第3讲 状态估计理论基础.doc

第3-4讲 状态估计理论基础4.1 引 言在自动控制、航空航天、通讯、导航和工业生产等领域中，越来越多地遇到“估计”问题。所谓“估计”，简单地说，就是从观测数据中提取信息。例如，在做实验时，为了便于说明问题，常把实验结果用曲线的形式表示，需要根据观测数据来估计和描述该曲线的方程中的某些参数，这一过程叫做参数估计，这些被估计的参数都是随机变量。再举一个例子，在飞行器导航中，要从带有随机干扰的观测数据中，估计出飞行器的位置、速度、加速度等运动状态变量，这就遇到状态变量的估计问题，这些状态变量都是随机过程。因此，“估计”的任务就是从带有随机误差的观测数据中估计出某些参数或某些状态变量，这些被估参数或状态变量统称为被估量。本讲主要讨论状态变量的估计问题，即状态估计。状态与系统相联系。而所谓状态估计，顾名思义，是对动态随机系统状态的估计。设有动态系统，已知其数学模型和有关随机向量的统计性质。系统的状态估计问题，就是根据选定的估计准则和获得的量测信号，对系统的状态进行估计。其中状态方程确定了被估计的随机状态的向量过程。估计准则确定了状态估计最优性的含义，通过测量方程得到的测量信息，提供了状态估计所必需的统计资料。随机过程的估计问题，是从20世纪30年代才积极开展起来的。主要成果为1940年美国学者维纳（Wiener N）所提出的在频域中设计统计最优滤波器的方法，称为维纳滤波。同一时期，苏联学者哥尔莫郭洛夫（.F）提出并初次解决了离散平稳随机序列的预测和外推问题35。维纳滤波和哥尔莫郭洛夫滤波方法，局限于处理平稳随机过程，并只能提供稳态的最优估值。这一滤波方法在工程实践由于不具有实时性，实际应用受到很大限制！1960年，美国学者卡尔曼(Kalman R E)和布西（Bucy R S）提出最优递推滤波方法，称为Kalman滤波。这一滤波方法，考虑了被估量和观测值的统计特性，可用数字计算机来实现。Kalman滤波既适用于平稳随机过程，又适用于非平稳随机过程，因此，Kalman滤波方法得到广泛的应用！本讲共分九节，第二节介绍了Kalman滤波问题提出的背景；第三节是两个定理矩阵求逆引理和正交定理；第四节和第五节分解介绍了白噪声情况下Kalman最优预测和Kalman最优滤波的基本方程；第六节讨论了最优平滑问题；第七节讨论了有色噪声情况的Kalman滤波问题；第八节将线性的卡尔曼最优估计问题推广到非线性的情形，得到了推广的Kalman滤波方法。第九节是小结。4.2 滤波问题的提出4.2.1 卡尔曼滤波问题的提法在许多实际控制过程中，例如，飞机或导弹在运动过程中，往往受到随机干扰的作用。在这种情况下，线性控制过程可用下式来表示 (4.2.1)式中，为控制过程的维状态向量；为维控制向量；为均值为零的维白噪声向量；为矩阵；为矩阵；为矩阵。在许多实际问题中，往往不能直接得到形成最优控制规律所需的状态变量。如飞机或导弹的位置、速度等状态变量都是无法直接得到的，需要通过雷达或其他测量装置进行观测，根据观测得到的信号来确定飞机或者导弹的状态变量。在雷达或别的测量装置中都存在随机干扰的问题，因此，在观测得到的信号中往往夹杂有随机噪声。我们要从夹杂有随机噪声的观测信号中分离出飞机或导弹的运动状态变量。要想准确地得到所需状态变量是不可能的，只能根据观测信号来估计或预测这些状态变量。根据估计或预测得到的状态变量来形成最优控制规律。一般情况下，观测系统可用下述观测方程（或测量方程）来表示 (4.2.2)其中，为维观测值；为观测矩阵；为观测系统的系统误差（已知的非随机序列）；为均值为零的白噪声在式(4.2.1)，(4.2.2)中假定，均为均值为零的白噪声向量。其统计性为 (4.2.3)其中，是狄拉克函数，它具有性质， 式(3.2.2.3)式中是对称的非负定矩阵，是对称的正定矩阵。正定的物理意义是观测向量各分量均附加有随机噪声。、可对连续微分。我们的任务是在已知的初始状态的统计性，如：期望:协方差：的条件下，从观测信号中得到状态变量的最优估计值。