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把握图像要素 巧解物理图像问题 张丹彤1 董玉海2 1 扬州市教育局教研室 江苏 扬州 225000 2 江苏省扬州中学 江苏 扬州 225000 物理图像是一种特殊 形象的语言和工具 是研究物理 问题的重要手段 图像的特点是简明 清晰 形象直观 动态 过程清楚 利用图像可以避免复杂的运算过程 还可以恰当 地表示用语言难以表达的物理内涵 物理图像是高考物理中能力考查的热点 在高考 考试 大纲 的能力要求中 能运用函数图像进行表达 分析 是应 用图像处理物理问题能力的具体要求 在新课程物理教材 中 也十分强调应用图像解决物理问题的方法 高中物理中 图像一般分为直线 对应一次函数 抛物 线 对应二次函数 折线型 正弦 余弦 曲线型以及一般曲 线等 一次函数直线物理图像的点 角 斜率 面 图线围成 的面积 二次函数的顶点 正弦 余弦 曲线的纵轴顶点 图 线与横轴的交点以及一般曲线的拐点等要素与物理量的对 应关系是教学的关键 本文从数形结合的方法 变量代换的 方法 曲线形图像问题的解决方法等作一讨论 1 数形结合 从图像要素与物理量的对应关系入手解图像 问题 1 1 直线型图像 其图线所对应的一次函数方程为y kx b 在中学物 理中 很多物理规律的原始形式就是一次函数的形式 这里 的物理图线即为一倾斜直线 如图1 其点 角 面一般直接 对应某一物理量 如匀变速直线运动的速度公式v v0 at 对应的v t图线是一条倾斜直线 如图2 显然 y对 应v x对应t 图线与y轴交点即为运动的初速度v0 图线 上任意一点的纵坐标对应该时刻的速度 图线的斜率k tan 即为物体运动的加速度a 图线与t轴所围成的面积即 为物体在时间t内运动的位移 解决这类问题应首先弄清物 理规律与物理图像的对应关系 从图像中得出相应的物理量 的信息 再根据相应的物理规律解决问题 图1 图2 例1 某同学做了如下的力学实验 一个质量为m的物 体放在水平面上 物体受到向右的水平拉力F的作用后运 动 设水平向右为加速度的正方向 如图3 a 所示 现测得 物体的加速度a与拉力F之间的关系如图3 b 所示 由图 像可知 物体的质量m 物体与水平面间的动摩 擦因数 图3 分析 此题所给物理情景是在有摩擦力的平面上匀加速 运动的问题 本题不同于用物理语言给出物理过程 而是用 图像给出物理过程 如果学生不能抓住图像中的关键要素 会感到无从下手 本题的关键是图像中的截距和图线的斜率 两个要素的利用 由题给图像 b 图线与x轴的交点表示 加速度a 0时 F合 0 F mg 即F mg 20 N 1 由牛顿第二定律 F合 F mg ma 可得 a F m g 所以对应图线的斜率为k tan 1 m 故 1 m tan 4 20 2 由 1 2 式得 物体的质量为m 5 kg 物体与水平面 间的动摩擦因数为 0 4 1 2 折线型图像 一般用来表示较为复杂的物理过程中物理量之间的相 互关系 近几年高考中多次出现这类问题 如电子在电场中 的运动过程的图像表示等 解决这类问题的关键是要理解图 像所表示的物理过程的意义 在此基础上把握图像相关要素 所代表的物理量的变化情况 结合物理规律解决问题 例2 2002年全国高考题 质点所受的力F随时间变 化的规律如图4所示 力的方向始终在一直线上 已知t 0 时质点的速度为零 在图4所示的t1 t2 t3和t4各时刻中 哪一时刻质点的动能最大 A t 1 B t 2 C t 3 D t 4 分析 该题有多种分析方法 可以从力与加速度和速度 关系的角度去认识 也可以从动量与动能关系的角度去认 识 用动量与动能的分析方法必须抓住图线与t轴所围成的 面积这个要素与变力的冲量的对应关系 本题中物体质量不变 故其动能与物体速度的平方成正 比 也就与物体动量的平方成正比 在该题的F t图中 斜 21 Vol 28 No 3 2007 物 理 教 师 PHYSICS TEACHER 第28卷第3期 2007年 1994 2008 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 