用高斯消元法求解线性代数方程组.doc

用高斯消元法求解线性代数方程组 （X*是方程组的精确解）1 高斯消去法1.1 基本思想及计算过程高斯（Gauss）消去法是解线性方程组最常用的方法之一，它的基本思想是通过逐步消元，把方程组化为系数矩阵为三角形矩阵的同解方程组，然后用回代法解此三角形方程组得原方程组的解。为便于叙述，先以一个三阶线性方程组为例来说明高斯消去法的基本思想。把方程（I）乘（）后加到方程（II）上去，把方程（I）乘（）后加到方程（III）上去，即可消去方程（II）、（III）中的x1，得同解方程组将方程（II）乘（）后加于方程（III），得同解方程组：由回代公式（3.5）得x3 = 2，x2 = 8，x1 = -13。下面考察一般形式的线性方程组的解法，为叙述问题方便，将bi写成ai, n+1，i = 1, 2,n。 （1-1）如果a11 0，将第一个方程中x1的系数化为1，得其中， j = 1, , n + 1（记，i = 1, 2, , n; j = 1, 2, , n + 1）从其它n 1个方程中消x1，使它变成如下形式 （1-2）其中， 由方程（1-1）到（1-2）的过程中，元素起着重要的作用，特别地，把称为主元素。如果（1-2）中，则以为主元素，又可以把方程组（1-2）化为： （1-3）针对（1-3） 继续消元，重复同样的手段，第k步所要加工的方程组是：设，第k步先使上述方程组中第k个方程中xk的系数化为1：然后再从其它（n - k）个方程中消xk，消元公式为： (1-4)按照上述步骤进行n次后，将原方程组加工成下列形式：回代公式为： （1-5）综上所述，高斯消去法分为消元过程与回代过程，消元过程将所给方程组加工成上三角形方程组，再经回代过程求解。由于计算时不涉及xi, i = 1, 2, , n，所以在存贮时可将方程组AX = b，写成增广矩阵（A, b）存贮。下面，我们统计一下高斯消去法的工作量；在（1-4）第一个式子中，每执行一次需要次除法，在（1-5）第二个式子中，每执行一次需要次除法。因此在消元过程中，共需要次乘作法。此外，回代过程共有次乘法。汇总在一起，高斯消去法的计算量为：次乘除法。1.2 基于VC的C语言程序#include#define n 4 /*n为方程组系数矩阵的阶数*/int Gauss(float ann,float bn) int i,j,k,flag=1; float t; for(i=0;in-1;i+) if(aii=0) flag=0; break; else for(j=i+1;jn;j+) /*消元过程*/ t=-aji/aii; bj=bj+t*bi; for(k=i;kn;k+) ajk=ajk+t*aik; return(flag);void zg_matric(float ann,float bn) /*输出增广矩阵*/ int i,j; for(i=0;in;i+) for(j=0;j=0;i-) xi=bi; for(j=i+1;jn;j+) xi=xi-aij*xj; xi=xi/ai