多面体简介.pdf

MTS2007 第一屆全國高中 學教學研討會 文集 市 高雄 中 義強 第九場次 第 177 頁至第 192 頁 177 多多面面體體簡簡介介 P Po ol ly yh he ed dr ro on n kghs john tw 高雄市 高雄 中 義強 編授 Contents 1 從柏 圖多面體談起 Platonic Solids 2 阿基米得多面體 Archimedean Solids 3 加泰 多面體 Catalan Solids 4 喀卜 龐 多面體 Kepler Poinsot Solids 5 自製多面體模型玩具 6 考資 Geometry is a skill of the eyes and the hands as well as of the mind 幾何 是 眼 手 及 心 的 技能 J Je ea an n J J P Pe ed de er rs so on n 多面體簡介 Polyhedron 178 1 從柏 圖多面體談起 P Pl la at to on ni ic c S So ol li id ds s 1 Construct Platonic Solids 2 Important facts about Platonic Solids 柏 圖多面體每面均由全等的正多邊形所組成 且要求每個頂點的組態一致 為 凸 的正多面體 共有正四面體 T Te et tr ra ah he ed dr ro on n 正 面體 H He ex xa ah he ed dr ro on n 或或 C Cu ub be e 正八 面體 O Oc ct ta ah he ed dr ro on n 正 12 面體 D Do od de ec ca ah he ed dr ro on n 正 20 面體 I Ic co os sa ah he ed dr ro on n 等五個 古希 人已經知道有上述五個正多面體 柏 圖 P Pl la at to o B BC C4 42 27 7 B BC C3 34 47 7 在其著作 T Ti im ma ae eu us s 中已有描述 時約公元前 350 歐基 得 E Eu uc cl li id d o of f A Al le ex xa an nd dr ri ia a a ab bo ou ut t B BC C3 32 25 5 B BC C2 26 65 5 在其 幾何原本 E El le em me en nt ts s 最後 一個命題也已完成証明 凸正多面體恰有如上述五個 P01 正四面體 4 3 由 4 個正三角形構成 P02 正 面體 6 4 由 6 個正方形構成 P03 正八面體 8 3 由 8 個正三角形構成 P04 正十二面體 12 5 由 12 個正五邊形構成 P05 正二十面體 20 3 由 20 個正三角形構成 市 高雄 中 義強 179 2 阿基米得多面體 Archimedean Solid 1 關於阿基米得多面體 阿基米得多面體共有 13 個 由至少 種以上的正多邊形所組成的 凸多面體 且 要求每個頂點的組態均一致 但 包含 柱體族 Prism 及 反柱體族 Antiprism 通常被歸 為 準正多面體 Semiregular polyhedra 古希 柏 圖至少已經知道其中一個 A06 Cuboctahedron 雖然阿基米得的著作已經失傳 但據信他確實曾在其書中提及完整的 13 個阿基米得 多面體 近代 學家中 喀卜 Kepler 最早對此作有系統的研究 他並最早發現 柱體族 Prism 反柱體族 Antiprism 及阿基米得體均滿足由正多邊形所組成的 凸多面 體 且要求每個頂點的組態均一致 故將此三者合稱為準正多面體 Pugh於1976 發現13個阿基米得多面體均可內 於一個正四面體 阿基米得體的其 中四個面與正四面體的四個面重合 2 阿基米得多面體的組合圖及展開圖如下 A01 截半 面體 Cuboctahedron 8 3 6 4 A02 截半十二面體 Icosidodecahedron 20 3 12 5 A03 截角四面體 Truncated tetrahedron 4 6 4 3 A04 截角八面體 Truncated octahedron 8 6 6 4 多面體簡介 Polyhedron 180 A05 截角 方體 Truncated cube 6 8 8 3 A06 截角二十面體 Truncated icosahedron 20 6 12 5 A07 截角十二面體 Truncated dodecahedron 12 10 20 3 A08 削 截角 方體 