所谓最优估计，是指在某种准则下达最优，估计准则不同会导致不同的估计方法。我们这里采用线性最小方差估计。线性最小方差估计可阐述如下：假定线性控制过程如 (4.2.4)所示，观测方程如式 (4.2.5)所示。从时刻开始进行观测，得观测值；现在已知内的观测值，要求找出的最优线性估计，（这里，记号表示利用时刻以前的观测值来估计出时刻的）。最优线性估计包含以下几点意义：1) 估计值是 ()的线性函数；2) 估计值是无偏的，即；3) 要求估计误差的方差阵为最小，即4) 根据和的大小关系，估计问题可分成三类：（1）称为预测（或外推）问题；（2）称为滤波（或估计）问题；（3）称为平滑（或内插）问题。比较起来，预测和滤波问题稍微简单些，平滑问题最为复杂。通常讲的Kalman滤波指的是预测和滤波。4.2.2 连续系统的离散化过程在用计算机进行控制时，需要把连续系统离散化，即把微分方程转化为差分方程。设连续系统方程为 (4.2.4)初始条件为。则利用常微分方程基本理论，可得线性非齐次方程(4.2.4)满足初始条件的解为 (4.2.6)上式中， 是矩阵微分方程的解。为矩阵，称为转移矩阵。下面从(4.2.6)出发，求出相应的差分方程。假定等间隔采样，采样间隔 为常值。由(4.2.6)可得下式 (4.2.6) (4.2.7)在采样间隔内，认为保持常值，设为，据(4.2.7)式可得 (4.2.8)即 (4.2.9)令 (4.2.10) (4.2.9)可得方程(4.2.4)的差分方程 (4.2.10)如为维白噪声，则是为维白噪声序列。观测方程(4.2.5)的差分方程为 (4.2.5) (4.2.11)为简便期间，差分方程(4.2.10)和(4.2.11)中，用代表，则方程(4.2.10)和(4.2.11)可分别简写为 (4.2.12) (4.2.13)上式中(4.2.10)和(4.2.11)，都是白噪声序列，其统计特性如下 (4.2.14)式中为克罗迪克函数，其特性如下在(4.2.14)中，是对称的非负定矩阵(Why)，是对称的正定矩阵(Why)，和都是方差阵。正定的物理意义是观测向量各分量均附加有随机噪声。差分或离散化条件: 离散方式是普通的周期性采样。采样是等间隔的，采样周期为T；采样脉冲宽度远小于采样周期，因而忽略不计。 采样周期T的选择满足香农采样定理，即离散函数可以完全复原为连续函数的条件为：或，其中为采样的角频率，为连续函数频谱的上限角频率。 保持器为零阶保持器，即当时， 下面讨论、与、的关系。我们这里仅给出和关系式的推导过程，和关系式的推导过程完全类似18。由于假定采样间隔很小，在采样间隔内，近似为常值，所以，有 (4.2.15)由 (4.2.16)又 (4.2.17)比较(4.2.15)，(4.2.16)，(4.2.17)，可得 (4.2.18)即 (4.2.19)类似可得 (4.2.20)4.2.3 离散系统卡尔曼滤波问题的分类上面我们将连续系统进行了离散化，即将连续系统状态的估计问题转化为离散系统状态的估计问题。为了记号上的统一，我们把离散状态方程和观测方程统一写成下列形式 (4.2.21) (4.2.22)现在我们要解决的问题就是已知状态方程(4.2.21)和观测方程(4.2.22)，以及状态变量的初始统计性，如 (4.2.23)给出观测序列，要求找出的线性最优估计，使得估值与之间的误差的方差为最小，即与连续系统类似，离散系统Kalman滤波问题也可以分成三类：(1) 称为预测（或外推）问题；(2)称为滤波（或估计）问题；(3) 称为平滑（或内插）问题。我们在下面各节依次讨论离散线性系统的最优预测、滤波和平滑方法。为了简单明了起见，我们先仅考虑系统噪声和观测噪声均为白噪声的情形。4.3 预备知识4.3.1 矩阵求逆引理矩阵求逆引理 设是任一非奇异的阶矩阵，是两个阶矩阵，矩阵与非奇异。则下列矩阵恒等式成立 (4.3.1)证明：记 (4.3.2)则由已知条件，可逆。