线与横轴所包围的面积值为变力F的冲量值 由于冲量是 矢量 F的正方向即为冲量的正方向 即在t轴上方的冲量 为正 下方为负 由图4可知 在t2时刻F对物体的冲量达 到最大值 由动量定理可知 物体所受合外力的冲量等于物 体动量的变化 由于本题中初动量为零 故此时动量最大 即 速度最大 也就是动能最大 故选 B 图4 图5 1 3 正弦 余弦 曲线 在中学物理中主要是描述周期性变化的物理过程 如简 谐运动中位移与时间的关系 波动过程在某一时刻的波动图 像 LC电磁振荡电路中的各物理量随时间变化的规律等 解决这类问题的关键是要把握图像各要素所代表的物理量 如纵轴所表示物理量的最大值 横轴所表示的物理量 周期 或波长 以及图线的切线的斜率代表的物理量 另外还要弄 清图像所表示的动态的物理过程 在此基础上形成解题思 路 例3 2006年全国高考天津卷 一单摆做小角度摆动 其振动图像如图5 以下说法正确的是 A t 1时刻摆球速度最大 悬线对它的拉力最小 B t 2时刻摆球速度为零 悬线对它的拉力最小 C t 3时刻摆球速度为零 悬线对它的拉力最大 D t 4时刻摆球速度最大 悬线对它的拉力最大 分析 图5所示的为振动图像 因此 纵轴表示质点离开 平衡位置的位移 解决本题可以将图像与振动过程一一对 应 可知 图线与横轴的交点表示摆球经过平衡位置 此时速 度最大 拉力也最大 也可以从图线的斜率所表示的物理意 义来看 因为v x t 所以本题图线任一点的切线的斜率表 示摆球运动的即时速度 显然 t2 t4时刻图线切线的斜率最 大 故速度最大 本题选 D 2 变量替换 巧妙实现 化曲为直 再从直线图像各要素与 物理量的间接关系解图像问题 在中学物理中 常遇到物理规律并非一次函数的形式 此时可以通过变量代换的方法将物理规律的原型演化为一 次函数的形式 并可作出对应的直线形图像 其点 线 面各 要素也一定与某些物理量存在某种间接的对应关系 如单摆 模型 当改变摆长时 其周期也作相应的改变 周期与摆长的 关系为T 2 L g 如果以T L为坐标轴直接作图是曲 线 但如果将公式变形为 L g 4 2 T 2 并以L T2为坐标 轴作图就是直线 且此直线的斜率与重力加速度成正比 例4 1998年全国高考题 在LC振荡电路中 如已知 电容C 并测得电路的固有振荡周期T 即可求得电感L 为 了提高测量精度 需多次改变C值并测得相应的T值 现将 测得的六组数据标示在以C为横坐标 T2为纵坐标的坐标 纸上 即图6中用 表示的点 1 T L C的关系为 2 根据图中给出的数据点作出T2与C的关系图线 3 求得的L值是 图6 分析 运用作图法处理实验数据是一种重要的处理数据 的方法 本题的LC振荡电路周期公式 T 2 LC 该式可转化为 T2 4 2 LC 在此基础上 知道为何要作T2 C图线 并知道此图线 应该是一条直线 作图时 数据点尽量靠近直线且均匀分布 在直线两侧 求L时 可由LC振荡电路的周期公式T 2 LC得到 L T2 4 2 C 其中 T2 C 即为图线的斜率 具体 解答过程略 3 拓宽迁移 以图像要素为抓手 巧解图像创新题 图像题的创新 在近年来的高考中常常出现 这类题目 常涉及到非线性问题 如灯泡加载电压后其电阻随电压变化 时的U I图像 或R U图像 P U图像 如2006年全 国高考北京卷21题 等 另外还出现了不明确纵 横轴所代 表的物理量 只要求作出线性图线 并根据图线作出判断之 类的问题 如2006年全国高考江苏卷实验题 等 不管图像 问题如何变化 但万变不离其宗 即要以图像要素为抓手 把 握数形结合的基本原理 明确图像要素与物理量的对应关 系 寻找解决问题的突破口 例5 2006年全国高考上海卷 伽利略通过研究自由落 体和物块沿光滑斜面的运动 首次发现了匀加速运动规律 伽利略假设物块沿斜面运动与物块自由下落遵从同样的法 则 他在斜面上用刻度表示物块滑下的路程 并测出物块通 过相应路程的时间 然后用图线表示整个运动过程 如图7 所示 图中OA表示测得的时间 矩形OA ED的面积表示该 时间内物块经过的路程 则图中OD的长度表示 P为DE的中点 连接OP且延长交A E的延长线于B 则 AB的长度表示 分析 