2013年高中数学教学论文 在解析几何中求参数范围的9种.pdf

从高考解几题谈求参数取值范围的九个背景 从高考解几题谈求参数取值范围的九个背景 解析几何中确定参数的取值范围是一类转为常见的探索性问题 历年高考试题中也常出 现此类问题 由于不少考生在处理这类问题时无从下手 不知道确定参数范围的函数关系或 不等关系从何而来 本文通过一些实例介绍这类问题形成的几个背景及相应的解法 期望对 考生的备考有所帮助 背景之一 题目所给的条件 利用题设条件能沟通所求参数与曲线上点的坐标或曲线的特征参数之间的联系 建立不 等式或不等式组求解 这是求范围问题最显然的一个背景 例 1 椭圆 0 1 2 2 2 2 为半焦距cbca b y a x 的焦点为F1 F2 点P x y 为其 上的动点 当 F1PF2为钝角时 点P的横坐标的取值范围是 解 设P x1 y F1PF2是钝角 cos F1PF2 2 21 2 21 2 2 2 1 PFPF FFPFPF 222 21 2 2 2 1 0ycxFFPFPF 2 cx 2222 4yxcy 2 2 22 222 2 2 22 x a ba cxa a b xc 22 2 2 222 xb bc c a c 2222 bc c a xbc c a 说明 利用 F1PF2为钝角 得到一个不等式是解题的关键 把本题特殊化就可以得到 2000 年全国高考题理科第 14 题 椭圆1 49 22 yx 的焦点为F1 F2 点P为其上的动点 当 F1PF2为钝角时 点P横坐标的 取值范围是 答案为 x 5 53 5 53 例 2 2000 年全国高考题理科第 22 题 如图 已知梯形 ABCD 中 AB 2CD 点 E 分有向线段 AC 所成的比为 双曲线 过点 C D E 三点 且以 A B 为焦点 当 4 3 3 2 时 求双曲线离心率 e 的取值范围 解 如图 以线段AB的垂直平分线为 y 轴 因为双曲线经过点C D 且与A B为焦点 用心 爱心 专心 1 由双曲线的对称性知C D关y轴对称 依题意 记A 0 c C 2 c h 0 E xy0 其中c AB 为双曲线的半焦距 h是梯形的高 2 1 由定比分点坐标公式得 x0 1 2 c c 1 2 2 c y0 1 h 设双曲线方程为 2 2 a x 2 2 b y 1 则离心率 e a c 由点 C E 在双曲线上 将点 C E 的坐标和 e a c 代入双曲线方程得 1 4 2 22 b he 1 1 1 2 4 2 2 22 2 b he 由 式得1 4 2 2 2 e b h 将 式代入 式 整理得 2 3 1 2 1 22 2 ee e 107 4 3 2 3 1 3 2 2 e e 说明 建立 与 e 的函数关系式 再利用已知 的范围 即可求得 e 的范围 背景之二 曲线自身的范围 圆 椭圆 双曲线及抛物线都有自身的范围 如椭圆a b y a x 1 2 2 2 2 b 0 中 x 10 ebbyaa 利用这些范围是确定参数范围的途径之一 例 3 2002 年全国高考题 设点 P 到点 M 1 0 N 1 0 距离之差为 2m 到x轴 y 轴距离之比为 2 求m的取值范围 解 设点 P 的坐标为 x y 由题设得2 x y 即 y 0 2 xx 由于 x 所以点 P x y M 1 0 N 1 0 三点不共线 得 0 1 02 2 0 mMNmPNPM 因此 点 P 在以 M N 为焦点 实轴长为 2m的双曲线上 故 用心 爱心 专心 2 2 2 2 2 1m y m x 1 将 式代入 解得 2 22 2 51 1 m mm x 由且 得 22 mx 01 2 m mm 5 5 051 2 5 5 又m0 0 5 5 m 0 5 5 说明 P 到x轴 y 轴距离之比为 2 所以 P 不能在x轴上 由此得到m 这一隐含条 件容易忽视 0 例 4 2004 年全国卷 理科 21 题 文科 22 题 设椭圆1 1 2 2 y m x 的 两个焦点是F1 c 0 与F2 c 0 c 0 且椭圆上存在一点P 