因此，用左乘(4.3.2）可得用右乘上式可得 (4.3.3)移项得 (4.3.4)用右乘(4.3.3)可得根据已知条件，非奇异，因此，用右乘上式可得 (4.3.5)再用右乘上式可得 (4.3.6)将(4.3.4）代入上式并移项整理得将(4.3.2)代入上式得(4.3.1)式。证毕4.3.2 正交定理我们在进行Kalman滤波基本方程的推导时，要多次用到正交定理，所以这里有必要对这一定理做较详细的讨论。在讨论线性最小方差估计时，我们用观测值的线性函数作为的估计值，即，其中待定。首先假定，均为1维的情形。根据估计误差方差最小来确定。即利用 (4.3.7）来确定。求对的偏导数，并令偏导数等于零，可得 (4.3.8）上式中的为估计误差。根据(4.3.8）可得 (4.3.9）从上式可看出，估计误差与观测值的乘积的数学期望等于零。我们知道，如果两个随机变量乘积的数学期望为零，则称这两个随机变量正交。所以估计误差与观测值正交。所谓正交定理即由此得名1。正交定理线性最小方差估计的估计误差正交与观测值。证明:先假设均为1维的向量。由以上论述，我们事实上已经证明了定理的必要性，下面证明充分性。对于任意常数，我们有，上式右边第三项和第四项都是零，第二项非负。因此，所以，如果满足正交条件，则估计误差方差为最小。充分性证毕。证毕我们知道，线性最小方差估计是无偏估计。即。由此，可以证明正交。事实上正交定理的几何意义可解释如下随机变量和可看作向量空间的两个向量，向量，和表示如图3.1。图3.1方差是长度的平方，若与正交，即，那么这个长度是最短的。从图3.1可以看出为直角三角形，则有与上面的推导结论相同。如果和分别是维和维的向量，则的估值可用下式表示。其中，bn维非随机常数向量，A非随机常数矩阵。同样可证明正交定理。（略）4.4 离散系统卡尔曼最优预测基本方程设系统的状态方程和观测方程为 (4.4.1) (4.4.2)式中是已知的非随机控制序列，在采样间隔内为常值。为观测系统的系统误差项，是已知的非随机序列，在采样间隔内为常值。当不考虑控制信号的作用时，和均为零。和为白噪声序列，在采样间隔内为常值。其统计特性如(3.2.14)所示。当和相互独立时，。状态向量的初始值的统计特性已知为 (4.4.3)已知观测序列，要求找出的最优线性估计，使得估计误差的方差阵为最小，即要求估值是的线性函数，并且估计是无偏的，即下面利用正交定理导出卡尔曼预测的递推公式。4.4.1 状态的预测估计已知观测值，设求出了状态向量的一个最优线性预测。在尚未获得之前，对的预测只能借助于状态方程 (4.4.1) (4.4.4)为已知条件下，的预测估计。当是的最优线性预测时，可以证明，也是的最优线性预测。事实上，由(4.4.1)和(4.4.4)可得 (4.4.5)即 (4.4.6)由于是的最优线性预测，根据正交定理，估计误差必须正交于，因此，也应当正交于；又由于是和互相独立的白噪声序列，故正交于。因此，在尚未知时，是的最优线性预测。4.4.2 状态预测估计的修正下面研究在获取了新的观测值后，怎样对预测估计值进行修正。通过观测方程可以确定观测值的最优线性预测 (4.4.2) (4.4.7)可以证明，如果新的观测值恰好等于的预测值，则新的观测值没有提供有用的信息。此时，就是的最优线性预测。事实上，根据正交定理，与正交，即 (4.4.8)因此，(4.4.9)即与正交。故，若新的观测值恰好等于时，就是的最优线性预测。关于这一结论我们可以这样来理解，当我们获得的估计值时，已经假定等于，而事实上，若新的观测值恰好等于，则新的观测值到来时，当然没有提供新的信息，所以，就不必进行修正！但事实上，由于对时刻状态向量的预测估计有误差；并且观测方程中也存在白噪声的影响，所以，新的观测值一般情况下并不等于，这个时候， 的最优估计值就不再是了，需要利用对进行修正，才能得到，怎样利用对进行修正呢？由于估计值利用的信息有和；现在，当到来的时候，求利用的信息有，比较起来，新信息就是；同时我们进行最优估计的准则是线性最小方差准则，即要求为的线性函数；所以，经分析，自然可令 (4.4.10)其中，为待定的矩阵，称为最优增益阵。