Rhombicuboctahedron 6 4 8 3 12 4 A09 大削 截角 方體 Great rhombicuboctahedron 6 8 8 6 12 4 A10 削 截角十二面體 Rhombicosidodecahedron 12 5 20 3 30 4 A11 大削 截角十二面體 Great rhombicosidodecahedron 12 10 20 6 30 4 市 高雄 中 義強 181 A12 扭 方體 Snub cube 6 4 8 24 3 A13 扭 十二面體 Snub dodecahedron 12 5 20 60 3 此外每個準正多面體都各自有一個對偶的多面體如下圖 共有13 種 升學考試決定 我們絕大部分的教學內容 決定 我們對各種 學素材的取捨 但 管考試的分 如何 永遠 要忽 探 所能帶 的 趣以及可能附加的成就 2002 0102 義強 多面體簡介 Polyhedron 182 3 加泰 多面體 Catalan Solids 1 關於加泰 多面體 加泰 多面體為阿基米得多面體之對偶體亦有 13 個 阿基米得多面體由 種 以上 的正多邊形所組成 且每個頂點的組態均一致 故其對偶體 dual 有 種 以上 的頂點 且每一面均全等 非正多邊形 所以每一個加泰 多面體均為等面體 Isohedra 法國 學家加泰 Eugene Catalan 1814 1894 最早於 1862 Wenninger 1983 p 1 描述這些多 面體 2 加泰 多面體的組合圖及展開圖如下 Ad01 形十二面體 Rhombic Dodecahedron 12 4 Ad02 形三十面體 Rhombic Triacontahedron 30 4 Ad03 三角化四面體 Triakis Tetrahedron 12 3 市 高雄 中 義強 183 Ad04 四角化 面體 Tetrakis Hexahedron 24 3 Ad05 三角化八面體 Trikis Octahedron 24 3 Ad06 五角化十二面體 Pentakis Dodecahedron 60 3 Ad07 三角化二十面體 Trikis Icosahedron 60 3 多面體簡介 Polyhedron 184 Ad08 鳶形二十四面體 Deltoidal Icositetrahedron 24 4 Ad09 形錐化十二面體 Disdyakis Dodecahedron 48 3 Ad10 鳶形 十面體 Deltoidal Hexecontahedron 60 4 Ad11 形錐化三十面體 Disdyakis Tricontahedron 120 3 市 高雄 中 義強 185 Ad12 五邊形二十四面體 Pentagonal Icositetrahedron 24 5 Ad13 五邊形 十面體 Pentagonal Hexecontahedron 60 5 上圖為木工國手 岳霖的 實木砂磨作品 恰印證 下面這段讚嘆 Mathematics possesses not only truth but supreme beauty a beauty cold and austere like that of sculpture sublimely pure and capable of a stern perfection such as only the greatest art can show 學擁有的 只是真 也包含 無上的美 峻而質樸 宛如雕塑 只有最偉大的藝術 才能展現如此莊嚴 純淨 趨於極緻的完美 B Be er rt tr ra an nd d R Ru us ss se el ll l 1 18 87 72 2 1 19 97 70 0 多面體簡介 Polyhedron 186 4 喀卜 龐 多面體 Kepler Poinsot Solids 1 關於喀卜 龐 多面體 將正多邊形的邊延長直到它們再 相交 可得到一個星 正多邊形 如下左圖將 正五邊形的各邊延長直到再 相交 即可得一個正五角星 Pentagram 由於此五角星共 有 5 個相等的邊 5 個相等的角且繞中心 次 因此 我們可以將之視為 廣義的正多 邊形 並仿正五邊形的記號 5 將此五角星記為 5 2 依此 推 下圖中之八角星 Octagram 及下圖右之十角星 Decagram 均繞中心三次 故可將之簡記作 8 3 10 3 上述過程即為平面上的 星化程序 Stellation 把此程序 體化 將正 12 面體 正 20 面體適當地星 化 即可得到四個 非凸 的正多面體 nonconvex regular polyhedron 小星 