【三维设计】高考数学大一轮复习配套讲义（备考基础查清+热点命题悟通）第十四章 矩阵与变换 理 苏教版(1).DOC

第十四章矩阵与变换第一节矩阵及其变换1乘法规则(1)行矩阵a11a12与列矩阵的乘法法则：a11a12a11b11a12b21(2)二阶矩阵与列向量的乘法规则：.(3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个二阶矩阵，其乘法法则如下：.(4)两个二阶矩阵的乘法满足结合律，但不满足交换律和消去律，即(ab)ca(bc)(5)akalakl，(ak)lakl(其中k，ln*)2常见的平面变换(1)恒等变换：因为，该变换把点(x，y)变成(x，y)，故矩阵表示恒等变换(2)反射变换：因为，该变换把点(x，y)变成(x，y)，故矩阵表示关于y轴的反射变换；类似地，分别表示关于x轴、直线yx和直线yx的反射变换(3)伸缩变换：因为，该变换把点(x，y)变成点(x，ky)，在此变换中，点的横坐标不变，纵坐标变成原来的k倍，故矩阵表示y轴方向上的伸缩变换；类似地，矩阵可以用来表示水平伸缩变换(4)旋转变换：把点a(x，y)绕着坐标原点逆时针旋转角的变换，对应的矩阵是.(5)切变变换：表示的是沿x轴的切变变换沿y轴的切变变换对应的矩阵是.(6)投影变换：，该变换把所有横坐标为x的点都映射到了点(x,0)上，因此矩阵表示的是x轴上的投影变换类似地，表示的是y轴上的投影变换1二阶矩阵的乘法运算律中，易忽视abba，abac/ bc，但满足(ab)ca(bc)2易混淆绕原点逆时针旋转90的变换与绕原点顺时针旋转90的变换试一试1已知a，b，c.求ab和ac.解：ab，ac.2(2014福建龙岩模拟)已知点a在变换t：作用后，再绕原点逆时针旋转90，得到点b，若点b的坐标为(3,4)，求点a的坐标解：.设a(a，b)，则由，得所以，即a(2,3)待定系数法在平面变换中的应用通过二阶矩阵与平面向量的乘法求出变换前与变换后坐标之间的变换公式，进而得到所求曲线(或点)，求解时应注意待定系数法的应用练一练1(2014扬州模拟)已知矩阵a，b，若矩阵ab对应的变换把直线l：xy20变为直线l，求直线l的方程解：易得ab，在直线l上任取一点p(x，y)，经矩阵ab变换为点q(x，y)，则，即代入xy20中得xy20，直线l的方程为4xy80.考点一二阶矩阵的性质与运算典例求使等式m成立的矩阵m.解设m，则m，则即m.备课札记 类题通法1矩阵相等实质上是矩阵对应元素相等，体现了方程思想，要注意矩阵对应元素相等2矩阵的乘法只满足结合律，不满足交换律和消去律针对训练已知矩阵a，向量.求向量，使得a2.解：a2.设.由a2，得，从而 解得x1，y2，所以.考点二平面图形的变换典例在直角坐标系中，已知abc的顶点坐标为a(0,0)，b(2,0)，c(2,1)，求abc在矩阵mn作用下变换所得到的图形abc的面积，其中m，n.解：因为abc在mn作用下变换为abc，且mn，所以，.即a(0,0)，b(0,4)，c(2,4)可得sabc4.所以abc在矩阵mn作用下变换所得的图形的面积为4.备课札记 类题通法1对于平面图形的变换要分清是伸缩、反射、还是切变变换2伸缩、反射、切变变换这三种几何变换称为初等变换，对应的变换矩阵为初等变换矩阵，由矩阵的乘法可以看出，矩阵的乘法对应于变换的复合，一一对应的平面变换都可以看作这三种初等变换的一次或多次的复合针对训练在直角坐标系中，已知椭圆x24y21，矩阵m，n，求椭圆x24y21，在矩阵mn作用下变换所得到的图形的面积解：mn.设(x0，y0)为椭圆x24y21上任一点，它在mn的作用下所对应的点为(x，y)，则，即代入x4y1，得x2y21，在矩阵mn作用下变换所得到的图形的面积为.考点三矩阵变换的应用典例(2013福建高考)已知直线l：axy1在矩阵a对应的变换作用下变为直线l：xby1.