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必修5模块复习规划实验中学数学组 李伟 一近五年必修5知识在高考试题中的体现新课程高考在我省已经进行了5年，与以往的高考试题相比，新课程高考试题体现能力的同时更加重视对基础知识、基本技能和通性通法的考查，也就是强调具有普遍意义的常规解题模式和常用的数学思想方法。就必修5模块而言，在近5年新课程高考中必修五模块试题出现的特点如下：2007-2009年是1或2道数列小题，1道不等式小题，如果不出现数列大题时，或出现一道解三角形的大题，或与算法结合解三角形的大题，或出现一道数列大题，不难会与推理结合。2010年是1道解三角形的余弦定理和面积公式的填空题，难度较大；一道与算法结合的数列选择题，考察的知识点是裂项法求和；1道考查数列递推关系，叠加方法求通项和错项相减求和的大题，尽管是放的第17题的位置，既考常规又有一定的难度，考点与分值明显增加。2011年是一道线性规划问题，一道解三角形求边长取值范围的填空题；一道与对数相结合的数列的大题，考查等比数列的性质，对数的运算性质，等差数列的前n项和，用裂项法求和。这些题目考察的都是解决数学问题的通性通法，而且达到了必要的深度，只有基础扎实的学生才能作出正确的选择。必修5模块的内容主要包括解三角形、数列和不等式，这些都是高中数学的基本内容和重点内容，有着较强的应用性。“认识数学的应用价值，从而解决简单实际问题的能力”，“发展学生的应用意识”是新课程的基本理念和要求，那么理所当然地成为了高考的重点考察点。因此在新课标试题中对于线性规划、解三角形和数列的考察要求和难度有所提升。线性规划问题是数学应用的一个最重要内容之一，其问题本身以及解决方法促进了许多数学分支的发展，其蕴涵的优化思想方法是数学中的基本思想方法，所以是高考考察的热点内容之一，考察的难度也有所增加，在全国各地的高考题中多次出现含参问题；解三角形的问题若不以大题形式出现则就是难度较大的小题，例如2010年和2011年均是填空的最后一题，思维量和计算量都很大；数列与三角交换进行，常常出现在17题的位置，考察的都是数列的通性通法，但难度较大，如2010年考察的错位相减法考生的学习过程并不困难，但真正被考生掌握是特别困难的，新课程背景下的考生运算能力极差，是中学数学教育中无法回避的短板，也是考生很难跨过的一道坎，可见新课标是把数列的要求与难度提高，而不是表面看来的减弱二考试大纲和考试说明对必修5模块的要求高考试题命题的指导思想仍然是注重考查中学数学的基础知识、基本技能、基本思想方法。重视考生的“终身学习和发展”，即考查学生在中学所受到的数学教育，考查学生在大学需要的数学基础能力。重点考查的能力体系包括：考查空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及分析问题和解决问题的能力（实践能力和创新意识）。具体地，对于必修5模块的考试范围和要求如下：1. 解三角形（1）正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。（2）应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。2. 数列（1）数列的概念和简单表示法了解数列的概念和几种简单的表示方法（数列、图像、通项公式）。了解数列是自变量为正整数的一类函数。（2）等差数列、等比数列理解等差数列、等比数列的概念。掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式。能在具体的问题情景中识别数列的等差关系和等比关系，并能用有关知识解决相应的问题。了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系。3. 不等式（1）不等关系了解现实世界与日常生活的不等关系，了解不等式（组）的实际背景。（2）一元二次不等式会从实际情景中抽象出一元二次不等式模型。通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系。