此题并非我们常见的有明确坐标系的图像 从题 目给出的图形 我们可直接得知 OA直线表示时间 矩形 31 第28卷第3期 2007年 物 理 教 师 PHYSICS TEACHER Vol 28 No 3 2007 1994 2008 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved OA ED的面积表示该时间内物块经过的路程 即位移大 小 对照我们已有的经验 在v t图像中图线围成的面积 可视为位移 从图可以看出 ABO的面积与矩形OA ED 的相等 由此我们可以大胆构建以OA方向为时间轴 以 OD方向为速度轴的直角坐标系 由于假设物块沿斜面运动 与物块自由下落遵从同样的法则 即为匀加速运动 直线 OB应该就是在v t坐标系中反映物体作匀加速运动的图 线 如图8所示 至此 本题结果已经显见 OD的长度表示 物体运动的平均速度 AB的长度表示物体运动的末速度 图7 图8 图9 例6 小灯泡通电后其电流I 随所加电压U变化的关系图线如 图9所示 P为图线上一点 PI1为 过P点图线的切线 PU1为过P 点的U轴的垂线 PI2为过P点的 I轴的垂线 下列说法正确的是 A 随着所加电压的增大 小灯泡的电阻增大 且对应 P点小灯泡的电阻为 R U1 I2 I1 B 随着所加电压的增大 小灯泡的电阻增大 且对应 P点小灯泡的电阻为 R U1 I2 C 对应P点小灯泡的功率对应图线中OP曲线与U 轴所围成的面积 D 对应P点小灯泡的功率对应图线中矩形PI2OU1 所围成的面积 分析 初见此题 很多人会不假思索地认为 根据欧姆定 律 I U R 本题中I U图线切线斜率表示小灯泡的电阻 的倒数 随着U增大 图线向下弯曲 图线斜率在减小 故小 灯泡电阻在增大 且对应P点小灯泡的电阻为 R U1 I2 I1 甚至有人还会认为 因为电压 电流都在变化 因此对应P 点小灯泡的功率对应图线中OP曲线与U轴所围成的面积 故选择答案为 A C 以上分析是错误的 导致错误的原因是错误的迁移造成 的 对我们比较熟悉的匀变速直线运动 描述该运动的s t 图像是一条抛物线 由即时速度的定义式v s t 图线上任 一点的切线的斜率对应该时刻的即时速度 不少人很容易把 这个结论迁移到其他情况 对欧姆定律 在电阻R不变时 I U图线为一倾斜直线 其斜率与R对应 此时不仅满足R U I 同时还满足R U I 但当电阻R随着加载的电压变 化时 图线为一曲线 对应图线上任意一点 显然满足R U I 但并不满足R U I 即在I U图线中 当图线为曲线 时 图线上任一点的切线的斜率与R并不对应 本题中图线 上P点的小灯泡的电阻应为R U1 I2 另外 图线某一点的功 率P是一个状态量 不同于力学中的位移或冲量等是过程 量 因此根据功率的定义式P IU P点小灯泡的功率对应 图线中矩形PI2OU1所围成的面积 故正确结论是 B D 收稿日期 2006 10 12 上接第11页 动能的影响 此时 他们的热情空前高涨 纷 纷开动脑筋 经过几天的思考 学生们提出了2个设想 一是 把球改为滑块 二是采用中间带孔的小球 并用一根光滑 较 粗的钢丝穿过 后来 通过实验研究否定了 把球改为滑块 的方案 因为摩擦力的影响太大了 最终 采用了第2种方案 进行实验 装置如图2 结果显示 在消除转动动能的影响 之后 系统碰撞后的总动能比碰前的要小 至此 通过学生的 努力 已基本解决了自己在实验中发现的问题 并通过巧妙 的设计 克服了转动动能给 总动能 带来的影响 图2 6 分享探究的成果 在学生完成上述实验探究过程后 我让他们把整个研究 过程以小论文的形式进行总结 并利用一定的时间将研究成 果在班级里进行展示和交流 让全班学生都分享探究带来的 快乐 同时也让小组成员交流活动的体会和感想 极大地提 高了全班学生参与科学探究的热情 3 开展科学探究活动后的体验 从以上的两个典型的探究案例可以看到 这种探究练习 符合物理新课程标准的精神 教师亲自引导 参与到学生的 探究活动之中 既能在实践中观察 指导 培养学生 促进学 生的发展 还可以教师自己的行为影响 感染和教育学生 通 过这种学习活动 学生可以体验科学探究的过程 学习科