【三维设计】高中数学 第二章 §5 第二课时 直线与平面的夹角应用创新演练 北师大版选修21 .doc

【三维设计】高中数学 第二章 5 第二课时 直线与平面的夹角应用创新演练 北师大版选修2-1 1已知直线l的一个方向向量为a(1,1,0)，平面的一个法向量为(1,2，2)，则直线l与平面夹角的余弦值为()a.bc d.解析：cosa，则直线l与平面的夹角的正弦值sin |cosa，|，cos .答案：a2已知长方体abcda1b1c1d1的底面abcd是边长为4的正方形，长方体的高为aa13，则bc1与对角面bb1d1d夹角的正弦值等于()a. b.c. d.解析：建立如图所示的空间直角坐标系，底面是边长为4的正方形，aa13，a1(4,0,0)，b(4,4,3)，c1(0,4,0)而面bb1d1d的法向量为(4,4,0)，bc1与对角面bb1d1d所成角的正弦值即为|cos，|.答案：c3.如图所示，点p是abc所在平面外的一点，若pa、pb、pc与平面的夹角均相等，则点p在平面上的投影p是abc的()a内心 b外心c重心 d垂心解析：由于pa，pb，pc与平面的夹角均相等，所以这三条由点p出发的平面abc的斜线段相等，故它们在平面abc内的投影pa，pb，pc也都相等，故点p是abc的外心答案：b4如果一个正方体的十二条棱所在的直线与一个平面的夹角都相等，记作，那么sin 的值为()a. b.c. d1解析：由于两条平行直线和同一平面的夹角相等，则在正方体abcda1b1c1d1中，平面a1bc1满足和十二条棱所在的直线夹角相等，如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则可得(1,1,0)，(0,1,1)平面ba1c1的一个法向量n(1，1,1)又(0,0,1)则sin|cos，n|.答案：b5正方体abcda1b1c1d1中，直线bc1与平面a1bd夹角的正弦值是_解析：如图，以da、dc、dd1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则a(1,0,0)，b(1,1,0)，c1(0,1,1)，易证是平面a1bd的一个法向量(1,1,1)，(1,0,1)cos，.所以bc1与平面a1bd夹角的正弦值为.答案：6.如图所示，已知正三棱柱abca1b1c1的所有棱长都相等，d是a1c1的中点，则直线ad与平面b1dc夹角的正弦值为_解析：不妨设正三棱柱abca1b1c1的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，则c(0,0,0)，a(，1,0)，b1(，1,2)，d，则(，2)，(，1,2)，设平面b1dc的法向量为n(x，y,1)，由解得n(，1,1)又，sin |cos，n|.答案：7如图，在正三棱柱abca1b1c1中，abaa1，点d是a1b1的中点求直线ad和平面abc1夹角的正弦值解：如图所示，设o是ac的中点，以o为原点建立空间直角坐标系不妨设aa1，则ab2，相关各点的坐标分别是a(0，1,0)，b(，0,0)，c1(0,1，)，d.易知(，1,0)，(0,2，)，.设平面abc1的一个法向量为n(x，y，z)，则有解得xy，zy.故可取n(1，)所以cosn，.即直线ad和平面abc1夹角的正弦值为.8.如图，在三棱锥pabc中，pa底面abc，paab，abc60，bca90，点d在棱pb上(1)求证：bc平面pac；(2)当d为pb的中点时，求ad与平面pac夹角的余弦值解：如图，以a为原点建立空间直角坐标系，设paa，由已知可得a(0,0,0)，b，c，p(0,0，a)(1)证明：(0,0，a)，(a,0,0)，0，bcap.又bca90，bcac，bc平面pac.(2)d为pb的中点，d，又由