高考数学一轮复习 第七篇 立体几何与空间向量 第7节 第一课时 证明平行和垂直课件 理 新人教版.ppt

第7节立体几何中的向量方法 考纲展示 1 理解直线的方向向量与平面的法向量 2 能用向量语言表述线线 线面 面面的平行和垂直关系 能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理 包括三垂线定理 3 能用向量方法解决直线与直线 直线与平面 平面与平面的夹角的计算问题 了解向量方法在研究立体几何中的应用 知识梳理自测 考点专项突破 解题规范夯实 知识梳理自测把散落的知识连起来 教材导读 1 直线的方向向量 平面的法向量都是唯一确定的吗 提示 不是唯一确定 一条直线的方向向量有无数个 平面的法向量有无数个 2 若空间向量a平行于平面 则a所在直线与平面 平行吗 提示 不一定 也可能在平面内 因为向量是自由向量 共线与平行是一种关系 向量所在的直线可以在平面内 这样的向量也是和平面平行的 3 两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角吗 提示 不一定 向量的夹角范围为 0 而两直线的夹角为 0 知识梳理 1 直线的方向向量和平面的法向量 1 直线的方向向量 直线l上的向量e或与e共线的向量叫做直线l的方向向量 显然一条直线的方向向量有个 2 平面的法向量 如果表示向量n的有向线段所在直线垂直于平面 则称这个向量垂直于平面 记作n 此时向量n叫做平面 的法向量 显然一个平面的法向量有个 且它们是向量 2 直线与平面 平面与平面的平行与垂直的向量方法设直线l的方向向量为a a1 b1 c1 平面 的法向量分别为 a2 b2 c2 v a3 b3 c3 1 线面平行l a a 0 a1a2 b1b2 c1c2 0 无数 无数 共线 2 线面垂直l a a k a1 ka2 b1 kb2 c1 kc2 3 面面平行 v v a2 a3 b2 b3 c2 c3 4 面面垂直 v v 0 a2a3 b2b3 c2c3 0 3 求二面角的大小 若ab cd分别是二面角 l 的两个面内与棱l垂直的异面直线 则二面角的大小就是的夹角 如图 1 设n1 n2分别是二面角 l 的两个面 的法向量 则向量n1与n2的夹角 或其补角 的大小就是二面角的平面角的大小 如图 2 3 其中图 2 中向量夹角的大小即为二面角平面角 图 3 中则为其补角 3 线面距 面面距均可转化为点面距再用 2 中方法求解 双基自测 1 若平面 的一个法向量为 1 2 0 平面 的一个法向量为 2 1 0 则平面 和平面 的位置关系是 a 平行 b 相交但不垂直 c 垂直 d 重合 c 解析 由 1 2 0 2 1 0 1 2 2 1 0 0 0 知两平面的法向量互相垂直 所以两平面互相垂直 2 已知平面 内有一个点m 1 1 2 平面 的一个法向量是n 6 3 6 则下列点p在平面 内的是 a p 2 3 3 b p 2 0 1 c p 4 4 0 d p 3 3 4 a 3 如图所示 在正方体abcd a1b1c1d1中 已知m n分别是bd和ad的中点 则b1m与d1n所成角的余弦值为 a 4 导学号38486160在正方体abcd a1b1c1d1中 点e为bb1的中点 则平面a1ed与平面abcd所成的锐二面角的余弦值为 b 5 在三棱锥p abc中 pa 平面abc bac 90 d e f分别是棱ab bc cp的中点 ab ac 1 pa 2 则直线pa与平面def所成角的正弦值为 c 第一课时证明平行和垂直 考点专项突破在讲练中理解知识 考点一 利用空间向量证明平行问题 例1 导学号18702396如图所示 在四棱锥p abcd中 pc 平面abcd pc 2 在四边形abcd中 abc bcd 90 ab 4 cd 1 点m在pb上 pb 4pm pb与平面abcd成30 的角 求证 1 cm 平面pad 2 平面pab 平面pad 反思归纳利用向量法证明平行问题的三种方法 1 证明线线平行 两条直线的方向向量平行 2 证明线面平行 该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直 证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行 证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示 3 证明面面平行 两个平面的法向量平行 跟踪训练1 如图所示 在正方体abcd a1b1c1d1中 m n分别是c1c b1c1的中点 求证 mn 平面a1bd 考点二 利用空间向量证明垂直问题 例2 导学号18702397如图所示 在四棱锥p abcd中 pa 底面abcd ab ad ac cd abc 60 pa ab bc e是pc的中点 证明 1 ae cd 2 pd 平面abe 跟踪训练2 正三棱柱abc a1b1c1的所有棱长都为2 d为cc1的中点 求证 ab1 平面a1bd 证明 如图所示 取bc的中点o 连接ao 因为 abc为正三角形 所以ao bc 因为在正三棱柱abc a1b1c1中 平面abc 平面bcc1b1 所以ao 平面bcc1b1 考点三 利用空间向量解决与垂直 平行有关的探索问题 例3 导学号38486162 2016 北京卷 如图 在四棱锥p abcd中 平面pad 平面abcd pa pd pa pd ab ad ab 1 ad 2 ac cd 1 求证 pd 平面pab 1 证明 因为平面pad 平面abcd ab ad 所以ab 平面pad 所以ab pd 又因为pa pd ab pa a 所以pd 平面pab 2 解 取ad的中点o 连接po co 因为pa pd 所以po ad 又因为po 平面pad 平面pad 平面abcd 所以po 平面abcd 因为co 平面abcd 所以po co 因为ac cd 所以co ad 如图建立空间直角坐标系o xyz 由题意得 a 0 1 0 b 1 1 0 c 2 0 0 d 0 1 0 p 0 0 1 2 求直线pb与平面pcd所成角的正弦值 3 在棱pa上是否存在点m 使得bm 平面pcd 若存在 求的值 若不存在 说明理由 反思归纳立体几何开放性问题求解方法有以下两种 1 根据条件做出判断 再进一步论证 2 假设所求的点或线存在 并设定参数表达已知条件 根据题目进行求解 若能求出参数的值且符合已知限定的范围 则存在 备选例题 例1 如图所示 正方体abcd a b c d 的棱长为1 e f分别是bc cd上的点 且be cf a 0 a 1 则d e与b f的位置关系是 a 平行 b 垂直 c 相交 d 与a值有关 例2 如图所示 abcd是边长为3的正方形 de 平面abcd af de de 3af be与平面abcd所成角为60 1 求证 ac 平面bde 1 证明 因为de 平面abcd 所以de ac 因为四边形abcd是正方形 所以ac bd 又bd de d 从而ac 平面bde 2 设点m是线段bd上一个动点 试确定m的位置 使得am 平面bef 并证明