会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图。（3）二元一次不等式组与简单线性规划问题会从实际情境中抽象出二元一次不等式组。了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组。会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。（4）基本不等式：了解基本不等式的证明过程。会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。可以发现，正弦定理、余弦定理、解三角形、等差数列、等比数列、一元二次不等式、线性规划问题、基本不等式都属于C层次（掌握与灵活应用）要求的知识点，是高考考察的重点内容，对于这些内容及相关技能、方法的复习是重中之重。三复习计划第一轮复习重在基础，指导思想是全面、扎实、系统，在抓好知识、夯实“三基”（即基础知识、基本思想、基本方法）的基础上，注意知识的完整性，系统性，初步建立明晰的知识网络。要做到深入理解基本概念，识别应用基本公式，理解证明基本结论，熟练掌握基本题型的解法。（一）回归课本，夯实基础常常有这样的现象：有些题目可能已经讲过三次、四次或更多次后，当它们再次出现在试卷上时，仍有不少的学生出现错误。例如：若等比数列的前项和，求实数的值。学生对于这个问题的模糊不清，根本原因在于等比数列的前n项和及由前n项和求通项这两个知识点掌握不透彻。事实上，的前提下，我们不难发现的系数与常数项恰好互为相反数,故；另一方面，当时，当时，比较的结果可得。可见，学生并没有真正将所学的基础知识和基本方法理解清楚，也不能用这些知识和方法灵活地解决问题，从而在学习的根本上出现了问题。因此，沉下心来，回归教材，反复熟悉基础，应该是一轮复习必须坚持的原则。下面就具体的教学内容说明复习中应突出强调和掌握的知识及方法：1正弦定理、余弦定理正弦定理：余弦定理：形式一: a2=b2+c2-2bccosA，b2=c2+a2-2cacosB,c2=a2+b2-2abcosC,形式二:cosA=,cosB=,cosC=.2.解三角形常见类型及解法 在三角形的6个元素中要知三个量,其中至少有一条边才能求解,常见类型及解法如下表:已知条件应用定理一般解法一边和二角(如a、B、C)正弦定理由A+B+C=180,求角A;由正弦定理求出b与c.S=acsinB在有解时只有一解两边和夹角(如a、b、C)余弦定理由余弦定理求第三边c;由正弦定理求出小边所对的角;再由A+B+C=180求出另一角.S=absinC在有解时只有一解三边(a、b、c)余弦定理由余弦定理求出角A、B;再利用A+B+C=180,求出角C.S=absinC在有解时只有一解两边和其中一边的对角(如a、b、A)正弦定理由正弦定理求出角B;由A+B+C=180,求出角C;再利用正弦定理求出c边.S=absinC3.三角形解的个数的确定 已知两边和其中一边的对角不能唯一确定三角形,解这类三角形问题可能出现一解、两解、无解的情况.这类问题既可以用几何法画图求解，也可以用正弦定理、余弦定理求解.例如，已知a, b和A,这个三角形的解有几个？几何法：若A为锐角时:若A为直角或钝角时: (2)利用正弦定理讨论:若已知a、b、A,由正弦定理=,得sinB=.根据的值及B的取值范围，讨论B的解有几个，进而三角形的解就有几个。 (3) 利用余弦定理讨论:已知a、b、A,由余弦定理a2=c2+b2-2cbcosA,即c2-(2bcosA)c+b2-a2=0,这是关于c的一元二次方程.若方程无解或无正数解,则三角形无解;若方程有唯一正数解,则三角形有一解;若方程有两个同正数解,则三角形有两解.4.三角形形状的判定方法 判定三角形形状通常有两种途径:一是通过正弦定理和余弦定理,化边为角(如:a=2RsinA,a2+b2-c2=2abcosC等),利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断.