南开中学高考试题及答案

南开中学高考试题及答案一、选择题1.已知集合\(A=\{x|x^23x+2=0\}\)，\(B=\{x|x^2ax+a1=0\}\)，若\(A\cupB=A\)，则实数\(a\)的值为（）A.\(2\)B.\(3\)C.\(2\)或\(3\)D.\(1\)或\(2\)或\(3\)【答案】C【解析】先求解集合\(A\)，由\(x^23x+2=0\)，即\((x1)(x2)=0\)，解得\(x=1\)或\(x=2\)，所以\(A=\{1,2\}\)。对于集合\(B\)，由\(x^2ax+a1=0\)，可得\((x1)[x(a1)]=0\)，解得\(x=1\)或\(x=a1\)。因为\(A\cupB=A\)，所以\(B\subseteqA\)。当\(a1=1\)时，\(a=2\)；当\(a1=2\)时，\(a=3\)，所以实数\(a\)的值为\(2\)或\(3\)。2.函数\(y=\log_{0.5}(4x3)\)的定义域为（）A.\((\frac{3}{4},1]\)B.\((\frac{3}{4},+\infty)\)C.\((1,+\infty)\)D.\([\frac{3}{4},1]\)【答案】A【解析】要使函数\(y=\log_{0.5}(4x3)\)有意义，则\(\begin{cases}4x3>0\\\log_{0.5}(4x3)\geqslant0=\log_{0.5}1\end{cases}\)。由\(4x3>0\)得\(x>\frac{3}{4}\)；由\(\log_{0.5}(4x3)\geqslant\log_{0.5}1\)，因为对数函数\(y=\log_{0.5}x\)在\((0,+\infty)\)上单调递减，所以\(4x3\leqslant1\)，即\(4x\leqslant4\)，解得\(x\leqslant1\)。综上，\(\frac{3}{4}<x\leqslant1\)，函数的定义域为\((\frac{3}{4},1]\)。3.若\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)\)，则\(\cos(\frac{\pi}{4}\alpha)\)的值为（）A.\(\frac{\sqrt{2}}{10}\)B.\(\frac{\sqrt{2}}{10}\)C.\(\frac{7\sqrt{2}}{10}\)D.\(\frac{7\sqrt{2}}{10}\)【答案】B【解析】已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)\)，根据\(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1\)，可得\(\cos\alpha=\sqrt{1\sin^{2}\alpha}=\sqrt{1(\frac{3}{5})^{2}}=\frac{4}{5}\)。根据两角差的余弦公式\(\cos(AB)=\cosA\cosB+\sinA\sinB\)，则\(\cos(\frac{\pi}{4}\alpha)=\cos\frac{\pi}{4}\cos\alpha+\sin\frac{\pi}{4}\sin\alpha\)。\(\cos\frac{\pi}{4}=\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)，所以\(\cos(\frac{\pi}{4}\alpha)=\frac{\sqrt{2}}{2}\times(\frac{4}{5})+\frac{\sqrt{2}}{2}\times\frac{3}{5}=\frac{\sqrt{2}}{2}\times(\frac{4}{5}+\frac{3}{5})=\frac{\sqrt{2}}{10}\)。二、填空题4.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow{b}=(x,1)\)，若\(\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{b}\)夹角为锐角，则\(x\)的取值范围是______。【答案】\((2,\frac{1}{2})\cup(\frac{1}{2},+\infty)\)【解析】因为\(\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{b}\)夹角为锐角，所以\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}>0\)且\(\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{b}\)不共线。由\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=x+2>0\)，解得\(x>2\)。若\(\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{b}\)共线，则\(1\times12x=0\)，解得\(x=\frac{1}{2}\)。所以\(x\)的取值范围是\((2,\frac{1}{2})\cup(\frac{1}{2},+\infty)\)。5.已知双曲线\(\frac{x^{2}}{a^{2}}\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0,b>0)\)的渐近线方程为\(y=\pm\sqrt{3}x\)，则该双曲线的离心率为______。【答案】\(2\)【解析】对于双曲线\(\frac{x^{2}}{a^{2}}\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0,b>0)\)，其渐近线方程为\(y=\pm\frac{b}{a}x\)。已知渐近线方程为\(y=\pm\sqrt{3}x\)，所以\(\frac{b}{a}=\sqrt{3}\)。双曲线的离心率\(e=\frac{c}{a}\)，且\(c^{2}=a^{2}+b^{2}\)，则\(e=\sqrt{\frac{c^{2}}{a^{2}}}=\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}}}=\sqrt{1+(\frac{b}{a})^{2}}\)。把\(\frac{b}{a}=\sqrt{3}\)代入可得\(e=\sqrt{1+3}=2\)。三、解答题6.已知数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，且\(S_{n}=2a_{n}1(n\inN^{})\)。(1)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；(2)设\(b_{n}=\log_{2}a_{n}\)，求数列\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项和\(T_{n}\)。【答案】(1)当\(n=1\)时，\(S_{1}=a_{1}=2a_{1}1\)，解得\(a_{1}=1\)。当\(n\geqslant2\)时，\(a_{n}=S_{n}S_{n1}=2a_{n}1(2a_{n1}1)\)，即\(a_{n}=2a_{n}2a_{n1}\)，移项可得\(a_{n}=2a_{n1}\)。所以数列\(\{a_{n}\}\)是以\(1\)为首项，\(2\)为公比的等比数列。根据等比数列通项公式\(a_{n}=a_{1}q^{n1}\)（其中\(a_{1}=1\)，\(q=2\)），可得\(a_{n}=2^{n1}(n\inN^{})\)。(2)由(1)知\(a_{n}=2^{n1}\)，则\(b_{n}=\log_{2}a_{n}=\log_{2}2^{n1}=n1\)。\(b_{n}b_{n1}=(n1)(n2)=1\)（\(n\geqslant2\)），\(b_{1}=0\)，所以数列\(\{b_{n}\}\)是以\(0\)为首项，\(1\)为公差的等差数列。根据等差数列前\(n\)项和公式\(T_{n}=\frac{n(b_{1}+b_{n})}{2}\)，\(b_{n}=n1\)，则\(T_{n}=\frac{n(0+n1)}{2}=\frac{n(n1)}{2}\)。7.如图，在四棱锥\(PABCD\)中，底面\(ABCD\)是矩形，\(PA\perp\)平面\(ABCD\)，\(PA=AD=2\)，\(AB=1\)，\(E\)是线段\(PD\)的中点。(1)求证：\(PB\parallel\)平面\(AEC\)；(2)求三棱锥\(EACD\)的体积。【答案】(1)证明：连接\(BD\)交\(AC\)于点\(O\)，连接\(OE\)。因为四边形\(ABCD\)是矩形，所以\(O\)是\(BD\)的中点。又因为\(E\)是\(PD\)的中点，所以\(OE\parallelPB\)。因为\(OE\subset\)平面\(AEC\)，\(PB\not\subset\)平面\(AEC\)，所以\(PB\parallel\)平面\(AEC\)。(2)因为\(E\)是\(PD\)的中点，所以\(E\)到平面\(ACD\)的距离\(h=\frac{1}{2}PA\)。已知\(PA=2\)，则\(h=1\)。又\(S_{\triangleACD}=\frac{1}{2}S_{矩形ABCD}=\frac{1}{2}\timesAB\timesAD\)，\(A