高考数学大一轮复习 第八章 立体几何与空间向量 高考专题突破四 高考中的立体几何问题课件 文 北师大版.ppt

高考中的立体几何问题 高考专题突破四 考点自测 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 考点自测 解析如图取b1c1的中点为f 连接ef df 则ef a1b1 df b1b 且ef df f a1b1 b1b b1 平面efd 平面a1b1ba de 平面a1b1ba 1 2 3 4 5 解析 答案 1 在正三棱柱abc a1b1c1中 d为bc的中点 e为a1c1的中点 则de与平面a1b1ba的位置关系为a 相交b 平行c 垂直相交d 不确定 1 2 4 5 解析 3 答案 2 设x y z是空间中不同的直线或平面 对下列四种情形 x y z均为直线 x y是直线 z是平面 z是直线 x y是平面 x y z均为平面 其中使 x z且y z x y 为真命题的是a b c d 解析由正方体模型可知 为假命题 由线面垂直的性质定理可知 为真命题 1 2 4 5 3 解析 3 2018届辽宁凌源二中联考 已知一几何体的三视图如图所示 俯视图是一个等腰直角三角形和半圆 则该几何体的体积为 答案 1 2 4 5 3 解析结合三视图可知 该几何体是一个半圆柱与一个底面是等腰直角三角形的三棱锥组成的组合体 故选d 4 2017 天津滨海新区模拟 如图 以等腰直角三角形abc的斜边bc上的高ad为折痕 把 abd和 acd折成互相垂直的两个平面后 某学生得出下列四个结论 bd ac bac是等边三角形 三棱锥d abc是正三棱锥 平面adc 平面abc 其中正确的是a b c d 解析 答案 1 2 4 5 3 1 2 4 5 3 解析由题意知 bd 平面adc 故bd ac 正确 ad为等腰直角三角形斜边bc上的高 平面abd 平面acd 所以ab ac bc bac是等边三角形 正确 易知da db dc 又由 知 正确 由 知 错 故选b 5 2017 沈阳调研 设 是三个平面 a b是两条不同的直线 有下列三个条件 a b a b b a 如果命题 a b 且 则a b 为真命题 则可以在横线处填入的条件是 把所有正确的序号填上 解析 1 2 4 5 3 答案 或 解析由线面平行的性质定理可知 正确 当b a 时 a和b在同一平面内 且没有公共点 所以平行 正确 故应填入的条件为 或 题型分类深度剖析 例1 2018届衡水联考 如图 在三棱柱abc a1b1c1中 aa1 平面abc ac bc ac bc cc1 2 点d为ab的中点 1 证明 ac1 平面b1cd 题型一求简单几何体的表面积与体积 证明 证明连接bc1交b1c于点o 连接od 在三棱柱abc a1b1c1中 四边形bcc1b1是平行四边形 点o是bc1的中点 点d为ab的中点 od ac1 又od 平面b1cd ac1 平面b1cd ac1 平面b1cd 解答 2 求三棱锥a1 cdb1的体积 解 ac bc ad bd cd ab 在三棱柱abc a1b1c1中 由aa1 平面abc 得平面abb1a1 平面abc 又平面abb1a1 平面abc ab cd 平面abc cd 平面abb1a1 ac bc ac bc 2 v三棱锥a cdb v三棱锥c adb 1 1 1 1 若所给定的几何体是柱体 锥体或台体等规则几何体 则可直接利用公式进行求解 其中 等积转换法多用来求三棱锥的体积 2 若所给定的几何体是不规则几何体 则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体 再利用公式求解 3 若以三视图的形式给出几何体 则应先根据三视图得到几何体的直观图 然后根据条件求解 解答 跟踪训练1 2018 乌鲁木齐质检 正三棱锥的高为1 底面边长为 内有一个球与它的四个面都相切 如图 求 1 这个正三棱锥的表面积 解答 2 这个正三棱锥内切球的表面积与体积 解设正三棱锥p abc的内切球球心为o 连接op oa ob oc 而o点到三棱锥的四个面的距离都为球的半径r v三棱锥p abc v三棱锥o pab v三棱锥o pbc v三棱锥o pac v三棱锥o abc 题型二空间点 线 面的位置关系 例2 2017 广州五校联考 如图 在四棱锥p abcd中 底面abcd是菱形 pa pd bad 60 e是ad的中点 