【5年高考3年模拟】（新课标版）高考数学真题分类汇编 8.5 空间向量及其应用 理 (1).doc

8.5 空间向量及其应用考点一空间角1.(2014课标,11,5分)直三棱柱abc-a1b1c1中,bca=90,m,n分别是a1b1,a1c1的中点,bc=ca=cc1,则bm与an所成角的余弦值为()a. b. c. d.答案c2.(2014广东,5,5分)已知向量a=(1,0,-1),则下列向量中与a成60夹角的是()a.(-1,1,0) b.(1,-1,0)c.(0,-1,1) d.(-1,0,1)答案b3.(2014四川,8,5分)如图,在正方体abcd-a1b1c1d1中,点o为线段bd的中点.设点p在线段cc1上,直线op与平面a1bd所成的角为,则sin 的取值范围是()a. b.c. d.答案b4.(2014北京,17,14分)如图,正方形amde的边长为2,b,c分别为am,md的中点.在五棱锥p-abcde中,f为棱pe的中点,平面abf与棱pd,pc分别交于点g,h.(1)求证:abfg;(2)若pa底面abcde,且pa=ae,求直线bc与平面abf所成角的大小,并求线段ph的长.解析(1)证明:在正方形amde中,因为b是am的中点,所以abde.又因为ab平面pde,所以ab平面pde.因为ab平面abf,且平面abf平面pde=fg,所以abfg.(2)因为pa底面abcde,所以paab,paae.如图建立空间直角坐标系axyz,则a(0,0,0),b(1,0,0),c(2,1,0),p(0,0,2),f(0,1,1),=(1,1,0).设平面abf的法向量为n=(x,y,z),则即令z=1,则y=-1.所以n=(0,-1,1).设直线bc与平面abf所成角为,则sin =|cos|=.因此直线bc与平面abf所成角的大小为.设点h的坐标为(u,v,w).因为点h在棱pc上,所以可设=(01),即(u,v,w-2)=(2,1,-2).所以u=2,v=,w=2-2.因为n是平面abf的法向量,所以n=0,即(0,-1,1)(2,2-2)=0.解得=,所以点h的坐标为.所以ph=2.5.(2014陕西,17,12分)四面体abcd及其三视图如图所示,过棱ab的中点e作平行于ad,bc的平面分别交四面体的棱bd,dc,ca于点f,g,h.(1)证明:四边形efgh是矩形;(2)求直线ab与平面efgh夹角的正弦值.解析(1)证明:由该四面体的三视图可知,bddc,bdad,addc,bd=dc=2,ad=1.由题设,bc平面efgh,平面efgh平面bdc=fg,平面efgh平面abc=eh,bcfg,bceh,fgeh.同理efad,hgad,efhg,四边形efgh是平行四边形.又addc,adbd,ad平面bdc,adbc,effg,四边形efgh是矩形.(2)解法一:如图,以d为坐标原点建立空间直角坐标系,则d(0,0,0),a(0,0,1),b(2,0,0),c(0,2,0),=(0,0,1),=(-2,2,0),=(-2,0,1).设平面efgh的法向量n=(x,y,z),efad,fgbc,n=0,n=0,得取n=(1,1,0),sin =|cos|=.解法二:如图,以d为坐标原点建立空间直角坐标系,则d(0,0,0),a(0,0,1),b(2,0,0),c(0,2,0),e是ab的中点,f,g分别为bd,dc的中点,得e,f(1,0,0),g(0,1,0).=,=(-1,1,0),=(-2,0,1).设平面efgh的法向量n=(x,y,z),则n=0,n=0,得取n=(1,1,0),sin =|cos|=.6.(2014天津,17,13分)如图,在四棱锥p-abcd中,pa底面abcd,adab,abdc,ad=dc=ap=2,ab=1,点e为棱pc的中点.(1)证明bedc;(2)求直线be与平面pbd所成角的正弦值;(3)若f为棱pc上一点,满足bfac,求二面角f-ab-p的余弦值.解析解法一:依题意,以点a为原点建立空间直角坐标系(如图),可得b(1,0,0),c(2,2,0),d(0,2,0),p(0,0,2).由e为棱pc的中点,得e(1,1,1).(1)证明:向量=(0,1,1),=(2,0,0),故=0.所以bedc.(2)向量=(-1,2,0),=(1,0,-2).设n=(x,y,z)为平面pbd的法向量,则即不妨令y=1,可得n=(2,1,1)为平面pbd的一个法向量.