利用(3.4.7)式，上式可改写为 (4.4.11)4.4.3 最优增益阵下面利用正交定理来确定最优增益阵。由(4.4.1)式可知时刻的状态方程为 (4.4.1) (4.4.11)(4.4.1)与(3.4.11)作差得 (4.4.12)利用正交定理 (4.4.13)将(4.4.12)代入得 (4.4.14)注意到以及正交；是均值为零的白噪声，整理上式可得 (4.4.15)其中4.4.4 误差的无偏性及误差方差阵按照我们前面给出的最优线性估计的定义，要想成为的最优线性估计，需满足下列几点意义(1) 估计值是的线性函数；(2) 估计值是无偏的，即；(3) 要求估计误差的方差为最小，即注意到前面我们推导的时候，仅考虑了（1）和（3），下面我们来简单证明一下，事实上确实是的无偏估计。从而，就是的最优线性预测估计了。由(3.4.12)式可知 (4.4.16)因此， (4.4.17)所以，只要初始条件选择的，则利用上式可知，对任意时刻，均有成立。又因为故， (4.4.18)即，是的无偏估计。从而是的最优线性估计。下面推导的递推关系式。利用定义可得 (4.4.19)注意到互相正交，以及(3.2.14)可得 (4.4.20)将上式展开整理可得 (4.4.21)4.4.5 离散系统卡尔曼最优预测方程及方框图综合(4.4.10)（或(4.4.11)），(4.4.15)和(4.4.21)可得完整的离散系统的卡尔曼最优预测基本方程。方程 (4.4.22)称为最优预测估计方程方程 (4.4.23)称为最优增益阵方程方程 (4.4.24)称为估计误差方差阵的递推方程按照(3.2.2.21) 和(3.2.2.22)可作出系统模型方框图，如图4.2所示图4.2 离散系统方框图图4.3 离散系统卡尔曼最优预测方框图卡尔曼最优预测估计递推方程的计算步骤如下(1) 给定初始条件(2) 根据(4.4.23) 计算初始时刻的最优增益阵(3) 根据(4.4.22)计算最优估值(4) 根据(4.4.24) 计算(5) 根据已知的计算。(6) 根据计算。重复上述步骤，可得任意时刻的。4.5 离散系统卡尔曼最优滤波基本方程本节研究离散系统卡尔曼最优滤波基本方程。 (4.4.1) (4.4.2)4.5.1 卡尔曼最优滤波设系统状态方程和观测方程如(4.4.1) 和(4.4.2)所示。对噪声的要求同上一节。所谓最优滤波问题指的是已知观测序列，要求找出的最优线性估计,使得估计误差的方差为最小。即 (4.5.1)并且估计是无偏的。我们这里依然利用正交定理来推导Kalman滤波公式。方法和推导卡尔曼预测公式完全类似。当获得之后，假定已经找到状态向量的最优线性估计，则到来前，通过观测方程(4.4.2)可得时刻观测值的预测值 (4.5.2)下面的问题是当新的观测值到来时，怎样对进行修正，得到的最优线性估计。和最优线性预测类似，可设其中 (4.5.3)故 (4.5.4)其中，为待定的最优增益阵。4.5.2 最优增益阵下面利用正交定理确定。由(4.4.1)和(4.5.4)可得滤波误差 (4.4.1) (4.5.4) (4.5.5)由正交定理 (4.5.6)即 (4.5.7)根据上式直接可得 (4.5.8)4.5.3 滤波估计误差及误差协方差由于 (4.5.9)故的最优预测估计误差为 (4.5.10)又由(4.5.5)知， (4.5.11)故 (4.5.12)因此，只要初值，则由上式即得，任一时刻，均有成立。即 (4.5.13)故，是的无偏估计。综合前面所述知，是的最优线性估计。下面来计算滤波估计误差协方差的递推关系式 (4.5.14)利用之间的正交性整理上式可得 (4.5.15)为方便起见，把用来表示, 把用来表示。由(4.5.10)可得， (4.5.16)由(4.5.11) 可得 (4.5.17)4.5.4 卡尔曼最优滤波公式及方框图方程(4.5.4)、(4.5.8)、(4.5.9)、(4.5.15)和(4.5.16)（或(3.5.17)）构成卡尔曼最优滤波方程。