(1)求实数a，b的值；(2)若点p(x0，y0)在直线l上，且a，求点p的坐标解(1)设直线l：axy1上任意点m(x，y)在矩阵a对应的变换作用下的像是m(x，y)由，得又点m(x，y)在l上，所以xby1，即x(b2)y1，依题意得解得(2)由a，得解得y00.又点p(x0，y0)在直线l上，所以x01.故点p的坐标为(1,0)备课札记 类题通法1在解决通过矩阵进行平面曲线的变换时，变换矩阵可以通过待定系数法解决，在变换时一定要把变换前后的变量区别清楚，防止混淆2曲线(或点)经过二阶矩阵变换后的曲线(或点)的求法，类似于平面解析几何中的代入法求轨迹，此类问题的关键是求对坐标之间的变换公式针对训练(2014江苏横山桥中学模拟)已知m，n，设曲线ysin x在矩阵mn对应的变换作用下得到曲线f，求f的方程解：由题设得mn设所求曲线f上任意一点的坐标为(x，y)，ysin x上任意一点的坐标为(x，y)，则mn，解得把代入ysin x，化简得y2sin 2x.所以，曲线f的方程为y2sin 2x.课堂练通考点1(2014福州模拟)将曲线xy1绕坐标原点按逆时针方向旋转45，求所得曲线的方程解：由题意，得旋转变换矩阵m，设xy1上的任意点p(x，y)在变换矩阵m作用下为p(x，y)，得1.故将曲线xy1绕坐标原点按逆时针方向旋转45，所得曲线的方程为1.2已知a，b为实数，如果a所对应的变换t把直线xy1变换为自身，试求a，b的值解：设点(x，y)是直线xy1上任意一点在变换t作用下的对应点为(x，y)，则，由题意xy1，axyby1，即ax(1b)y1，3已知abc的三个顶点a(0,0)，b(4,0)，c(0,3)，abc在矩阵m对应的变换作用下变为abc，求abc的面积解：由题意，a(0,0)，b(4,0)，c(0,6)，sabc4612.课下提升考能1设m，n，若mn，求x，y，p，q.解析：mn，解得或2曲线c1：x22y21在矩阵m的作用下变换为曲线c2，求c2的方程解：设p(x，y)为曲线c2上任意一点，p(x，y)为曲线c1上与p对应的点，则，即p是曲线c1上的点，c2的方程为(x2y)22y21.3求出曲线y24x依次经过矩阵a，b作用下变换得到的曲线方程x22y，求实数t.解：由已知得ba.任取曲线y24x上一点p(x0，y0)，它在矩阵ab对应的变换作用下变为p(x，y)，即有，则有p在曲线x22y上，x22y.即y2tx0，y4x0，比较得2t4t2.4已知曲线c：x2y21在矩阵m对应的变换作用下得到曲线c：y21，求矩阵m.解：在曲线c上任取一点p(x，y)，点p在矩阵m作用下得点p(x，y)，设m，则，由题意即a2，b0，c0，d1，m.5如果曲线x24xy3y21在矩阵的作用下变换得到曲线x2y21，求ab的值解：在曲线x24xy3y21上任取一点p(x，y)，设点p(x，y)在矩阵的作用下变换得到点p(x，y)，则.所以，即则(xay)2(bxy)21.化简，得(1b2)x22(ab)xy(a21)y21.从而解得a2，b0，所以ab2.6若一个变换所对应的矩阵是，求抛物线y24x在这个变换下所得到的曲线的方程解：设p(x，y)为y24x上任意一点，p(x，y)为变换后所得曲线上对应p的点，由题意24(x)，即y216x.抛物线y24x经变换后的曲线方程为y216x.7已知矩阵a，b，直线l1：xy40经矩阵a所对应的变换得到直线l2，直线l2又经矩阵b所对应的变换得到直线l3：xy40，求直线l2的方程解：ba，设p(x，y)是l1上的任意一点，其在ba所对应的变换作用下的像为(x，y)，则，得由题意可得，点(x，y)在直线l3上，所以2axby40即为直线l1：xy40，故a，b1.此时b，同理可设q(x0，y0)为l2上的任意一点，其在b所对应的变换作用下的像为(x0，y0)，则，得，又(x0，y0)在直线l3上，所以2y0x040，故直线l2的方程为2yx40，即x2y40.8二阶矩阵m对应变换将点(1,2)和(2,1)分别变换成(5,1)和(4，1)(1)求矩阵m；(2)求矩阵m将圆x2y21变换后的方程解：(1)设矩阵m，则由m和m，得解得所以m.