点q在侧棱pc上 1 求证 ad 平面pbe 证明 证明由e是ad的中点 pa pd可得ad pe 因为底面abcd是菱形 bad 60 所以ab bd 所以ad be 又pe be e pe be 平面pbe 所以ad 平面pbe 证明 2 若q是pc的中点 求证 pa 平面bdq 证明连接ac 交bd于点o 连接oq 因为o是ac的中点 q是pc的中点 所以oq pa 又pa 平面bdq oq 平面bdq 所以pa 平面bdq 解答 解设四棱锥p bcde q abcd的高分别为h1 h2 1 平行问题的转化 利用线线平行 线面平行 面面平行的相互转化解决平行关系的判定问题时 一般遵循从 低维 到 高维 的转化 即从 线线平行 到 线面平行 再到 面面平行 而应用性质定理时 其顺序正好相反 在实际的解题过程中 判定定理和性质定理一般要相互结合 灵活运用 2 垂直问题的转化 在空间垂直关系中 线面垂直是核心 已知线面垂直 既可为证明线线垂直提供依据 又可为利用判定定理证明面面垂直作好铺垫 应用面面垂直的性质定理时 一般需作辅助线 基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线 从而把面面垂直问题转化为线面垂直问题 进而可转化为线线垂直问题 证明 跟踪训练2如图 在三棱锥s abc中 平面sab 平面sbc ab bc as ab 过a作af sb 垂足为f 点e g分别是棱sa sc的中点 求证 1 平面efg 平面abc 证明由as ab af sb知f为sb的中点 则ef ab fg bc 又ef fg f ab bc b 因此平面efg 平面abc 2 bc sa 证明 证明由平面sab 平面sbc 平面sab 平面sbc sb af 平面sab af sb 所以af 平面sbc 则af bc 又bc ab af ab a af ab 平面sab 则bc 平面sab 又sa 平面sab 因此bc sa 题型三平面图形的翻折问题 例3五边形anb1c1c是由一个梯形anb1b与一个矩形bb1c1c组成的 如图甲所示 b为ac的中点 ac cc1 2an 8 沿虚线bb1将五边形anb1c1c折成直二面角a bb1 c 如图乙所示 证明 1 求证 平面bnc 平面c1b1n 证明四边形bb1c1c为矩形 故b1c1 bb1 又由于二面角a bb1 c为直二面角 故b1c1 平面bb1a 又bn 平面bb1a 故b1c1 bn 由线段ac cc1 2an 8知 bb1 nb1 bn2 即bn nb1 又b1c1 nb1 b1 b1c1 nb1 平面nb1c1 所以bn 平面c1b1n 因为bn 平面bnc 所以平面bnc 平面c1b1n 2 2 解答 2 求图乙中的多面体的体积 解连接cn 过n作nm bb1 垂足为m 又b1c1 平面abb1n 所以平面cbb1c1 平面abb1n 且平面cbb1c1 abb1n bb1 nm bb1 nm 平面abb1n 所以nm 平面b1c1cb 平面图形的翻折问题 关键是搞清翻折前后图形中线面位置关系和度量关系的变化情况 一般地 翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化 不在同一个平面上的性质发生变化 跟踪训练3 2018届珠海摸底 为了迎接某节日 商场进行促销活动 某商场打算将进行促销活动的礼品盒重新设计 方案如下 将一块边长为10的正方形纸片abcd剪去四个全等的等腰三角形 see sff sgg shh 再将剩下的阴影部分折成一个四棱锥形状的包装盒s efgh 其中a b c d重合于点o e与e 重合 f与f 重合 g与g 重合 h与h 重合 如图所示 1 求证 平面seg 平面sfh 证明 证明 折后a b c d重合于一点o 拼接成底面efgh的四个直角三角形必为全等的等腰直角三角形 底面efgh是正方形 故eg fh 连接so 在原平面图形中 see sgg se sg eg so eg fh eg so fh so o fh so 平面sfh eg 平面sfh 又 eg 平面seg 平面seg 平面sfh 解答 2 已知ae 过o作om sh交sh于点m 求cos emo的值 由 1 知 eo 平面shf 又 om 平面shf eo om 题型四立体几何中的存在性问题 例4 2017 北京昌平区统考 如图 在四棱锥p