12 面體 Small stellated Dodecahedron 大星 12 面體 Great stellated Dodecahedron 大 12 面體 Great Dodecahedron 大 20 面體 Great Icosahedron 合稱為喀卜 龐 多面體 其中德國天文學家喀卜 Johannes Kepler 1571 1630 約於公元 1619 藉由多邊形及多 面體的 星化程序 發現 個 似 星錘的星 體 即為小星 12 面體與大星 12 面 體 法國 學家龐 Louis Poinsot 1777 1859 約於公元 1809 獨自發現完整的四個 生平共發表 789 篇 文的法國 學家柯西 Augustin Louis Cauchy 1789 1857 於公元 1813 証明 上述四個多面體已經窮盡所有非凸正多面體或星 正多面體的可能性 1 值得注意的是小星 12面體12 5 2 與大12面體12 5 並未滿足尤 的多面體公 式 V 為多面體的頂點 E 為 或稱邊 F 為面 則 V E F 2 小星 12 面體 12 5 2 與大 12 面體 12 5 互為對偶多面體 大星 12 面體 12 5 2 與大 20 面體 20 3 互為對偶多面體 市 高雄 中 義強 187 2 喀卜 龐 多面體的組合圖及展開圖如下 K01 小星 12 面體 Small stellated Dodecahedron 12 5 2 K02 大星 12 面體 Great stellated Dodecahedron 12 5 2 K03 大 12 面體 Great Dodecahedron 12 5 K04 大 20 面體 Great Icosahedron 20 3 x 12 x 20 x 20 x 12 多面體簡介 Polyhedron 188 下圖為木工國手 岳霖的 多面體雕塑作品 峻 質樸 純淨 趨於極緻的美 市 高雄 中 義強 189 5 自製多面體模型玩具 嵌合 s sl li id de e t to og ge et th he er r 於美國多面體大師 George Hart 的 多面體百科全書 Encyclopedia of PolyhedraEncyclopedia of Polyhedra h ht tt tp p w ww ww w g ge eo or rg ge eh ha ar rt t c co om m v vi ir rt tu ua al l p po ol ly yh he ed dr ra a c cl la as ss sr ro oo om m h ht tm ml l 在多面體的邊上割出邊長一半的 溝槽 在各個面相交的地方 就能互相嵌卡 需要使用膠水等黏著劑 管使用任何 材質 嵌合的溝槽必須具有寬 否則必然有扭曲形變的問題 管使用任何 材質 嵌合的溝槽必須具有寬 否則必然有扭曲形變的問題 1 扭 嵌合 方體 需元件 6 片 2 嵌合八角星體 需元件 8 片 最好使用 種顏色 多面體簡介 Polyhedron 190 3 20 面體之星化體 需元件 20 片 最好使用 5 種顏色 4 形 30 面體之星化體 需元件 30 片 最好使用 5 種顏色 市 高雄 中 義強 191 5 多面體工作室 with I Q pcs I I Q Q Interlocking Quadrilateral 燈具為為 麥麥的的 設設計計師師 Holger Str m 於 1965 所發明 是一種 由單一元件構成 可以多樣化組裝的燈具系 統 可應用於幫助發展多面體 對稱形變 體幾何 等概 I Q Light 唯一元件 至少 30 片 片 越 多越好 1 形 12 面體 R Rh ho om mb bi ic c D Do od de ec ca ah he ed dr ro on n 2 形 30 面體 R Rh ho om mb bi ic c D Do od de ec ca ah he ed dr ro on n 多面體簡介 Polyhedron 192 6 考資 1 考書籍 1 Holden A Shapes Space and Symmetry New York Dover 1991 2 Wenninger M J Polyhedron Models New York Cambridge University Press 1989 3 Wenninger M J Dual Models Cambridge England Cambridge University Press 1983 4 Coxeter H S M Du Val P Flather H T a