于是有cos=.所以直线be与平面pbd所成角的正弦值为.(3)向量=(1,2,0),=(-2,-2,2),=(2,2,0),=(1,0,0).由点f在棱pc上,设=,01.故=+=+=(1-2,2-2,2).由bfac,得=0,因此,2(1-2)+2(2-2)=0,解得=.即=.设n1=(x,y,z)为平面fab的法向量,则即不妨令z=1,可得n1=(0,-3,1)为平面fab的一个法向量.取平面abp的法向量n2=(0,1,0),则cos=-.易知,二面角f-ab-p是锐角,所以其余弦值为.解法二:(1)证明:如图,取pd的中点m,连结em,am.由于e,m分别为pc,pd的中点,故emdc,且em=dc,又由已知,可得emab且em=ab,故四边形abem为平行四边形,所以beam.因为pa底面abcd,故pacd,而cdda,从而cd平面pad,因为am平面pad,于是cdam,又beam,所以becd.(2)连结bm,由(1)有cd平面pad,得cdpd,而emcd,故pdem.又因为ad=ap,m为pd的中点,故pdam,可得pdbe,所以pd平面bem,故平面bem平面pbd.所以直线be在平面pbd内的射影为直线bm,而beem,可得ebm为锐角,故ebm为直线be与平面pbd所成的角.依题意,有pd=2,而m为pd的中点,可得am=,进而be=.故在直角三角形bem中,tanebm=,因此sinebm=.所以直线be与平面pbd所成角的正弦值为.(3)如图,在pac中,过点f作fhpa交ac于点h.因为pa底面abcd,故fh底面abcd,从而fhac.又bfac,得ac平面fhb,因此acbh.在底面abcd内,可得ch=3ha,从而cf=3fp.在平面pdc内,作fgdc交pd于点g,于是dg=3gp.由于dcab,故gfab,所以a,b,f,g四点共面.由abpa,abad,得ab平面pad,故abag.所以pag为二面角f-ab-p的平面角.在pag中,pa=2,pg=pd=,apg=45,由余弦定理可得ag=,cospag=.所以二面角f-ab-p的余弦值为.7.(2014重庆,19,13分)如图,四棱锥p-abcd中,底面是以o为中心的菱形,po底面abcd,ab=2,bad=,m为bc上一点,且bm=,mpap.(1)求po的长;(2)求二面角a-pm-c的正弦值.解析(1)如图,连结ac,bd,因为abcd为菱形,则acbd=o,且acbd.以o为坐标原点,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系o-xyz.因为bad=,故oa=abcos=,ob=absin=1,所以o(0,0,0),a(,0,0),b(0,1,0),c(-,0,0),=(0,1,0),=(-,-1,0).由bm=,bc=2知,=,从而=+=,即m.设p(0,0,a),a0,则=(-,0,a),=.因为mpap,故=0,即-+a2=0,所以a=或a=-(舍去),即po=.(2)由(1)知,=,=,=.设平面apm的法向量为n1=(x1,y1,z1),平面pmc的法向量为n2=(x2,y2,z2),由n1=0,n1=0,得故可取n1=,由n2=0,n2=0,得故可取n2=(1,-,-2),从而法向量n1,n2的夹角的余弦值为cos=-,故所求二面角a-pm-c的正弦值为.8.(2014安徽,20,13分)如图,四棱柱abcd-a1b1c1d1中,a1a底面abcd.四边形abcd为梯形,adbc,且ad=2bc.过a1,c,d三点的平面记为,bb1与的交点为q.(1)证明:q为bb1的中点;(2)求此四棱柱被平面所分成上下两部分的体积之比;(3)若aa1=4,cd=2,梯形abcd的面积为6,求平面与底面abcd所成二面角的大小.解析(1)证明:因为bqaa1,bcad,bcbq=b,adaa1=a,所以平面qbc平面a1ad.从而平面a1cd与这两个平面的交线相互平行,即qca1d.故qbc与a1ad的对应边相互平行,于是qbca1ad.所以=,即q为bb1的中点.图1(2)如图1,连结qa,qd.设aa1=h,梯形abcd的高为d,四棱柱被平面所分成上下两部分的体积分别为v上和v下,bc=a,则ad=2a.