abcd中 pad为正三角形 平面pad 平面abcd ab cd ab ad cd 2ab 2ad 4 1 求证 平面pcd 平面pad 证明 证明因为ab cd ab ad 所以cd ad 因为平面pad 平面abcd 平面pad 平面abcd ad 所以cd 平面pad 因为cd 平面pcd 所以平面pcd 平面pad 2 求三棱锥p abc的体积 解答 解取ad的中点o 连接po 因为 pad为正三角形 所以po ad 因为平面pad 平面abcd 平面pad 平面abcd ad po 平面pad 所以po 平面abcd 所以po为三棱锥p abc的高 因为 pad为正三角形 cd 2ab 2ad 4 3 在棱pc上是否存在点e 使得be 平面pad 若存在 请确定点e的位置并证明 若不存在 请说明理由 解答 解在棱pc上存在点e 当e为pc的中点时 be 平面pad 分别取cp cd的中点e f 连接be bf ef 所以ef pd 因为ab cd cd 2ab 所以ab fd ab fd 所以四边形abfd为平行四边形 所以bf ad 因为bf ef f ad pd d 所以平面bef 平面pad 因为be 平面bef 所以be 平面pad 对于线面关系中的存在性问题 首先假设存在 然后在该假设条件下 利用线面关系的相关定理 性质进行推理论证 寻找假设满足的条件 若满足则肯定假设 若得出矛盾的结论则否定假设 跟踪训练4如图 在四棱锥p abcd中 pa 底面abcd ad ab dc ab pa 1 ab 2 pd bc 1 求证 平面pad 平面pcd 证明 证明 ad ab dc ab dc ad pa 平面abcd dc 平面abcd dc pa ad pa a ad pa 平面pad dc 平面pad dc 平面pcd 平面pad 平面pcd 2 试在棱pb上确定一点e 使截面aec把该几何体分成的两部分pdcea与eacb的体积比为2 1 解答 解作ef ab于f点 在 abp中 pa ab ef pa ef 平面abcd 由vpdcea v三棱锥e acb 2 1 课时作业 基础保分练 1 2017 北京 某四棱锥的三视图如图所示 则该四棱锥的最长棱的长度为 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解析在正方体中还原该四棱锥 如图所示 可知sd为该四棱锥的最长棱 由三视图可知正方体的棱长为2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解析 答案 2 2018 沈阳模拟 如图所示 已知平面 平面 l a b是直线l上的两点 c d是平面 内的两点 且ad l cb l da 4 ab 6 cb 8 p是平面 上的一动点 且有 apd bpc 则四棱锥p abcd体积的最大值是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解析由题意知 pad pbc是直角三角形 又 apd bpc 所以 pad pbc 因为da 4 cb 8 所以pb 2pa 作pm ab于点m 由题意知 pm 平面 令bm t 则am 6 t pa2 6 t 2 4pa2 t2 所以pa2 4t 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 即为四棱锥p abcd的高 解析 答案 3 2017 云南省十一校调研 设已知m n是两条不同的直线 为两个不同的平面 有下列四个命题 若 m n 则m n 若m n m n 则 若m n m n 则 若m n 则m n 其中所有正确命题的序号是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解析对于 当两个平面互相垂直时 分别位于这两个平面内的两条直线未必垂直 因此 不正确 对于 依据结论 由空间一点向一个二面角的两个半平面 或半平面所在平面 引垂线 这两条垂线所成的角与这个二面角的平面角相等或互补 可知 正确 对于 分别与两条平行直线平行的两个平面未必平行 因此 不正确 对于 由n 得 在平面 内必存在直线n1平行于直线n 由m 得m m n1 又n1 n 因此有m n 正确 综上所述 所有正确命题的序号是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解析 