10考研高等数学强化讲义(第五章)全.doc

第五章 向量代数与空间解析几何5.1 向量代数 （甲）内容要点 一、空间直角坐标系 二、向量概念 坐标 模 方向角 方向余弦 三、向量运算 设 1加（减）法 2数乘 3数量积（点乘）（i）定义 （ii）坐标公式 （iii）重要应用 4向量积（叉乘）（i）定义 与和皆垂直，且构成右手系 （ii）坐标公式 （iii）重要应用共线 5混合积（i）定义 （ii）坐标公式 （iii）表示以为棱的平行六面体的体积口诀（36）：点乘为零判垂直；叉乘为零是平行；混合积为零共面；体积就加绝对值。 （乙）典型例题 例1点到过的直线之间的距离 例2点到所在平面的距离 因为四面体的体积 而 又 例3过点与过点的异面直线之间的距离 因为 5.2 平面与直线 （甲）内容要点 一、空间解析几何 1空间解析几何研究的基本问题。 （1）已知曲面（线）作为点的几何轨迹，建立这曲面（线）的方程， （2）已知坐标和间的一个方程（组），研究这方程（组）所表示的曲面（线）。 2距离公式 空间两点与间的距离为 3定比分点公式是的分点：，点的坐标为，则 当为中点时， 二、平面及其方程 1法（线）向量，法（线）方向数。 与平面垂直的非零向量，称为平面的法向量，通常记成。法向量的坐标称为法（线）方向数。对于给定的平面，它的法向量有无穷多个，但它所指的方向只有两个。 2点法式方程 已知平面过点，其法向量，则平面的方程为 或 其中 3一般式方程 其中不全为零。前的系数表示的法线方向数，是的法向量特别情形： ，表示通过原点的平面。 ，平行于轴的平面。 ，平行平面的平面。 表示平面。 4三点式方程 设，三点不在一条直线上。则通过的平面方程为 5平面束 设直线的一般式方程为，则通过的所有平面方程为，其中 6有关平面的问题 两平面为 法向量 与间夹角（就是与之间夹角）（即）垂直条件平行条件重合条件 7设平面的方程为，而点为平面外的一点，则到平面的距离： 三、直线及其方程 1方向向量、方向数 与直线平行的非零向量，称为直线的方向向量。方向向量的坐标称为方向数。 2直线的标准方程（对称式方程）。 其中为直线上的点，为直线的方向数。 3参数式方程： 4两点式 设，为不同的两点，则通过和的直线方程为 5一般式方程（作为两平面的交线）： 6有关直线的问题 两直线为 方向向量 与间夹角（就是与之间夹角）（即）垂直条件平行条件 四、平面与直线相互关系 平面的方程为： 法向量 直线的方程为： 方向向量与间夹角（）与垂直条件与平行条件与重合条件上有一点在上 （乙）典型例题 例1求通过和直线的平面方程。 解：通过的所有平面的方程为 其中为任意实数，且不同时为。 今把代入上面形式的方程得 由于方程允许乘或除一个不为的常数，故取，得，代入方程得 即 它就是既通过点又通过直线的平面方程。 例2求过直线且切于球面的平面 解：过所给直线除平面外的其它所有平面方程为 即 （*） 球面与平面相切，因此球心到平面距离应等于半径 于是 得 代入（*）得两个所求的平面5.3 曲面与空间曲线 （甲）内容要点 一、曲面方程 1一般方程 2参数方程 （平面区域） 二、空间曲线方程 1一般方程 2参数方程 三、常见的曲面方程 1球面方程 设是球心，是半径，是球面上任意一点，则，即。 2旋转曲面的方程 （i）设是平面上一条曲线，其方程是绕轴旋转得到旋转曲面，设是旋转面上任一点，由点旋转而来（点是圆心）。 由，得旋转面方程是 ； （ii）求空间曲线绕轴一周得旋转曲面的方程 第一步：从上面联立方程解出， 第二步：旋转曲面方程为 绕轴一周或绕轴一周的旋转曲面方程类似地处理 3二次曲面曲面名称方 程曲面名称方 程椭球面旋转抛物面椭圆抛物面双曲抛物面单叶双曲面双叶双曲面二次锥面椭圆柱面双曲柱面抛物柱面 四、空间曲线在坐标平面上的投影 曲线的方程 曲线在平面上的投影 先从曲线的方程中消去得到，它表示曲线为准线，母线平行于轴的柱面方程，那么 就是在平面上的投影曲线方程 曲线在平面上投影或在平面上投影类似地处理 （乙）典型例题 例1求以点为顶点，以椭圆，为准线的锥面方程。 解：过椭圆上任一点的母线方程为 因为点在椭圆上，所以。而，将其代入椭圆方程，得锥面的方程为。 例2求旋转抛物面与平面的交线在平面上投影方程 解：从曲线方程中消去，得曲线向平面得投影柱面方程。于是曲线在平面商得投影曲线的方程为 例3求直线在三个坐标面上的投影； 解：在三个坐标面上的投影分别为 在平面上： 在平面 在平面上 例4求直线在平面上的投影直线的