2019年高中数学第三章不等式3.4基本不等式第一课时基本不等式练习新人教A版.docx

3.4基本不等式:第一课时基本不等式 1.不等式+(x-2)6(x2)中等号成立的条件是(C)(A)x=3(B)x=-3(C)x=5(D)x=-5解析:由基本不等式知等号成立的条件为=x-2,即x=5,故选C.2.四个不相等的正数a,b,c,d成等差数列,则(A)(A) (B).故选A.3.已知a,b(0,1),且ab,下列各式中最大的是(D)(A)a2+b2(B)2(C)2ab(D)a+b解析:因为a,b(0,1),所以a2a,b2b,所以a2+b22ab(因为ab),所以2aba2+b22(因为ab),所以a+b最大.故选D.4.设0ab且a+b=1,则下列四数中最大的是(A)(A)a2+b2(B)2ab(C)a(D)解析:因为0ab且a+b=1,所以a=1,所以2ab-a=a(2b-1)0,即2aba,又a2+b2-2ab=(a-b)20,所以a2+b22ab,所以最大的一个数为a2+b2.故选A.5.已知x0,y0,且2x+y=1,则xy的最大值是(D)(A)4(B)8(C)(D)解析:xy=2xy()2=()2=,故选D.6.下列不等式:x+2;|x+|2;若0a1b,则logab+logba-2;若0a10时,x+2,当且仅当x=1时等号成立;当x0时,x+=-(-x)+-2,当且仅当x=-1时等号成立.故不正确.因为x与同号,所以|x+|=|x|+2,当且仅当|x|=1时等号成立,故正确.中,当0a1b时,logab=1,且m=loga(a2+1),n=loga(a+1),p=loga(2a),则m,n,p的大小关系是(用“”连接).解析:因为a1,所以a2+12aa+1,所以loga(a2+1)loga(2a)loga(a+1),所以mpn.答案:mpn9.函数y=的值域为.解析:当x0时,y=.因为x+2,所以0,所以00),即x=1时取等号;当x0时,x+-2,所以-0,所以-1y0,当且仅当x=(x0,y0.若ab=4,则+的最小值为.解析:ab=4,即x+2y=4,于是+=(+)(x+2y)=(5+)(5+2)=,当且仅当x=y=时等号成立.答案:11.要挖一个面积为432 m2的矩形鱼池,周围两侧留出宽分别为3 m(宽的两端)、4 m(长的两端)的堤堰,要想使占地总面积最小,此时鱼池的长为,宽为.解析:设矩形鱼池的长为x m,则宽为 m,占地面积y=(x+8)(+6)=+6x+480480+2768(当且仅当=6x,即x=24时取最小值).此时宽为=18(m).答案:24 m18 m12.已知a,b,c(0,+),且a+b+c=1,求证:+9.证明:因为+=+=3+(+)+(+)+(+)3+2+2+2=9,当且仅当a=b=c=时取等号,所以+9.13.已知a,b,c为不全相等的三个正数,求证:+3.证明:+=+-3=(+)+(+)+(+)-3,因为a,b,c都是正数,所以+2,即+2, 同理可证:+2, +2. 式两边分别相加得(+)+(+)+(+)6. 因为a,b,c不全相等,所以不能同时取到等号,所以取不到等号,所以(+)+(+)+(+)6.所以+3.14.设函数f(x)=ax2+(b-2)x+3(a0).(1)若不等式f(x)0的解集是(-1,3),求a,b的值;(2)若f(1)=2,a0,b0,求+的最小值.解:(1)由f(x)0的解集是(-1,3)知-1,3是方程ax2+(b-2)x+3=0的两根,由根与系数的关系可得解得(2)由f(1)=2得a+b=1,因为a0,b0,所以+=(a+b)(+)=5+5+2=9,当且仅当=,即a=,b=时等号成立.所以+的最小值是9.15.如果正数a,b,c,d满足a+b=cd=4,那么(A)(A)abc+d,且等号成立时,a,b,c,d的取值唯一(B)abc+d,且等号成立时,a,b,c,d的取值唯一(C)abc+d,且等号成立时,a,b,c,d的取值不唯一(D)abc+d,且等号成立时,a,b,c,d的取值不唯一解析:因为正数a,b,c,d满足a+b=cd=4,所以4=a+b2,即ab4,当且仅当a=b=2时,等号成立,又4=cd()2,所以c+d4,当且仅当c=d=2时,等号成立.综上,abc+d,且等号成立时,a,b,c,d的取值都为2.故选A.16.若正数x,y满足3x+y=5xy,则4x+3y的最小值是(D)(A)2(B)3(C)4(D)5解析:3x+y=5xy+=5,4x+3y=(4x+3y)=(13+)(13+2)=5,当且仅当y=2x时取等号,即4x+3y的最小值是5.故选D.17.若a0,b0,a+b=2,则下列不等式ab1;+;a2+b22;+2,对满足条件的a,b恒成立的是.解析:因为ab()2=1,所以正确;因为(+)2=a+b+2=2+22+a+b=4,故不正确;a2+b2=2,所以正确;+=2,所以正确.答案:18.已知ab,二次三项式ax2+2x+b0对于一切实数x恒成立.又存在x0R,使a+2x0+b=0成立,则的最小值为.解析:因为二次三项式ax2+2x+b0对于一切实数x恒成立,所以又存在x0R,使a+2x0+b=0成立,所以4-4ab0,故只有4-4ab=0,即a0,ab,ab=1,所以=a-b+=a-b+2,当且仅当a-b=时取等号.答案:219.已知函数f(x)=lg x(xR+),若x1,x2R+,判断f(x1)+f(x2)与f()的大小,并加以证明.解:f(x1)+f(x2)f().证明如下:f(x1)+f(x2)=lg x1+lg