现总结如下 (4.5.18) (4.5.19) (4.5.20) (4.5.21) (4.5.22) (4.5.23)进行实际控制时，已知初始条件，即初始时刻的统计特性 (4.5.24)这样，利用上述公式就可以计算任意（）时刻的状态变量的最优估计值。图4.5.1给出了离散系统卡尔曼最优滤波方框图。图4.5.1 离散系统卡尔曼最优滤波方框图4.5.5 误差协方差及最优增益阵的几种变形计算公式前面我们已经给出了最优增益阵和误差协方差的递推关系。然而，在讨论Kalman滤波的特殊问题时，有时还需要用到和的其它表示形式。下面给出几个比较常用的基本形式，并给出简单的推导过程1。由(3.5.8)以及(3.5.15)，可得， (4.5.25) (4.5.26)由(4.5.25)和(4.5.26)可得 (4.5.27) (4.5.28)(4.5.28)形式上比(4.5.27)要简单的多，但是当计算舍入误差时，容易失去对称性和非负定性，而(4.5.27)具有比较好的保持对称性和非负定性的能力。由(4.5.26)式等式两边同时右乘，可得 (4.5.29)上式展开移项可得， (4.5.30)即 (4.5.31)故 (4.5.32)又由式(4.5.28)两边求逆可得， (4.5.33)将式(4.5.32)代入，可得 (4.5.33)又对(3.5.20)式两边取逆可得， (4.5.34)展开上式可得， (4.5.35) 将式(4.5.35)代入式(4.5.33)，得 (4.5.36)又由式(4.5.28) 和(4.5.31)，可得 (4.5.37)上式两边右乘得， (4.5.38) 这一部分我们给出了在测量误差和观测误差不相关情况下，最优增益阵和误差协方差阵的几种变形计算公式。4.6 离散系统卡尔曼最优平滑基本方程前面两节我们讨论了最优线性预测与滤波的基本方程。这一节我们来讨论最优线性平滑问题。前面在讨论离散系统Kalman滤波的分类时，已经提到最优线性平滑的定义，如果已知观测值，要求找出的最优线性估计，当时，称为平滑。根据和的具体变化情况，最优线性平滑又可分为三类1,2：（1） 固定区间最优平滑固定，变化，并且令，即，设的最优平滑值为。（2） 固定点最优平滑固定，变化，并且令，设的最优平滑值为。（3） 固定滞后最优平滑和都发生变化，但是保持，设的最优平滑值为。最优平滑问题比最优预测和滤波问题都复杂的多，但精度高。在许多实际问题中，对状态变量的估计值要求精度很高时，有时需要知道状态变量的最优平滑值。例如，在研究一个卫星系统时，往往会出现以下问题（1）卫星是否在预定的轨道上飞行？（2）导航系统中哪一类误差源对卫星偏离轨道的影响最大？（3）在什么时间段上动力装置的推力太大或太小？为了回答上述一些问题及其他一些问题，必须处理在卫星发射和飞行时所获得的遥测和跟踪数据，给出卫星飞行状态变量的最优平滑值。在此只讨论离散情况。下面分别推导离散系统固定区间最优平滑、固定点最优平滑和固定滞后最优平滑的基本方程。3.6.1 固定区间最优平滑设系统状态方程和观测方程仍为(3.2.2.21)和(3.2.2.22)里，简单起见，设和都是均值为零的高斯白噪声序列，且互不相关。在非高斯的一般情况，可用线性最小方差估计，推导出形式上完全相同的结果。并且，为了简单起见，先不考虑控制信号的影响。则这时系统的状态方程和观测方程为系统的状态方程为 (4.6.1)观测方程为 (4.6.2)和的统计性如下 (4.6.3)的初始状态也是高斯分布的。其统计性已知为。由于假定和都是高斯白噪声，也是高斯分布的。因此，随机序列和都服从高斯分布。如果知道了和的数学期望和方差阵，就可以完全确定概率分布密度函数33。下面我们用极大验后估计来固定区间最优平滑。给定观测数据集（即）的取值。设，的极大验后估计量就是使得条件密度达到极大的的值，这一估计就是的固定区间最优平滑，记为。和可通过解下列联立方程得到 (4.6.4) (4.6.5)式中是的取值，是的取值。后面将会看到，由于所得到的方程是递推的，因此只要解(4.6.4)就可以了。