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双曲线的几何性质 灵宝三高：何娟琴一、 教材分析双曲线的几何性质这节课选自人教A版普通高中课程标准实验教科中数学选修21的第2.3.2节，双曲线是解析几何圆锥曲线的基本内容，介于椭圆与抛物线之间，起到了一个承前启后的作用。本节课是学生在已掌握双曲线的定义和标准方程的基础上，通过标准方程来研究其几何性质。平面解析几何教学参考书中明确指出：根据曲线的方程，研究曲线的几何性质并正确作图，是解析几何的基本问题之一，也可以说是解析几何的目的。因此，本节的内容在圆锥曲线这一章中，是非常重要的，它是深入研究双曲线，灵活运用双曲线的定义、方程、性质解题的基础，更能使学生理解、体会解析几何这门学科的研究方法，培养学生的解析几何观念，提高学生的数学素质，为学生进一步学习数学、物理、化学等打下良好基础。二、教学目标根据教学大纲的要求及教材内容的设置，结合本班学生的具体情况，确定如下教学目标：1、 知识和技能（1） 使学生了解并掌握双曲线的范围、对称性、顶点等性质；（2） 能根据双曲线方程求出双曲线的顶点坐标、实虚轴长、渐近线方程及离心率的大小；（3） 使学生能根据双曲线的渐近线，确定双曲线的范围与走向，并能据此画出双曲线的草图；（4） 了解离心率和双曲线形状间的变化关系。2、过程与方法（1）通过与椭圆的几何性质进行行类比，让学生在讨论、归纳的过程中培养其观察问题、研究问题、解决问题的能力；（2）通过信息技术的演示，培养学生直观感受的能力；（3）培养学生数形结合能力，进一步掌握利用方程研究曲线的基本方法。3、 情感、态度与价值观培养学生自主学习、积极主动探求知识的习惯和品质，帮助学生建立勇于探索创新的精神和克服困难的信心，使学生逐步形成良好的思维品质。三、教学重难点1、教学重点：掌握双曲线的几何性质，并灵活运用，进一步理解坐标法。2、教学难点：渐近线的理解、掌握。四、教法分析1.在教学过程中，教师是主导，学生是主体。只有精心设计“导”的过程才能充分发挥他的主观能动性及在教学过程中的主体地位。学生情况是教学的重要依据。由于数学学科比较枯燥，学生对数学学习缺乏兴趣，再加上我们班的学生基础不太好，因此在教学中激发学生的兴趣，发挥他们的主观能动性是非常重要的。针对这种情况结合学生的认知规律我采用了类比、启发、引导、探究相结合的教学方法，启发、引导学生积极思考、回忆旧知识，探求新知识，使学生产生浓厚的学习兴趣，体现学生的主体地位。2、采用多媒体手段，目的是增大教学的容量和增强直观性，提高教学效率和质量。3、所用到的教具有：三角板、多媒体硬件。五学法指导采用先由学生看书，然后在教师引导下发现、归纳出双曲线几何性质，（突出学生“”课堂主体”的作用），使学生“ 学”有所“ 思”，“ 思”有所“ 得”，“ 练”有所“ 获”，学生会逐步感受到数学的美，产生一种成功感，从而提高学生学习数学的兴趣。六、教学过程1、情景设置问题1：双曲线的定义、标准方程是什么？问题2：椭圆有哪些几何性质？通过这两个问题，打开学生原有的认知结构，为知识的创新做好了准备，同时也让学生领会了双曲线与椭圆之间的相互联系，明确本课的目的。2、类比联想问题3：怎样根据方程研究性质，前面有无遇到过此类问题？比如，在学习椭圆的时候。从而引起学生对椭圆几何性质的回顾。通过启发引导，让学生研究讨论自己完成以下表格：性质双曲线椭圆范围-axa,-byb对称性对称轴：x轴,y轴对称中心：原点O顶点四个：A1,A2(a,0) B1,B2(0.b)长轴：线段A1A2 短轴：线段B1B2离心率e=c/a 0e1e变大，椭圆变扁渐近线表格完成后适当提问学生是如何由方程得到上述结果的。3设置悬念，突破重点、难点问题4：离心率e的变化会引起双曲线的形状（即“开口”大小）如何变化？分析不出来离心率是如何影响双曲线的形状即“开口”大小的？那么学生自然会提出这样的疑问：双曲线“开口”大小究竟依据谁，如何来确定？从而老师顺水推舟的提出下面问题：问题5：让学生画出双曲线，在位于第一象限的曲线上画上一点M，测量点M的横坐标以及他到直线的距离d.沿曲线向右上角拖动点M，观察与d的大小关系？（课件展示）通过观察，学生很容易发现随着的逐渐增大，d逐渐变小，但是永远不等于0。这是，老师过双曲线的两个顶点作y轴的平行线过作X轴平行线，四条线围成一个矩形。学生们很快会发现直线就是这个矩形的一条对角线。由于这条对角线和双曲线无限接近但永不相交，故将这条直线叫做双曲线的渐近线。提问：矩形的另一条对角线是否也有这样的特点？（易得）从而得出双曲线有两条渐近线。然后让学生寻求 的渐近线方程，易得。问题6：双曲线的“张口”大小与渐近线有何关系？学生易得:渐近线斜率越大，双曲线的“张口”越大。问题7： 的值与离心率e有何关系？ 易知e越大越大，从而双曲线的“张口”越大。老师将表格补充完整。这样，通过信息技术的演示，不仅增强学生对双曲线的离心率是如何影响双曲线的“张口”大小的认识，而且培养了学生直观感受的能力，同时还很好的突破了本节课的重难点。4联系实际，应用拓展例1.求双曲线9x2-16y2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程。这道题体现了双曲线的标准方程与性质之间的联系，由于难度不大，让学生自己来解决，充分调动学生的积极性，增强学生的参与感，活跃课堂气氛。同步练习P61练习1分组解答例2.求与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线方程。例2体现了双曲线与椭圆的密切关系，它们之间既有相似之处，又有所区别。让学生进一步体会到对双曲线与椭圆类比的必要性，为学生今后区分椭圆与双曲线指明了方向。 同步练习P61练习3 学生演板例3.求与双曲线有公共的渐近线，且经过点A的双曲线的方程。师生共同完成抓住定位条件，渗透待定系数法的思想，以突破难点。例题和练习配套同步展开，让学生实在的感觉到学有所获, 体验成功, 激发其后续学习的热情. 同时发现学生在学习中的困难和问题, 及时予以鼓励、安慰, 启发和纠正. 5.归纳总结，认识升华1：本节课学习了双曲线的哪些性质？2：双曲线的几何性质与椭圆有什么异同？3：本节课还学到了哪些数学思想和方法6.课后作业必做题：第61页习题2.3 A组3，4题选做题：第62页习题2.3