC，证明ABCCDA，因为已知条件告诉ABCD，ADBC，这就等于告诉12，34，而AC又是它们的夹边，则问题获证证明：连结AC，ABCD，ADBC，12，34，在ABC和CDA中，ABCCDA（ASA），故ABCD，ADBC例4 已知：如图4，12，34，求证：BECD分析：要证明BECD，只要证明BCECBD，在这两个三角形中，12，34，而1的对边是BC，2的对边是CB，且有BCCB，则问题获证证明：在BCE和CBD中，BCECBD（AAS）故BECD三、有一边和该边的对角对应相等，则寻求另一角对应相等例5 已知：如图5，ABC中，BAC90，ABAC，直线MN经过点A，BDMN，CEMN，垂足为D、E求证：BDAE分析：要证明BDAE，只要证明ABDCAE，现有条件是一边和该边的对角对应相等，则还需再证明另一角对应相等，而不难发现1290，2390，所以13，则问题获证证明：BDMN，CEMN，ADBCEA90，而BAC90，1290239013在ADB和CEA中，ADBCEA（AAS），故BDAE四、有一边和该边的邻角对应相等，则寻求夹等角的另一边对应相等，或另一角对应相等例6 已知：如图6，ABC中，ACB90，CBA45，E是AC上一点，延长BC到D，使CDCE求证：BFAD分析：要证明BFAD只要证明1290，这时AFE90，又3490，23，那么只需证明14，这时只要证明ACDBCE，在这两个三角形中，已知有一边和该边的邻角对应相等，只要证明CACB，此时条件中有CBA45，可得到CACB，则问题获证证明：ACB90，CBA45，CACB在ACD和BCE中，ACDBCE（SAS）144390，321290，故BFAD例7 已知：如图7，ABAC，BC，12，求证：ADAE分析：要证明ADAE，只要证明ABDACE，由已知条件知，有一边和该边的邻角对应相等，只要再证明另一角对应相等，此时有12，可得BADCAE，则问题获证证明：121BAE2BAE，BADCAE，在ABD和ACE中，ABDACE（ASA），故ADAE五、对于直角三角形来讲，则优先考虑运用“斜边、直角边公理”，当此路不通时，再回到上述思路中去例8 已知：如图8，ADDB，BCCC，ACBD，求证：ADBC分析：要证明ADBC，只要证明ADBBCA，而这两个三角形是直角三角形，可考虑运用“斜边、直角边公理”证明，此时由题设条件ACBD，结合图形ABBA，则问题获证证明：ADDB，BCCA，ADB和BCA都是直角三角形，在RtADB和RtBCA中，RtADBRtBCA（HL），故ADBC六、对于运用全等三角形证明的结论一次不到位时，则可反复运用上述思路进行证明例9 已知：如图9，ABDE，AFCD，EFBC，AD，求证：BFCE分析：要证明BFCE，只要考虑证明“同位角相等”或“内错角相等”或“同旁内角互补”，这需要根据已知条件和图形特点，先进行比较，再作选择，由于图中没有现成的“同位角”和“内错角”，但添加辅助线后易得“内错角”（连结BE或CF）；另一方面，若考虑“同旁内角”，则要证“互补”，而由已知条件较易证得ABFDEC，估计进而证明角“相等”比证明角“互补”容易，所以可优先考虑证明“内错角相等”，即连结BE，设法证明FBECEB，这又需证明BEFEBC，这样问题就解决了，请读者完成这一证明例10 已知：如图10，在ABC和DBC中，12，34，P是BC上任意一点求证：PAPD分析：要证明PAPD，只要证明ABPDBP，在这两个三角形中，由条件才知道一边和该边的邻角对应相等，由图形知，还必须证明ABBD，这又需证明ABCDBC，而由12，34，BCBC，则问题解决了，请读者完成这一证明综上数例所述，运用全等三角形处理几何证明问题，要灵活运