由贝页斯(Buyes)公式，可得条件概率密度设是（即）的取值。运用联合概率密度公式，可以将上式改写成再利用联合概率公式，可得 (4.6.6)从状态方程(4.6.1)可看出，系统状态是由高斯白噪声序列所激励，且服从高斯分布，因此是高斯马尔可夫序列。根据观测方程(4.6.2)，可表成和的线性函数，另外考虑到与互不相关，则可得因此， (4.6.6)变为 (4.6.7)又由于则(4.6.7)化为(4.6.8)在(4.6.8)式中，所有概率分布密度函数均为高斯分布的，并且只有两个概率密度函数和含有，只要计算相应的数学期望和方差阵就可以确定这两个概率密度函数。由状态方程(3.5.1)可得因此 (4.6.9)上式中，假定是正定的。由于在高斯分布的情况下，概率分布密度可由的期望和条件方差来确定。在高斯分布的情况下，的条件数学期望就是最优滤波估计，条件方差就是估计误差方差，即，。因此， (4.6.10)将式(4.6.10)和(4.6.9)代入(4.6.8)可得整理上式可得(4.6.11)式中对上式两边取对数可得 (4.6.12)因此，固定区间最优平滑估计量满足下列方程 (4.6.13)即 (4.6.14)解上式可得 (4.6.15)最后应用矩阵求逆引理，可得固定区间最优平滑估计 (4.6.16）式中由(4.5.16)可得 (4.6.17)方程(4.6.16)就是固定区间最优平滑方程。(4.6.17)是固定区间最优平滑增益阵。为了逆向计算的固定区间最优平滑，必须预先算得相应时刻的滤波解和滤波误差方差阵及一步预测误差方差阵。上述固定区间最优平滑方程的边界条件为。注意不必由方程(4.6.5)单独求出，由于是逆向递推，所以，在计算的过程中，已经被计算出来了。下面给出平滑误差协方差的递推关系式。平滑误差为 (4.6.18)由(4.6.16)可得整理得即 (4.6.19)考虑到是观测值的线性组合，是观测值的线性组合。因此，与正交。与正交，则 ，对(4.6.19)两边取方差可得即 (4.6.20)又由于因此， (4.6.21)同理可得 (4.6.22)将式(4.6.21)和(4.6.22)代入式(4.6.20) 可得整理上式，可得固定区间最优平滑误差方差阵的递推关系式。 (4.6.23)注意上述关系式中的变化顺序是。其边界条件为时的。方程(4.6.16)、(3.6.17)和(3.6.23)就为固定区间最优平滑的一组方程。总结上述，固定区间最优平滑的计算步骤为（1） 利用Kalman滤波公式，按的顺序，计算、。将这些量存储于计算机。同时给出终端值和。（2） 利用平滑公式(3.6.16)(3.6.17)(3.6.23)按照的顺序，计算最优平滑值、，（）。平滑的初始条件为和。注意(4.6.16)式的边界条件为时的；(4.6.17)式的边界条件为时的。图3.5给出了固定区间最优平滑的计算顺序图。图3.6给出了固定区间最优平滑方框图。图3.2.5 固定区间最优平滑的计算顺序图图3.2.6 固定区间最优平滑方框图4.6.2 固定点最优平滑固定点最优平滑是利用较多的观测数据，对观测时间内的某一固定时刻上的系统状态进行最优估计。固定点最优平滑算法在工程上有着广泛的应用，如前面提到过的卫星系统，往往希望由发射、加速和入轨以后的跟踪数据来得到我们特别关心的卫星在入轨点时刻的状态向量 的最优估计。这就是一固定点最优平滑问题。下面推导固定点最优平滑的计算方法。在这里观测数据集合中的数目是可变的，而固定点的时刻是固定的，且，先令(4.6.16)中的，可得 (4.6.24)令(4.6.16)中的，可得 (4.6.25)上面两式做差可得 (4.6.26)(4.6.26)式给出了的估计值与的估计值之间的递推关系式。在(4.6.26)式中，若令为常量，则 (4.6.27)如果在(3.6.26)中进一步令可得 (4.6.28)将(3.6.28)代入(3.6.27)可得 (4.6.29)继续上面的过程，直到为止，可得 (4.6.30)改写上式得 (4.6.31)其中，并且 (4.6.32)由第四节的滤波方程得因此，对，式(4.6.31)又可写成 (4.6.33)方程(4.6.31)或(4.6.32)和(4.6.33)就是固定点最优平滑方程。