此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系.如sinA=sinBA=B;sin(A-B)=0A=B;sin2A=sin2BA=B或A+B=,等等;二是利用正弦定理、余弦定理,化角为边,如:sinA=,cosA=等,通过代数恒等变换,求出三条边之间的关系进行判断.5Sn与an的关系.an=若n=1时，a1符合an=Sn-Sn-1(n2),则数列的通项公式可以写成一个函数的形式：an=f(n),nN*;若n=1时，a1不符合an=Sn-Sn-1(n2),则数列的通项公式只能写成分段函数的形式an=6数列的递推公式基本类型有三种，分别是累加法，累乘法，构造数列法7.等差数列的性质(1) 若m+n=p+q(m,n,p,qN*),则am+an=ap+aq；(2) Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,成等差数列.8.判断一个数列是否是等差数列的方法：递推式法：即证an+1-an=d(d是常数)对nN*都成立，或证：2an+1=an+an+2对nN*都成立.an成等差数列an=a1+(n-1)d.an成等差数列Sn=an2+bn(a、b是常数).9等差数列的前n项和公式：Sn=或Sn=na1+,（1） 对于公式常结合等差数列的性质变形运用. 如：Sn=,若a1、an有等差中项,则Sn=n,这一公式体现了等差数列前n项和公式与某一项的关系.（2） 对于公式常写成二次函数的形式Sn=n2+(a1-)n,用于研究等差数列前n项和的最值问题.10等比数列的性质（1）若m+n=p+q(m,n,p,qN*),则aman=apaq.（2）Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,成等比数列.11判断一个数列是否是等比数列的方法：（1）递推法(定义法)：即证=q(q是不为零的常数)对nN*都成立，或an+12=anan+2对nN*都成立.（2）通项公式法：an成等比数列an=a1qn-1.（3）an成等比数列Sn=A-Aqn(其中A是不为零的常数).12等比数列的前n项和公式：Sn=（1）要注意公式本身就是一个分段函数，在等比数列求和时应该考虑公比是否为0（2）运用公式解题时常常涉及到指数的运算，立方差公式是常用公式，作商可以带来事半功倍的效果（3）等比数列求和也可以直接在的前提下根据题意提取或者的方幂，这样使得运算简化13.数列求和的基本方法数列求和的基本方法有：公式法，倒序相加法，错位相减法，拆项法，裂项法，累加法，等价转化法.14用“作差法”比较两个实数的大小 用“作差法”比较两个实数的大小的一般步骤是:（1）作差；（2）变形；（3）判断符号;(4)定论. 15一元二次不等式及其解法 一元二次不等式ax2+bx+c0(0)的解集.=b24ac0=00)的图象ax2bxc=0(a0)的根有两个不等的实根(x10(a0)的解集x|xx2或xx1x|xx1Rax2bxc0)的解集x|x1x0;求出各因式的实数根,并在数轴上标出;自最右端上方起,用曲线自右至左依次由各根穿过数轴,并遵循“奇穿偶不穿”的原则;记数轴上方为正,下方为负,根据不等式的符号写出解集.(2)分式不等式是利用不等式的同解原理转化为高次不等式,用数轴标根法解.18线性规划（1）三种基本类型截距型、斜率型、距离型（2）简单线性规划问题（以截距型为例）的解法步骤如下:设出未知数,确定目标函数;确定线性约束条件,并在直角坐标系中画出对应的平面区域,即可行域;由目标函数z=ax+by变形为y=-x+,所以求z的最值可看成是求直线y=-x+在y轴上截距的最值;作平行线:将直线ax+by=0平移(即作ax+by=0的平行线),使直线与可行域有交点,且观察在可行域中使最大(或最小)时所经过的点;求出最优解,将该点代入目标函数,从而求出z的最大(或最小)值.19基本不等式求最大(小)值问题 利用基本不等式求最大(小)值问题要注意“一正,二定,三相等”.