=2ahd=ahd,vq-abcd=dh=ahd,所以v下=+vq-abcd=ahd,又=ahd,所以v上=-v下=ahd-ahd=ahd,故=.(3)解法一:如图1,在adc中,作aedc,垂足为e,连结a1e.又deaa1,且aa1ae=a,所以de平面aea1,于是dea1e.所以aea1为平面与底面abcd所成二面角的平面角.因为bcad,ad=2bc,所以sadc=2sbca.又因为梯形abcd的面积为6,dc=2,所以sadc=4,ae=4.于是tanaea1=1,aea1=.故平面与底面abcd所成二面角的大小为.图2解法二:如图2,以d为原点,的方向分别为x轴和z轴正方向建立空间直角坐标系.设cda=.因为s四边形abcd=2sin =6,所以a=.从而c(2cos ,2sin ,0),a1,所以=(2cos ,2sin ,0),=.设平面a1dc的一个法向量为n=(x,y,1),由得x=-sin ,y=cos ,所以n=(-sin ,cos ,1).又因为平面abcd的一个法向量为m=(0,0,1),所以cos=,故平面与底面abcd所成二面角的大小为.考点二空间向量及其应用9.(2014江西,10,5分)如图,在长方体abcd-a1b1c1d1中,ab=11,ad=7,aa1=12.一质点从顶点a射向点e(4,3,12),遇长方体的面反射(反射服从光的反射原理),将第i-1次到第i次反射点之间的线段记为li(i=2,3,4),l1=ae,将线段l1,l2,l3,l4竖直放置在同一水平线上,则大致的图形是()答案c10.(2014山东,17,12分)如图,在四棱柱abcd-a1b1c1d1中,底面abcd是等腰梯形,dab=60,ab=2cd=2,m是线段ab的中点.(1)求证:c1m平面a1add1;(2)若cd1垂直于平面abcd且cd1=,求平面c1d1m和平面abcd所成的角(锐角)的余弦值.解析(1)证明:因为四边形abcd是等腰梯形,且ab=2cd,所以abdc,又由m是ab的中点,因此cdma且cd=ma.连结ad1,在四棱柱abcd-a1b1c1d1中,因为cdc1d1,cd=c1d1,可得c1d1ma,c1d1=ma,所以四边形amc1d1为平行四边形.因此c1md1a,又c1m平面a1add1,d1a平面a1add1,所以c1m平面a1add1.(2)解法一:连结ac,mc,由(1)知cdam且cd=am,所以四边形amcd为平行四边形.可得bc=ad=mc,由题意abc=dab=60,所以mbc为正三角形,因此ab=2bc=2,ca=,因此cacb.以c为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系c-xyz.所以a(,0,0),b(0,1,0),d1(0,0,),因此m,所以=,=.设平面c1d1m的法向量n=(x,y,z),由得可得平面c1d1m的一个法向量n=(1,1).又=(0,0,)为平面abcd的一个法向量.因此cos=.所以平面c1d1m和平面abcd所成的角(锐角)的余弦值为.解法二:由(1)知平面d1c1m平面abcd=ab,过c向ab引垂线交ab于n,连结d1n.由cd1平面abcd,可得d1nab,因此d1nc为二面角c1-ab-c的平面角.在rtbnc中,bc=1,nbc=60,可得cn=.所以nd1=.在rtd1cn中,cosd1nc=.所以平面c1d1m和平面abcd所成的角(锐角)的余弦值为.11.(2014四川,18,12分)三棱锥a-bcd及其侧视图、俯视图如图所示.设m,n分别为线段ad,ab的中点,p为线段bc上的点,且mnnp.(1)证明:p是线段bc的中点;(2)求二面角a-np-m的余弦值.解析(1)证明:如图,取bd中点o,连结ao,co.由侧视图及俯视图知,abd,bcd为正三角形,因此aobd,ocbd.因为ao,oc平面aoc内,且aooc=o,所以bd平面aoc.又因为ac平面aoc,所以bdac.取bo的中点h,连结nh,ph.又m,n分别为线段ad,ab的中点,所以nhao,mnbd.因为aobd,所以nhbd.因为mnnp,所以npbd.因为nh,np平面nhp,且nhnp=n,所以bd平面nhp.又因为hp平面nhp,所以bdhp.又ocbd,hp平面bcd,oc平面bcd,所以hpoc.因为h为bo中点,故p为bc中点.(2)解法一:如图,作nqac于q,连结mq.由(1)知,npac,所