为了求固定点最优平滑，如果按(4.6.31)计算，需要知道最优滤波值和一步预测估计值。平滑方程(4.6.33)的边界条件为时的；而按(4.6.17)式计算。称为固定点最优平滑增益阵。下面给出固定点最优平滑误差协方差的递推关系式。由定义知，平滑误差为。将(4.6.31)代入可得 (4.6.34)将上式做恒等变形可得 (4.6.35)对上式两边取方差，并考虑到与正交，与正交，可得 (4.6.36)即 (4.6.37)为简化上式，利用(4.6.21)和(4.6.22)式。在(4.6.21)中，令；在(4.6.21)中，令，可得最后得平滑误差方差阵方程为 (4.6.38)又由式(4.6.2)和(4.6.3)，可得代入(4.6.38)可得 (4.6.39)现将固定点最优平滑方程综合如下（1） 对于固定的和，固定点最优平滑方程为 (4.6.31)或， (4.6.33)其初始条件为。（2） 对于固定的和，固定点最优平滑增益阵为 (4.6.32)且 (4.6.17)（3） 对于，固定点最优平滑误差方差阵为 (4.6.38)或， (4.6.39)在固定点最优平滑中，观测值对估值的影响可用图3.2.7来表示图3.2.7 固定点最优平滑中，观测值对估值的影响图固定点最优平滑方块图如图3.2.8或图3.2.9所示。图3.2.8 固定点最优平滑方块图1图3.2.9 固定点最优平滑方块图2为了简化计算量，可以对上述固定点最优平滑方程进行简化。注意到式(4.6.31)或(4.6.33)计算固定点最优平滑时有一个缺点，在计算平滑增益矩阵时，需要计算一步预测误差方差阵的逆矩阵，由于是矩阵，所以，当比较大时，计算量比较大。为减少计算量，自然要想办法避免求的逆矩阵。为此，把(4.6.33)写成如下形式 (4.6.40)其初始条件为。而平滑的增益阵为 (4.6.41)其中，初始条件为。此时，平滑误差（）的协方差阵为 (4.6.42)式中，并且初始条件为。在式(4.6.40)、(4.6.41)和(4.6.42)中，只要求矩阵，通常，是矩阵，一般都比小，因此，式(4.6.40)、(4.6.41)和(4.6.42)计算起来比较简单，但注意，要求是正定的。4.6.3 固定滞后最优平滑固定滞后最优平滑是在滞后最新观测时间一个固定时间间隔的时间点上，给出系统状态最优估计的一种方法。这种方法在通讯和遥测数据的处理中有着广泛的应用13,14。固定滞后最优平滑是利用观测值来求的最优估值，在时间上，比滞后固定时间。固定滞后最优平滑算法可由固定区间最优平滑算法和固定点最优平滑算法联合起来而得到。我们首先假定为非奇异的，由固定区间最优平滑方程(4.6.16）可得在上式的右边加上和减去后得 (4.6.43）又由(4.6.17)可得由于因此， (4.6.44)由上式可得 (4.6.45)设 ，则(4.6.43)式可以写成在上面的关系式中，用代替，可得 (4.6.46)又由固定点最优平滑方程(4.6.33)可得 (4.6.33)上式对于一切都成立。因此，如果用代替，而用代替，则可得到 (4.6.47）上式中，。而由(4.6.32)可得 (4.6.48)把式(4.6.46)代入式(4.6.47)，可得 (4.6.49)式中 (4.6.50)(4.6.49)就是固定滞后最优平滑方程，其初始条件为。下面求固定滞后最优平滑误差的方差阵的递推方程。把方程(4.6.23)经过变换，可得用代替上式中的，则得 (4.6.51)而在(4.6.39）中，用代替，而用代替，可得把式(4.6.51)代入上式可得 (4.6.52)式中，初始条件为。方程(4.6.48)、(4.6.49)、(4.6.50)、(4.6.51)和(3.6.2.52)构成一组固定滞后最优平滑的计算公式。固定滞后最优平滑是正向时间递推形式，因此它与最优滤波一起在线完成。