答案 4 如图梯形abcd中 ad bc abc 90 ad bc ab 2 3 4 e f分别是ab cd的中点 将四边形adfe沿直线ef进行翻折 给出四个结论 df bc bd fc 平面dbf 平面bfc 平面dcf 平面bfc 在翻折过程中 可能成立的结论是 填写结论序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解析因为bc ad ad与df相交不垂直 所以bc与df不垂直 则 错误 设点d在平面bcf上的射影为点p 当bp cf时就有bd fc 而ad bc ab 2 3 4 可使条件满足 所以 正确 当点p落在bf上时 dp 平面bdf 从而平面bdf 平面bcf 所以 正确 因为点d的投影不可能在fc上 所以平面dcf 平面bfc不成立 即 错误 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解析 答案 5 如图所示 在棱长为2的正方体abcd a1b1c1d1中 e为bc的中点 点p在线段d1e上 则点p到直线cc1的距离的最小值为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解析点p到直线cc1的距离等于点p在平面abcd上的射影到点c的距离 设点p在平面abcd上的射影为p 显然点p到直线cc1的距离的最小值为p c的长度的最小值 连接de 当p c de时 p c的长度最小 证明 6 2018届永州市模拟 如图 在三棱锥s abc中 sa sb ac bc o为ab的中点 so 平面abc ab 4 oc 2 n是sa的中点 cn与so所成的角为 且tan 2 1 证明 oc on 1 2 3 4 5 6 7 8 9 证明 ac bc o为ab的中点 oc ab 又so 平面abc oc 平面abc oc so 又ab so o ab so 平面sab oc 平面sab 又 on 平面sab oc on 解答 2 求三棱锥s abc的体积 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解设oa的中点为m 连接mn mc 则mn so 故 cnm即为cn与so所成的角 又mc mn且tan 2 mc 2mn so 1 2 3 4 5 6 7 8 9 三棱锥s abc的体积 证明 7 2018届武汉调研 如图1 在矩形abcd中 ab 4 ad 2 e是cd的中点 将 ade沿ae折起 得到如图2所示的四棱锥d1 abce 其中平面d1ae 平面abce 1 证明 be 平面d1ae 1 2 3 4 5 6 7 8 9 证明连接be abcd为矩形且ad de ec bc 2 aeb 90 即be ae 又平面d1ae 平面abce 平面d1ae 平面abce ae be 平面abce be 平面d1ae 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解答 2 设f为cd1的中点 在线段ab上是否存在一点m 使得mf 平面d1ae 若存在 求出的值 若不存在 请说明理由 1 2 3 4 5 6 7 8 9 m f l a四点共面 1 2 3 4 5 6 7 8 9 若mf 平面ad1e 则mf al 技能提升练 8 如图 在四棱锥p abcd中 abcd是正方形 pd 平面abcd pd ab 2 e f g分别是pc pd bc的中点 1 求证 平面pab 平面efg 证明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 证明 在 pcd中 e f分别是pc pd的中点 ef cd 又 四边形abcd为正方形 ab cd ef ab ef 平面pab ab 平面pab ef 平面pab 同理eg 平面pab ef eg是平面efg内两条相交直线 平面pab 平面efg 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解答 2 在线段pb上确定一点q 使pc 平面adq 并给出证明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解当q为线段pb的中点时 pc 平面adq pb的中点q 连接de eq aq