(2)设点p(x，y)是圆x2y21上的任意一点，变换后的点为p(x，y)，则m，所以从而代入x2y21并化简得(x2y)2(xy)29，即(x2y)2(xy)29.第二节特征值与特征向量1逆变换与逆矩阵(1)逆变换：设是一个线性变换，如果存在线性变换，使得1，则称变换可逆，并且称是的逆变换(2)逆矩阵：设a是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵b，使得baabe2，则称矩阵a可逆，或称矩阵a是可逆矩阵，并且称b是a的逆矩阵(3)逆矩阵的性质性质：设a是一个二阶矩阵，如果a是可逆的，则a的逆矩阵是唯一的性质：设a，b是二阶矩阵，如果a，b都可逆，则ab也可逆，且(ab)1b1a1.(4)定理：二阶矩阵a可逆，当且仅当det aadbc0.2逆矩阵与二元一次方程组(1)定理：如果关于变量x，y的二元一次方程组(线性方程组)的系数矩阵a可逆，那么该方程组有唯一解1.(2)推论：关于变量x，y的二元一次方程组其中a，b，c，d是不全为零的常数，有非零解的充分必要条件是系数矩阵的行列式0.3特征值和特征向量设矩阵a，如果存在数以及非零向量，使得a，则称是矩阵a的一个特征值，是矩阵a的属于特征值的一个特征向量4特征向量的性质设1，2是二阶矩阵a的两个不同特征值，1，2是矩阵a的分别属于特征值1，2的特征向量，对于任意的非零平面向量，设t11t22(t1，t2为实数)，则对任意的正整数n，有ant11t22.1并不是每一个二阶矩阵都是可逆的：矩阵a可逆的充分必要条件是它对应的行列式|a|满足|a|adbc0，且a1.2不是每个矩阵都有特征值与特征向量，矩阵m有特征值的充分必要条件是方程0有解3属于矩阵的不同特征值的特征向量不共线试一试1若矩阵m，n，求矩阵mn的逆矩阵解：法一m为一伸缩变换对应的矩阵，m1.又n也为一伸缩变换对应的矩阵，n1.由矩阵的性质知(mn)1n1m1.法二：由已知，得mnmn的逆矩阵是(mn)12已知矩阵m的一个特征值为3，求其另一个特征值解：矩阵m的特征矩阵为，其特征多项式为(1)(x)(2)(2)由题意：(31)(3x)40，x1，m.由(1)(1)(2)(2)0，解得3或1.矩阵m的另一个特征值为1.1求逆矩阵的常见方法(1)待定系数法：设a是一个二阶可逆矩阵，abbae2；(2)公式法：|a|adbc，有a1，当且仅当|a|0；(3)从几何变换的角度求解二阶矩阵的逆矩阵；(4)利用逆矩阵的性质(ab)1b1a1.2求特征值和特征向量的方法(1)矩阵m的特征值满足(a)(d)bc0，属于的特征向量a满足m.(2)求特征向量和特征值的步骤：解f()0得特征值；解(a)xby0，取x1或y1，写出相应的向量练一练1给定矩阵a，b，求a4b.解：设a的一个特征值为，由题知0，得(2)(3)0，12，23，当12时，由2，得a的属于特征值2的特征向量1.当13时，由3，得a的属于特征值3的特征向量2.由于b2212，故a4ba4(212)2(241)(342)321812.2已知矩阵a，若矩阵a属于特征值3的一个特征向量为1，属于特征值1的一个特征向量为2，求矩阵a.解：由矩阵a属于特征值3的一个特征向量为1可得3，即由矩阵a属于特征值1的一个特征向量为2可得(1)，即解得即矩阵a.考点一逆矩阵的求法典例(2013江苏高考)已知矩阵a，b，求矩阵a1b.解设矩阵a的逆矩阵为，则，即，故a1，b0，c0，d，从而a的逆矩阵为a1，所以a1b.备课札记 类题通法1逆矩阵的求法常用待定系数法2若a，b两个矩阵均存在可逆矩阵，则有(ab)1b1a1，若a，b，c为二阶矩阵且a可逆，则当abac时，有bc，即此时矩阵乘法的消去律成立针对训练(2014宿迁模拟)已知矩阵a将直线l：xy10变换成直线l.(1)求直线l的方程；(2)判断矩阵a是否可逆？若可逆，求出矩阵a的逆矩阵a1；若不可逆，请说明理由解：(1)在直线l上任取一点p(x0，y0)，设它在矩阵a对应的变换作用下变为q(x，y)，即又点p(x0，y0)在直线l：xy10上，10，即直线l的方程为4xy70.