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轨迹与方程摘 要：空间轨迹要比平面轨迹复杂的多，但它的方程的建立以及某些问题的处理两者却是非常相似的，我们只要对平面轨迹平面曲线的问题搞清楚了，空间轨迹与空间曲线的问题也就不难了，其实就是通过轨迹方程的建立就把几何问题归结为代数问题，从而可用代数的方法，来解决几何的问题。本文则是对求解轨迹方程的题型的总结。关键词： 距离，轨迹，点。 把直线绕在一个固定的圆周上，将线头拉紧后向后方向旋转，以把线从圆周上解放出来，使放出来的部分成为圆的切线。求线头的轨迹。 解：设圆的半径为R，线头P的最初位置是圆周上的点，以圆心为原点，OA为x轴，经过某一过程后，切点移至B，PB为切线。那么r = 设 那么 且矢量对x轴所成的有向角为 ： 而 所以=所以 r =在空间选取适当的坐标系求到一定点和一定平面距离之比等于常数的点的轨迹。解：选取顶点为0，0，c， 定平面为xoy平面，常数为m。设次点为：x，y，z根据题意可知：整理得： 求与下列各对平面距离相等的点的轨迹 9x-y+2z-14=0与9x-y+2z+6=0 解：从题意可以观察出：9x-y+2z-14=0与9x-y+2z+6=0是相互平行的又因为所求的点的轨迹是到两平面距离相等的则所求轨迹方程是：9x-y+2z-4=0 设三平面：Ax+By+Cz+=0i=1，2，3l，m，n是分别属于平面的任意点。求的重心轨迹。 解：设l m n P是lmn 的重心 因为P是lmn 的重心 所以 又因为： 所以有 所以： 所以P点轨迹为： 一直线分别交坐标面yoz , zox , xoz 于三点A，B，C当直线变动时，直线上有第四点P，与A，B，C三点的距离分别是a,b,c当直线按照这样的规定即保持A，B，C分别在三坐标面上变动。试求P点的轨迹。 解：设直线的方向余弦为， P点的坐标为那么直线方程为： 令x=0得直线与xoz面的交点A的坐标，因此有 根据t的几何意义 得： 即：同理得： 从而有： 所以P点的轨迹为椭圆：设动点与4，0，0 的距离等于这点到平面x=1的距离的两倍，试求这一动点的轨迹。 解：设动点为Px，y，z 根据题意有： 整 理 得： 设直线l与m为互不垂直的两条异面直线，C是与的公垂线的中点，A，B两点分别在直线l，m上滑动，。试求直线AB是一个单叶双曲线。解：取两条异面直线l，m的公垂线为z轴，公垂线的中点C为原点，x轴与两条异面直线成角，并设两条异面直线间的距离为2a，交角 那么有： l： m：A B而 所以有：又因为 所以0 从而得： 而直线AB的方程为： 由两式消去参数u 得到AB的轨迹方程是：它是一个单叶双曲面求与两直线与相交而且与平面平行的直线的轨迹。 解：设直线方程为： 根据题意得：=0 =0 由得到直线l的轨迹为：总 之：轨迹与方程就是根据已知条件求解曲线方程的，我们是对曲线方程这样不仅使我们对平面轨迹的问题作了
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