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3.2 一阶微分方程解的延拓和解对初值和参数的连续依赖性定理(Extension of solution and continuous dependence of solution with respect to initial value or parameter of ODE )教学内容 1. 介绍Picard定理的证明过程; 2.介绍微分方程初值问题解的延拓定理; 3. 介绍微分方程解对初值和参数的连续依赖性定理. 教学重难点 重点是知道并会运用微分方程初值问题的解的存在唯一性定理、知道解最大存在区间的特点以及解对初值和参数连续性定理条件和结论，难点是如何引入了解定理的证明思路和过程 教学方法 自学1、2、3；讲授4、5课堂练习 考核目标 1. 知道Picard定理的证明思路; 2. 知道初值问题解的最大存在区间的特点; 3. 知道微分方程初值问题解对初值和参数连续依赖性和可微性定理. 1. Picard定理的表述（见上次课讲义）与证明：（1） 将初值问题转化为积分方程解的问题：， 并说明两方程为等解方程.（2） 构造函数集合，其中. 构造映射，验证且.（3） 构造函数列，其中，验证在连续且一致收敛，记表示的极限函数. （4） 验证函数列一致收敛，由求积分和极限交换次序定理知，为积分方程的一个连续解. （5） 运用Gronwall定理证明积分方程的解是唯一的.2. 注解：（1）两个函数之间的距离如何刻画？ 定义，从图像来看这样刻画是合理的！（2） Picard函数列与精确解的误差估计：.（3） 柯西定理及其特殊情形，线性方程解的存在唯一性的条件. （4） 一阶隐方程解的存在唯一性定理（参见教材P86定理2）3. 微分方程初值问题的Picard近似解计算和误差估计例42. 方程定义在矩形域，试利用解的存在唯一性定理确定经过(0, 0)的解的存在区间，并求出在此区间上与精确解误差不超过0.05的近似解的表达式. （参见教材P87例题1）作业35. 教材P88，习题3，习题10. 3. 解的延拓定理（1） 问题表述： 由解的存在性定理知，的解为至少在上存在，那么上述解函数最大的存在区间是什么呢？ （2） 理解教材P90，图(3.2)，知道饱和解.（3） 解的延拓定理及其参见教材P91和P92. 考察初值问题，其中在开区域内连续，且在G内对y满足局部的Lipschitz条件，设位于G内一点出发的解的最大存在区间为，则具有如下特征：当，趋于G的边界；当，趋于G的边界. 特别地，若G=，且方程的任一解都有界，则方程任一解的最大存在区间为. 例43. （1）讨论方程分别通过点的解的最大存在区间.（2） 讨论方程分别通过点的解的最大存在区间. （3） 讨论方程过点的解最大存在区间. 解：（1）参见教材P92例题1.(2) 两个解分别为和. (3) 右端函数的存在域为. 方程的通解为过点的解为，该解向左可以延伸到，向右延伸到；但注意到，因此，该解向右可以延伸到. 作业36. （1）考察，若在整个Otx平面上有定义，连续且有界，同时对变量x存在一阶连续偏导数，则方程的任一解的最大存在区间为. （2） 讨论方程和方程解的最大存在区间. 4. 微分方程解对初值的连续性和可微性定理（1）问题表述：由解的存在性定理知，的解为至少在上存在，为了表示解与初值和参数相关，将上述解函数记为. 问解函数是否对变量连续，是否可导，以及导函数例如的表达式？ 考察一个具体的例子：的解为，这就是一个关于变量的多元函数. （2） 回答：教材P95 定理，P99定理，P100定理. （3） 形式推导出，满足的方程和表达式. （一）、，对上面两式两边关于求导得到，求解上述方程初值问题得到，. （二）、，对上面两式两边关于求导得到，说明第二式：，关于求导得到. 求解上述方程初值问题得到，. 例44. 假设函数为区间上连续函数，为线性方程的解，. 试求(1) ; (2) 用常数变易公式求出方程的