在这类平滑问题中，估计瞬时要滞后观测瞬时个时间单位，因此，整个平滑过程可看作一个宽度为的窗口在时间坐标上自左向右移动，这个窗口的前沿在观测时间为，而后沿在估计时间，如图3.2.10所示。图3.2.10 固定滞后最优平滑的“移动窗口”的概念图固定滞后最优平滑的方框图如图3.2.11所示。图3.2.11 固定滞后最优平滑方框图3.2.7 系统噪声或观测噪声是有色噪声的卡尔曼滤波在前面推导Kalman滤波方程时，我们假定和都是白噪声。而实际上，和可能是有色噪声。所谓白噪声就是不同时刻的噪声都是互不相关的；而有色噪声，就是不同时刻的噪声是互相相关的15,16,17,30。某些特定的有色噪声可通过成型滤波器化成白噪声。这样，就可以直接应用上面的滤波方程。有色与白色是相对的。它们都是基于各自频谱特性与相应光谱的一致性而得名。现举例说明如何把某些特定的有色噪声用白噪声通过成型滤波器来表示的问题。 例1 相关随机序列的成型滤波器。设是一平稳随机序列，其相关函数为 我们不加证明的写出成型滤波器方程如下式中为成型滤波器转移阵为均值为零的白噪声序列 下面讨论有色噪声情况的Kalman滤波。可分为三种情况（1）控制系统附加噪声是有色噪声，观测系统附加噪声是白噪声；（2）控制系统附加噪声是白噪声，观测系统附加噪声是有色噪声；（3）控制系统和观测系统的附加噪声均为有色噪声。有色序列的类型还有许多种，本节我们仅讨论高斯马尔可夫型随机序列。理由不言而喻，我们知道，任何一个高斯马尔可夫型随机序列，都可以看成是高斯白噪声驱动下，某个离散线性系统的状态序列。因此，可以通过扩充状态变量法，来把附加噪声是有色的情况白化！下面我们分情况进行具体的讨论。这里仅讨论前两种情况。4.7.1 控制系统附加噪声是有色噪声，观测系统附加噪声是白噪声对于这种情况，一般采用扩充状态变量法。设系统状态和观测方程为 (4.7.1) (4.7.2)式中为高斯马尔可夫型随机序列（有色噪声）。由于为高斯马尔可夫型随机序列，故这里为与不相关的高斯白噪声。且(1) 为已知；(2) ，为已知；(3) 与和互不相关。因此，我们可定义新的状态变量和新的状态转移阵分别为以及 ，则 (4.7.3) (4.7.4)这样，式(4.7.3)和(4.7.4) 就是系统噪声和观测噪声均为白噪声情形的Kalman滤波问题了！对式(4.7.3)和(4.7.4)可直接利用前面推导的公式，然后再利用(4.7.3)和(4.7.4)和(4.7.1)和(4.7.2)的关系，可以得出 (4.7.1)和(4.7.2)最优估计的递推关系式。3.7.2 控制系统附加噪声是白噪声，观测系统附加噪声是有色噪声设系统状态方程和观测方程为 (4.7.5) (4.7.6)其统计特性如下 式中是均值为零的正态分布的有色噪声序列。可用成型滤波器表示如下 (4.7.7）为均值为零的白噪声序列，其统计特性为 我们依然可用扩大状态变量维数的方法，把作为状态变量的一部分，这样得到新的状态方程和观测方程。对新的模型直接利用Kalman滤波基本公式。另外，由于扩大状态变量维数法，使滤波器的维数增加，计算量增大了。所以，我们可以考虑选用其他方法。这里，我们决定采用改变观测方程的方法，使等效观测方程的附加噪声为白噪声，这样就可以直接利用前面推导的Kalman滤波基本方程了！把式(4.7.7)代入式(4.7.6)可得 (4.7.8）根据式(4.7.6)可得 (4.7.9）由式(4.7.8)和(4.7.9)作差可得令，上式化为 (4.7.10）将状态方程(4.7.5)代入(4.7.10)可得即(4.7.11）式(4.7.11）称为等效观测方程，是等效观测值。等效观测方程与原始观测方程比较有以下两个特点：(1) 等效观测值只含有白噪声；它与系统噪声是相关的。(2) 形式上被当作时刻的观测值，看起来是的线性函数，而实际上确是的线性函数。因此，针对式(4.7.5）和(4.7.11）得到的滤波预测值事实上是滤波估计值。另外，由于等效观测方程的系统误差和状态方程的系统误差是相关的，因此，对式(4.7.5）和(4.7.11）