(2)0，矩阵a可逆设a1，aa1，解之得a1.考点二二元一次方程组的矩阵解法典例用矩阵方法求二元一次方程组的解解已知方程组可以写为，令m，其系数行列式为213(5)170，所以m1，所以m1，即方程组的解为备课札记 类题通法1用矩阵方法求解二元一次方程组的关键是求解系数所对应的矩阵的逆矩阵2若系数矩阵为，则方程组的解可以表达成1.针对训练利用矩阵解二元一次方程组解：方程组可写为，因为系数行列式为324120，所以方程组有唯一解利用矩阵求逆公式得1，因此原方程组的解为，即考点三二阶矩阵的特征值及特征向量典例(2014福州质检)已知矩阵m，向量.(1)求矩阵m的特征值及属于每个特征值的一个特征向量；(2)求m3.解(1)矩阵m的特征多项式为f()232，令f()0，得11，22.当11时，解方程组得一个非零解因此，矩阵m属于特征值11的一个特征向量为1；当22时，同理可得矩阵m属于特征值22的一个特征向量为2.(2)设m1n2，得解得m1，n2.所以m3m3(122)m312m32122223.备课札记 类题通法1关于特征值问题的一般解法如下：给定矩阵a，向量，若有特征值，则，即，所以0，即2(ad)(adbc)0.2求mn，一般都是先求出矩阵m的特征值与特征向量，将写成t11t22.利用性质mnt11t22求解针对训练(2014扬州模拟)已知矩阵a，向量b.求向量a，使得a2ab.解：a2，设a，由a2ab得，即解得所以a.课堂练通考点1(2014厦门质检)已知向量在矩阵m变换下得到的向量是.(1)求m的值；(2)求曲线y2xy0在矩阵m1所对应的线性变换作用下得到的曲线方程解：(1)因为，所以，得m1.(2)由(1)得m，det m10，所以m1.设曲线y2xy0上任意一点(x，y)在矩阵m1所对应的线性变换作用下的像是(x，y)，则，所以得代入曲线y2xy0得y2x.由(x，y)的任意性可知，曲线y2xy0在矩阵m1所对应的线性变换作用下的曲线方程为y2x.2(2014龙岩质检)已知向量e1是二阶矩阵m的属于特征值12的一个特征向量(1)求矩阵m；(2)若a，求m10a.解：(1)依题意，me11e1，即2，a1，b2.m.(2)由(1)知，矩阵m的特征多项式为f()(1)(2)，矩阵m的另一个特征值为21.设e2是矩阵m属于特征值21的一个特征向量，则，取x1，得e2，ae1e2，m10am10e1m10e2e1e2210110.3设矩阵a，若矩阵a属于特征值1的一个特征向量为，属于特征值2的一个特征向量为，求实数m，n的值解：由题意得化简得所以4(2014常州模拟)已知矩阵a，若矩阵a属于特征值6的一个特征向量为1，属于特征值1的一个特征向量为2.求矩阵a，并写出a的逆矩阵解：由矩阵a属于特征值6的一个特征向量为1可得，6，即cd6；由矩阵a属于特征值1的一个特征向量为2，可得，即3c2d2，解得即a，a的逆矩阵是.课下提升考能1求矩阵的特征值及属于每个特征值的一个特征向量解：特征多项式f()(2)21243，由f()0，解得11，23，将11代入特征方程组，得即xy0，可取为属于特征值11的一个特征向量，同理，23时，由即xy0，所以可取为属于特征值23的一个特征向量综上所述，矩阵有两个特征值11，23；属于11的一个特征向量为，属于23的一个特征向量为.2已知矩阵a，b，c，求满足axbc的矩阵x.解：axbc，所以(a1a)xbb1a1cb1而a1axbb1exbb1x(bb1)x，所以xa1cb1因为a1，b1，所以xa1cb1.3已知m，a，试计算m20.解：矩阵m的特征多项式为f()(1)24，令f()0解得13，21，对应的特征向量分别为和，而2，所以m203202(1)20.4已知矩阵a，a的一个特征值2，其对应的特征向量是1.(1)求矩阵a；(2)设向量，试计算a5的值解：(1)由题设条件可得，2，即解得矩阵a.(2)矩阵a的特征多项式方程为f()2560，解得12，23.当23时，可得特征向量2.设m1n2，则解得m3，n1，a5a5(312)3(a51)