【5年高考3年模拟】（新课标版）高考数学真题分类汇编 10.3 抛物线及其性质 理 (1).doc_第1页
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10.3 抛物线及其性质考点一抛物线的标准方程1.(2014湖南,15,5分)如图,正方形abcd和正方形defg的边长分别为a,b(a0)经过c,f两点,则=.答案1+2.(2014大纲全国,21,12分)已知抛物线c:y2=2px(p0)的焦点为f,直线y=4与y轴的交点为p,与c的交点为q,且|qf|=|pq|.(1)求c的方程;(2)过f的直线l与c相交于a、b两点,若ab的垂直平分线l与c相交于m、n两点,且a、m、b、n四点在同一圆上,求l的方程.解析(1)设q(x0,4),代入y2=2px得x0=.所以|pq|=,|qf|=+x0=+.由题设得+=,解得p=-2(舍去)或p=2.所以c的方程为y2=4x.(5分)(2)依题意知l与坐标轴不垂直,故可设l的方程为x=my+1(m0).代入y2=4x得y2-4my-4=0.设a(x1,y1),b(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2=-4.故ab的中点为d(2m2+1,2m),|ab|=|y1-y2|=4(m2+1).又l的斜率为-m,所以l的方程为x=-y+2m2+3.将上式代入y2=4x,并整理得y2+y-4(2m2+3)=0.设m(x3,y3),n(x4,y4),则y3+y4=-,y3y4=-4(2m2+3).故mn的中点为e,|mn|=|y3-y4|=.(10分)由于mn垂直平分ab,故a、m、b、n四点在同一圆上等价于|ae|=|be|=|mn|,从而|ab|2+|de|2=|mn|2,即4(m2+1)2+=.化简得m2-1=0,解得m=1或m=-1.所求直线l的方
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