使得直线PF1与PF2垂直 1 求实数m的取值范围 2 设 相应于焦点Fl2的准线 直线PF2与l相交于Q 若32 2 线PF PF QF 求直 依题设有m 1 1 即m 0 c 2的方程 解 1m 设点P的坐标为 x0 y0 由PF PF2 得 1 myx cx y cx y 2 0 2 0 0 0 0 0 1 将 与1 1 2 0 2 0 y m x 联立 解得x m y m m1 1 2 0 2 0 由此得 0 m 0 1 1 0 1 1 2 m m m m 1 m 故m1 2 答案为 y x 2 23 解答略 程有解 背景之三 二次方的条件 用心 爱心 专心 3 直线和圆锥曲线的关系 是解析几何中最常见的关系 它们联立消元后所得的判别式非 负是 例 5 全国高考题 给定双曲线x 直线和圆锥曲线有公共点的充要条件 若有限制条件 则还应考虑根的分布情况等 这 是确定参数取值范围的一个常见背景 2 2 y 1 过点B 1 1 能否作直线 l 使l与所给双曲线交于P1及P2 且点B是线段P1P2的中点 这样的直线l如果存在 求出它的 在时 满足题设条件的l不存在 方程 如果不存在 说明理由 解 画出图像知 当直线斜率不存 1 2 2 2 x当直线l斜率存在时 设为k 则l方程为 y k x 1 1 联立 y 得 设 032 22 2 2222 kkxkkxk 22 2 22 1 2 2 2 21 222111 k k kkxx yxPyxP即则此时 002 0 32 2 4 22 22222 且不满足kkkkkk 故满足已知条件的直线l不存在 题 文科 20 题 直线1 kxyl例 6 2004 年湖北省高考题理科 20与双曲线 1 求实数k 线段 AB 为直径的圆经过曲线 C 的右焦点 F 若存在 求出k 的值 依题曲线 C 的右 12 22 yx的右支交于不同的两点 A B 的取值范围 C 2 是否存在实数k 使得以 若不存在 说明理由 解 1 将直线1 kxy代入双曲线方程 并整理得022 2 22 kxxk 意 直线l与双支交于不同两点 故 02 2 k 0 2 2 0 2 2 0 2 8 2 2 2 22 k k k kk 22 k 2 答案是存在 5 66 k满足题设 用心 爱心 专心 4 说明 问题 1 涉及到直线与双曲线右支相交的问题 转化为方程有不等 的两正根 由方程根的分布的充要条件建立不等式组即可 某个变量的范围 然后找出这 个变量与欲求的参变量之间的关系 进而求解 背景之四 已知变量的范围 利用题中给出的某个已知变量的范围 或由已知条件求出 1 双参数中知道其中一个参数的范围 例 7 2004 年浙江省高考题理科 21题 文科 22 题 已知双曲线的中心在原点 右顶点为 A 1 0 到直线 AP 的距离为 1 1 若直线 AP 的斜率为k 且 0 点 P Q 在双曲线的右支上 点 M m 3 3 3 k 求实数m的取值范围 2 当12 m时 的内心恰好是点 M 求此双曲线的方程 解 1 由条件知直线 AP 的方程为 APQ 0 1 kykxxky即 因为点 M 到直线 AP 的距离为 1 所以 2 2 11 kk 2 1 k k 1 1 1 k m mk 3 3 k 3 3 32 1131 3 32 2 1 3 32 mmm或 3 3 32 1 3 32 1 1 m 故 1 122 22 yx 2 答案是 解答略 例 8 2004 年全国高考卷 理科 21 题 给定抛物线 F 是 C 的焦点 过点 F 的相交于 A B 两点 xyC4 2 直线l与 C 1 设l的斜率为 1 求OBOA与的夹角的大小 2 设 9 4 若AFFB 求l在 y 轴上截距m的变化范围 解 1 答案为 41 143 arccos 解答略 2 F 1 0 设A x1 y1 B x2 y 由题设2AFFB 得 用心 爱心 专心 5 1 1 1122 yxyx 即 2 1 1 1 12 12 yy xx 由得 得 2 1 22 2 yy 2 2 1 4xy 2 21 4 yx 1 2 2 