复习圆中垂直的弦.docVIP

专题研究：圆内两条相互垂直的弦（整理稿）中心发言人： 季 成问题一：如图，在O中，ABCD，BOC=480，求AOD的度数。切入点：求圆心角AOD的度数，可以转化求圆周角ABD的度数，因为AB垂直于CD，可以求圆周角BDC的度数，而BDC的度数可以通过圆心角BOC来求。总结和拓展：只要AB垂直于CD，AOD与BOC就是互补的,即AOD+BOC=1800。问题二：如图，在O中，ABCD，连接AD，过O点作OEAD于E，求证：OE= 。切入点（1）：因为AOD+BOC=1800，过圆心作OFBC，连接OA、OB、OC、OD，则为AOEDOEBOFCOF提供了角的关系，OE=BF=CF= 。切入点（2）：因为AOD+BOC=1800，可以延长AO（或者DO、BO、CO），造AOD的另一个补角DOF，根据周角的补角相等，有BOC=DOF，同圆中，圆心角相等，则所对的弦相等，把BC转化成DF，再根据中位线定理，很容易找到OE和BC的数量关系。总结和拓展：上面两种切入点都是根据AOD+BOC=1800来构造角等，既然BC可以转化成DF，在半径一定的情况下，AD2+BC2=AC2+DF2=AF2=4r2=定值，同理AC2+BD2= 4r2。问题三：如图，在O中，ABCD，过点A、B、C、D分别作O的切线，交于E、F、G、H，求证：CH DF= r2切入点：因为AOD+BOC=1800，连接OA、OB、OC、OD、OH、OF，有AOD+AFD=1800，从而有BOC=AFD，则OFD=HOC，推出FODOHC，得到结论。总结和拓展：根据AOD+BOC=1800来构造角等。问题四：如图，在O中，AB是直径，CD是弦，且ABCD， 点E为上一动点，连接CE、BE、DE，并延长DE至F，求证：BE平分CEF。切入点：因为AB是直径，ABCD，连接BD、CD，则有BD=BC，BCD=BDC，又因为BEF=BCD，BEC=BDC，所以BEC=BEF。总结和拓展：两弦垂直，当有一条弦是直径时，有垂径定理，可以构造等腰三角形。问题五：如图，在O中，AB是直径，CD是弦，且ABCD， 点E为上一动点，连接CE、DE，过点B作BFDE于F，试判断DF、EF和CE的数量关系，并说明理由。切入点：连接BC、BD，则BC=BD，BCE=BDE，有了一边一角对应相等，造全等，还差一个条件，可以在DE上截DG=CE，连接BG、BE，构造两边及夹角对应相等，则BOEBDG，BG=BE，三线合一，推出FE=FG，则DF=FE+CE。总结和拓展：两弦垂直，当有一条弦是直径时，可以构造等腰三角形为全等造对应边等。问题六：如图，在O中，AB是直径，CD是弦，且ABCD于F， CE平分BCD交AB于E，求证：AC=AE。切入点：AC、AE是同一个三角形的两边，要证AC=AE，可以先证ACE=AEC。总结和拓展：两弦垂直，当有一条弦是直径时，有垂径定理，造等弧，根据等弧所对的圆周角相等来转换角。问题七：如图，在O中，AB是直径，点H是OA的中点，CD是过点H的弦，且ABCD， 点E是上一动点，求证：CE=DE+BE。切入点：连接AC、OC，证明AOC是等边三角形，从而可以证明证明BCD是等边三角形，在CE上截EF=DE，连接DE，则DEF是等边三角形，两个等边三角形绕点D旋转，容易证明DCFDBE，则BE=CF，推出CE=DE+BE。总结和拓展：半径被弦垂直平分构造等边三角形，老题换新颜，将八年级的全等放在了圆中。问题八：如图，在O中，AB是直径，点H是OA的中点，CD是过点H的弦，且ABCD，点F是上一动点，AF交OC的延长线于G，CO的延长线交O于E，EF交AB于P，求证：OG=OE+OP。切入点：连接AC，证明AOC是等边三角形，证明ACGEOP，则OP=CG，推出OG=OC+OP =OE+OP。总结和拓展：与问题七一样，仍是半径被弦垂直平分构造等边三角形。问题九：如图，在O中，AB、CD是直径，且ABCD，点E是上一动点，连接BE、AE，求证：AE+BE= CE。切入点：把AE和BE构在同一直线上，延长EB至F，使BF=AE，用两边及夹角对应相等证ACGEOP，得ECF是等腰直角三角形，也可以用两角及夹边对应相等证ACGEOP，这就要过点C作CFCE交EB的延长线于F，证ACGEOP是为了解决AE=BF，这两种方式都相当于把ACE绕点C逆时针旋转了900，同样也可以将BCE绕点C顺时针旋转了900，当然有CE平分AEB，也可以过点C作AE和BE的垂线来解决。总结和拓展：两条垂直的直径相当于把圆四等分，构造了很多个等腰直角三角形，以前在等腰直角三角形中的一些基本图形和结论就可以放在圆中了。如：（1）图1中，点E是上一动点，CFAE于F，则可证FA-FC= OF，因为AOC是等腰直角三角形。（2）图2中，点E是上一动点，连接EA、EB、EC、ED，则可得。（3）图2中，点E是上一动点，CFAE于F，则可得AF=EF+BE。 图1 图2 图3（4）图4中，点E是OA或者延长线上一动点，连接CE，过点E作EGCE，交BD于G，这样CEG也是一个等腰直角三角形，图中可以看到等腰直角ACD和等腰直角CEG绕点C在旋转，一定有AECDGC，所以可以证明。（5）图5中，在图4的基础上若CG交AB于F，则有ACFBECCEF，可以得到，这样若圆的半径是定值，则的值就是定值。（6）图6中，在图5的基础上若CE交AD于G，则可以证明GH=AG+BH，还可以