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文档简介
6 2垂直关系的性质 学习目标1 掌握直线与平面垂直 平面与平面垂直的性质定理 重点 2 能运用性质定理解决一些简单问题 重点 3 了解直线与平面 平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系 重 难点 a b 预习评价 1 垂直于同一平面的两条直线一定共面吗 提示共面 由线面垂直的性质定理可知这两条直线是平行的 故能确定一个平面 2 过一点有几条直线与已知平面垂直 提示有且仅有一条 假设过一点有两条直线与已知平面垂直 由直线与平面垂直的性质定理可得这两条直线平行 即无公共点 这与过同一点相矛盾 故只有一条直线 一个平面内 交线 a a l 线面 预习评价 1 如果 则 内的直线必垂直于 内的无数条直线 对吗 提示正确 若设 l a b b l 则a b 故 内与b平行的无数条直线均垂直于 内的任意直线 2 如果 过 外的任意一点作 与 交线的垂线 则这条直线必垂直于 对吗 提示错误 垂直于交线的直线必须在平面 内才与平面 垂直 否则不垂直 题型一直线与平面垂直的性质及应用 例1 如图 正方体a1b1c1d1 abcd中 ef与异面直线ac a1d都垂直相交 求证 ef bd1 证明如图所示 连接ab1 b1d1 b1c bd dd1 平面abcd ac 平面abcd dd1 ac 又ac bd dd1 bd d ac 平面bdd1b1 又bd1 平面bdd1b1 ac bd1 同理可证bd1 b1c 又ac b1c c bd1 平面ab1c ef a1d a1d b1c ef b1c 又 ef ac ac b1c c ef 平面ab1c ef bd1 规律方法证明线线平行常有如下方法 1 利用线线平行定义 证共面且无公共点 2 利用三线平行公理 证两线同时平行于第三条直线 3 利用线面平行的性质定理 把证线线平行转化为证线面平行 4 利用线面垂直的性质定理 把证线线平行转化为证线面垂直 5 利用面面平行的性质定理 把证线线平行转化为证面面平行 训练1 如图 在四棱锥p abcd中 底面abcd是矩形 ab 平面pad ad ap e是pd的中点 m n分别在ab pc上 且mn ab mn pc 证明 ae mn 证明因为ab 平面pad ae 平面pad 所以ae ab 又ab cd 所以ae cd 因为ad ap e是pd的中点 所以ae pd 又cd pd d 所以ae 平面pcd 因为mn ab ab cd 所以mn cd 又因为mn pc pc cd c 所以mn 平面pcd 所以ae mn 证明 1 o m分别为ab va的中点 om vb vb平面moc om 平面moc vb 平面moc 2 ac bc o为ab的中点 oc ab 又 平面vab 平面abc 且平面vab 平面abc ab oc 平面abc oc 平面vab oc 平面moc 平面moc 平面vab 规律方法 1 证明或判定线面垂直的常用方法 线面垂直的判定定理 面面垂直的性质定理 若a b a 则b a b为直线 为平面 若a 则a a为直线 为平面 2 两平面垂直的性质定理告诉我们要将面面垂直转化为线面垂直 方法是在其中一个面内作 找 与交线垂直的直线 训练2 如图所示 p是四边形abcd所在平面外的一点 abcd是 dab 60 且边长为a的菱形 侧面pad为正三角形 其所在平面垂直于底面abcd 1 若g为ad边的中点 求证 bg 平面pad 2 求证 ad pb 证明 1 连接bd 四边形abcd是菱形且 dab 60 abd是正三角形 又 g是ad的中点 bg ad 又平面pad 平面abcd且两平面交于ad bg 平面pad 2 连接pg 由 1 可知bg ad pad是正三角形 g是ad中点 所以pg ad bg pg g 所以ad 平面pbg 所以ad pb 方向1证明直线和直线平行 例3 1 如图 l pa pb 垂足分别为a b a a ab 求证 a l 证明 pa l pa l 同理pb l pa pb p l 平面pab 又 pa a pa a a ab pa ab a a 平面pab a l 方向2证明直线和直线垂直 例3 2 如图 在三棱锥p abc中 pa 平面abc 平面pab 平面pbc 求证 bc ab 证明如图 在平面pab内 作ad pb于点d 平面pab 平面pbc 且平面pab 平面pbc pb ad 平面pbc 又bc 平面pbc ad bc 又 pa 平面abc bc 平面abc pa bc 又 pa ad a bc 平面pab 又ab 平面pab bc ab 方向4证明平面和平面垂直 例3 4 如图 在四面体abcd中 平面abc 平面bcd ab ac dc bc 求证 平面abd 平面acd 证明 平面abc 平面bcd 平面abc 平面bcd bc 在平面abc内 作ae bc于点e 如图 则ae 平面bcd 又cd 平面bcd ae cd 又bc cd ae bc e ae bc 平面abc cd 平面abc 又ab 平面abc ab cd 又ab ac ac cd c ac cd 平面acd ab 平面acd 又ab 平面abd 平面abd 平面acd 规律方法 1 无论是线面垂直还是面面垂直 都源自于线与线的垂直 这种转化为 低维 垂直的思想方法在解题时非常重要 在处理实际问题的过程中 可以先从题设入手 分析已有的垂直关系 再从结论入手 分析所要证明的垂直关系 从而架起已知与未知之间的 桥梁 2 在线面垂直和面面垂直的判定定理中 有一些非常重要的限制条件 如 两条相交直线 一个平面经过另一个平面的一条垂线 等 这既为证明指明了方向 同时又有很强的制约性 所以使用这些定理时 一定要注意体现逻辑推理的规范性 课堂达标1 已知平面 平面 l 平面 则 a l b l c l与 斜交d l 解析如图 在 内取一点o 作oe m of n 由于 m 所以oe 因为l 所以oe l 同理of l oe of o 所以l 答案d 2 设平面 与平面 垂直 交线为l 直线a 直线b a b与l都不垂直 那么 a a与b可能垂直 但不可能平行b a与b可能垂直 也可能平行c a与b不可能垂直 但可能平行d a与b不可能垂直 也不可能平行 解析由题意 当a l l b时 a b 故a d错 若a b b与l不垂直 在b上取点a 过a作ab l 由面面垂直的性质定理得ab a ab a 又a b ab b a a a l 这和a与l不垂直相矛盾 不可能a b 故b错 故选c 答案c 3 已知 是三个不同的平面 命题 且 是真命题 如果把 中的任意两个换成直线 另一个保持不变 在所得的所有新命题中 真命题有 个 解析若 换为直线a b 则命题化为 a b 且a b 此命题为真命题 若 换为直线a b 则命题化为 a 且a b b 此命题为假命题 若 换为直线a b 则命题化为 a 且b a b 此命题为真命题 答案2 4 已知a b为直线 为平面 在下列四个命题中 正确的命题是 若a b 则a b 若a b 则a b 若a a 则 若 b b 则 解析由 垂直于同一平面的两直线平行 知 真 由 平行于同一平面的两直线平行或异面或相交 知 假 由 垂直于同一直线的两平面平行 知 真 易知 假 答案 5 如图 在三棱锥s abc中 平面sab 平面sbc ab bc 过点a作af sb 垂足为f 求证 bc
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