常常需要对代数式进行通分、分解等变形,构造和为定值或积为定值的模型.（二）强调过程，注重生成学生学习数学常常遇到的困难就是对基础知识的理解不扎实，不能形成应用。其根本是欠缺数学思想和做题思维。在基础知识方面，同学们大多都停留在对公式、定理及推理的表面了解和熟悉上；特别对于靠题海战术复习的考生，在解题的时候，大部分同学多是以简单的套用为手段。因此遇到新题型、陌生题或对一些公式变换较为复杂的题型，很多学生不会做。一轮复习是一个很好的契机，能够查缺补漏，如果把握得好完全有机会建立良好的数学知识体系。在一轮复习过程中切忌一味追求新题、偏题、怪题，让学生反复做已经做过的或讲过的题目对于大多数老师来说可能浪费时间，是不可想象的。但现有的事实说明，重视对重点题目的再认识，对知识的再回归更有利于学生对知识认识的再深化，并能活化学生认知结构，使技能的迁移更自然。反复的基础训练，虽不能增加学生认识的广度，但却更易走向深入，犹如阅读名著名篇，每一次的认识都应该有新感受，对此的全面认识也就多了几分。在解题上注重训练学生的思维，用以加强抽象概括、空间想象、数形结合等能力。并加强归纳总结意识。高中数学大部分解答题都能形成较为固定的解题思维和相对基本相同的解题步骤，而这些解题思维都能在数学课本找到来源。高考不是竞赛，是选拔性考试，所以高考试题中约有70%左右的基础题。但基础不等于简单，容易，这里基础是强化通性通法的考察，可仍需较高的思维品质。高考命题一定有一些“味道”，不可能象“白开水”那样无滋味。一定在基础题的考察中，设置一些小障碍和小陷阱。在复习中就要重视知识的形成过程，融会贯通前后知识的联系，切忌孤立对待知识、思想和方法。事实上，要讲到位，还要重视思维过程的指导，揭示暴露如何想？怎样做？谈“来龙去脉”，在谈思维的过程中，还应重视通性通法。不能把主要精力放在难度较大的综合题上，更不能认为只有通过解决难题才能培养能力，因而相对地忽视了基础知识、基本技能、基本方法的教学。其主要表现在对知识的发生、发展过程揭示不够。教学中急急忙忙的将公式、定理推证出来，或草草讲一道例题就通过大量的题目来训练学生。其实定理、公式推证的过程就蕴含着重要的解题方法和规律，教师没有充分暴露思维过程，没有发掘其内在的规律，就让学生去做题，试图通过让学生大量地做题去“悟”出某些道理。结果是多数学生“悟”不出方法、规律，理解浮浅，记忆不牢，只会机械地模仿，思维水平较低，有时甚至生搬硬套照葫芦画瓢，将简单问题复杂化，从而造成失分。都知道抓基础，但总是抓得不实，总是不放心。其实近几年来高考命题事实已明确告诉我们：基础知识、基本技能、基本方法始终是高考数学试题考查的重点。因此在复习中，尤其在课堂上，要引领学生理解课本中的知识，即首先弄清每一个公式、定理及推论是研究什么数学问题、用以描述数学什么现象，着重注意其切入点、推导过程和形成的结论是什么。例如对于等比数列前n项和公式的复习，记Sn=a1+a1q+a1q2+a1q n-1,那么qSn=a1q+a1q2+a1qn-1+a1qn,要想得到Sn，只要将两式相减，就立即有(1-q)Sn=a1-a1qn.如果q1，则有.q1，Sn=na1.在上述过程中，蕴涵了错位相减法，分类讨论思想，整体消去思想，等比数列求和公式的应用条件等等，而这些想法迁移到其他数学题目中，会有很好的效果。在比如，在等差数列的前n项和的复习中，Sn=a1+a2+a3+an，又Sn=an+an-1+a2+a1，再将两式相加，因为有等差数列的通项的性质：若m+n=p+q，则am+an=ap+aq，所以.许多等差数列的难题运用倒序相加法都能迎刃而解，这正是数学知识生产过程的魅力。不要盲目地追求题目地数量，对课本中的定理、定义和公式的生成过程的深入挖掘才能让学生从根本上理解所学习的知识，进而能够掌握和灵活应用。