xx 联立 解得 2 x 依题意有0 2 2 FB又或 得0 1 B 直线l方程为 1 x 2 1 1 2 1 yxy 或 当时 方程l在 y 轴上的截距 1 2 1 2 mm 9 4 或 由 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 可知在上是递减的 9 4 9 4 4 3 3 4 3 4 4 3 mm或 l在 y 轴上截距m的变化范围是 3 4 4 3 4 3 3 4 故直线 和已知一个变量的范围求另一变量的范围 可先利用题设条件建立 变量 说明 例 7例 8 都是 的关系式 将所求变量和另一已知变量分离 得到函数关系 再由已知变量的范围求出 函数的值域 即为所求变量的范围 这类背景也可归结为背景一 2 双参数中的范围均未知 0 1 2 2 2 ay a x C与直线1 yxl例 9 2004 年全国卷 文 2 理 21 设双曲线 相交 率 e 的取值范围 于不同的点 A B 1 求双曲线 C 的离心 PBPA 2 设直线l与 y 轴的交点为 P 且 12 5 求a的值 解 1 由 C 与l相交于两个不同的点 故知方程 2 x 1 1 2 2 yx y a 有两个不同的实数解 消 去 y 并整理得 022 1 2222 axaxa 用心 爱心 专心 6 120 0 2 1 4 2 01 2 a 由 2222 aa aaa 且 双曲线的离心1 11 2 2 aa a e率 120 aa且 2 2 6 ee且 故 2 2 2 6 e 2 略 a的范围 再建立 e 与a的函数关系式 即可求出 e 的范围 和 ABl在b 的取值范围 设 说明 先求出 例 10 直线1 与双曲线1的左支交于 A B 两点 直线l经过点 kxy 22 yx 0 2 的中点 求直线y 轴上的截距 解 由方程组 22 消去 y 得 1 22 xk 1 1 yx kxy 022 kx AB 中点 则有 00 yxM0 0 212211 xxyxByxA 21 0 1 2 0 1 2 0 1 84 2 21 2 21 22 k k xx k k xx kk 1 1 1 1 1 1 12 222 00 2 21 0 kk k M k kxy k kxx x 即 2 0 0 22 1 2 0 2 kkx y mmbbxmy 而则设直线l的方程为 则有 8 17 4 1 222 1 22 kkk m 它在 2 1 上单调递减 1 1 22 m 2 22 2 mb 用心 爱心 专心 7 说明围 这类问题可先求出一个变量的范 另一个变量范围就相应可求出来了 线的内域 同时坐标平面被圆锥曲线 所划 椭圆 背景之五 点在圆锥曲线内域或外域的充要条件 如果我们规定圆锥曲线包含焦点的区域称为圆锥曲 分的另一部分称为圆锥曲线的外域 则点 00 yxP 在 1 1 2 2 0 2 2 0 x b y a 点在双曲线1 2 22 yx 2 ba 内 外 域的充要条件是 00 yxP 1 2 2 2 2 b y a x 内 外 域的充要条件是 1 1 2 2 0 2 2 0 b y a x 点 的内 外 域的充要条件是 以这些充要条件为 背景的范围问题利 00 yx在抛物线 0 px P 2 0 2 2 ppxy 2 2 00 2 0 ypxy 用上述不等式可获解 例 11 1986 年全国高考题 已知椭圆1 34 22 yx C 试确定m的取 值范围 使得对于直线 椭圆 C 上有不同的两点 P Q 关于该直线对称 mxyl 4 解 设QyxP 11 中点 00 yxM 则 PQyx 22 1 34 2 1 2 1 yx 1 34 2 2 2 2 yx 得 30 4 3 2121212121 xxyyyyxxxx 00 00 21 21 21 3 2 4 1 4 2 3 yy 4 xy yx yy xx 又 解得 在椭圆内部 mxy 00 4 由 mym3 0 x0 又点 00 yxM 1 34 2 0 2 0 x y 即 13 132 13 132 m1 3 3 4 2 m 2 m 背景之六 三角形两边之和大于第三边 椭圆或双曲线上一点与它们的两个焦点的构成一个三角形 具有这一背景的问题往往可 用心 爱心 专心 8 以利 例 12 已知双曲线 用三角形两边之和大于第三边产生的不等式来确定参数的范围 1 2 22 Rba yx 2 ba 的左 右两个焦点分别为F1 F2 左准线为l 在双曲线的左支上存在点P 使 PF1 是P到l的距离d与 PF2 的等比中项 求 12 离心率e的取值范围 解 由 PF 2 d PF e PF PF d PF 1 21 2 1 1 12 edPF PFePF 又 PF2 2a PF1 1 e PF 2a 2 由 得 PF1 1 2 e ea 在 PF 1 1 1 2 1 2 1 2 ee e e c e ea e a 12F1 PF21F2 即F 中 P F 12 e 1 说明 因为P点还可能在双曲线顶点上 所以 PF1 PF2 F1F2 学科 其中许 背景之七 参数的几何意义 解析几何是一门数与形相结合的多的变量都有十分明显的几何意义 以此为背 过这条抛物 线的 景的范围问题只要抓住了参数的几何意义都可以达到目的 例 13 椭圆 C 的上准线是抛物线yx4 2 的准线 且 C 经 2 1 e 求椭圆的长半轴a的范围 焦点 椭圆的离心率 2 1 2 1 2 22 x 解 设椭圆的上焦点为 F x y 由定义知 e yFA 故椭圆上焦点 F 的轨变是以 A 0 1 为圆心 半径为 1 的圆 由此易知焦点 1 1 22 yx 到准线y 1 的距离p的范围是31 p F 又aae a c a p 3 22 aec2 2 3 2 3 2 3 1 aa 背景之八 平均值不等式 解析几何的本质是用代数方法研究图形的几何性质 利用代数基本不等式是求范围的又 一方法 用心 爱心 专心 9 例 14 已知直线l过定点 A 3 0 倾斜角为 试求 的范围 使得曲线的 所有 时 符合题意 则 BC 中点 P 2 xyC 弦都不能被直线l垂直平分 解 当直线的斜率为 0 或不存在 设直线l的方程为 3 xky 被它垂直平分的弦的两端点为 2 11 ttB 2 22 ttC 2121 2 2 2 tt t 2 121 ttk ttt 2 BC 当线段 BC 被l垂直平分时 有 21 21 2 2 2 1 21 3 2 2 1 tt tt k tt k tt 16 1 2 1 2 k k2 1 4 1 2 2 221 k k tt 符合题意的直线斜率 2 tan 2 1 即k 1 2 1 arc 0 tan 2 本题的求解利用补集法 即弦能被l垂直平分的直线l的斜率 取其补集就 是满足题设的斜率 再利用斜率和倾斜角的关系 就可以求出 说明先求 的范围 背景之九 目标函数的值域 tfk 要确定变量k的范围 可先建立以k为函数的目标函数 从而使这种具有函数 背景的范围问题迎刃而解 例 15 yxP是椭圆 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 上任一点 F1 F2是两个焦点 求 PF1 2a 2a PF1 PF1 a 2 a2 时 有b 2 当 PF2 的取值范围 解 PF1 PF2 PF1 PF2 PF1 又 ca 1 PFca 当最小值caPF 1 aPF 1 时 PF1 PF2 有最大值a 2 1 PF2 的取值范 22如图 P 是抛物线 故 PF围是 ab 22 例 16 2004 年福建省高考题理科题 2 2 1 xyC 上一点 直线l 用心 爱心 专心 10 过点 求线段 PQ 中点 M 的轨变方程 P 且与抛物线 C 交于另一点 Q 1 若直线l与过点 P 的切线垂直 ST 2 若直线l不过原点且x轴交于点 S 与 y 轴交于点 T 试求 SQSP 0 21 ST 的取值范围 解 1 设 002211 yxMyxQyx 依题意有00 1 Pyy x 由xyxy 2 得 2 1 P 的切线的斜率为 线l斜率 过点 1 x 0 1 x不合题意 0 1 x 直的 1 1 x k 直线