（三）横纵比较，融会贯通1解三角形部分：本章的两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理，它们都是关于三角形的边角关系的结论学习数学的最终目的是应用数学，而如今比较突出的两个问题是，学生应用数学的意识不强，创造能力较弱为解决此问题，教学复习中要用联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对于过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构正弦定理的概念和推导方法，体现了从特殊到一般的思想，可以用向量来证明正弦定理，也是对初中“大边对大角，小边对小角”的证明。余弦定理的证明，常用的方法是借助于三角形的方法，需要对三角形进行讨论，方法不够简洁，用了向量的方法，发挥了向量方法在解决问题中的威力，这就沟通了数学知识之间的联系。判断三角形的形状问题，既可以用余弦定理，也可以用向量的夹角解决。从而实现了三角与向量的联系，高中知识与初中知识的联系。另外，在复习中还要鼓励学生把实际问题抽象成数学问题，把所学的数学知识应用到实际问题中去，培养学生观察、分析、归纳、类比、抽象、概括、猜想等发现问题、解决问题的科学思维方法 2数列部分：数列在整个中学数学教学内容中，处于一个知识汇合点的地位，很多知识都与数列有着密切联系，过去学过的数、式、方程、函数、简易逻辑等知识在数列部分都有较为充分的应用，不少关于恒等变形、解方程(组)以及一些带有综合性的数学问题都与等差数列、等比数列有关。在复习过程中，要加强数列知识与其他知识之间的联系：（1）.加强数列与函数的联系:数列概念与函数概念的联系相应于数列的函数是一种定义域为正整数集(或它的前n个数组成的有限子集)的函数，它是一种自变量“等距离”地离散取值的函数从这个意义上看，它丰富了学生所接触的函数概念的范围但数列与函数并不能划等号，数列是相应函数的一系列函数值基于以上联系，数列也可用图象表示，从而可利用图象的直观性来研究数列的性质数列的通项公式实际上是相应因数的解析表达式而数列的递推公式也是表示相应函数的一种方式，因为只要给定一个自变量的值n，就可以通过递推公式确定相应的f(n)这也反过来说明作为一个函数并不一定存在直接表示因变量与自变量关系的解析式等差数列与一次函数、二次函数的联系从等差数列的通项公式可以知道，公差不为零的等差数列的每一项a是关于项数n的一次函数式于是可以利用一次函数的性质来认识等差数列例如，根据一次函数的图象是一条直线和直线由两个点唯一确定的性质，就容易理解为什么两项可以确定一个等差数列此外，首项为、公差为d的等差数列前n项和的公式可以写为：即当时，是n的二次函数式，于是可以运用二次函数的观点和方法来认识求等差数列前n项和的问题如可以根据二次函数的图象了解的增减变化、极值等情况.等比数列与指数型函数的联系由于首项为、公比为q的等比数列的通项公式可以写成 它与指数函数y=有着密切联系，从而可利用指数函数的性质来研究等比数列(2)注意等差数列与等比数列的对比，突出两类数列的基本特征等差数列与等比数列在内容上是完全平行的，包括：定义、性质(等差还是等比)、通项公式、前n项和的公式、两个数的等差(等比)中项具体问题里成等差(等比)数列的三个数的设法等因此在教学与复习时可采用对比方法，以便于弄清它们之间的联系与区别顺便指出，一个数列既是等差数列又是等比数列的充要条件是它是非零的常数列教学中应强调，等差数列的基本性质是“等差”，等比数列的基本性质是“等比”，这是我们研究有关两类数列的主要出发点，是判断、证明一个数列是否为等差 (等比)数列和解决其他问题的一种基本方法要让学生注意，这里的“等差”(“等比”)，是对任意相邻两项来说的上述基本性质，引申出两类数列的一种对称性：即与数列中的任一项“等距离”的两项之和(之积)等于该项的2倍(平方). 利用上述性质，常使一些问题变得简便对于学有余力的学生，还可指出等差数列与等比数列描述了两种最简单、最重要的变化：等差数列描述的是一种绝对均匀变化，等比数列描述的是一种相对均匀变化非均匀变化通常要转化或近似成均匀变化来进行研究，这就成为教材之所以重点研究等差数列与等比数列的主要原因所在(3)注意培养学生初步综合运用观察、归纳、猜想、证明等方法的能力综合运用观察、归纳、猜想、证明等方法研究数学，是一种非常重要的学习能力事实上，在问题探索求解中，常常是先从观察入手，发现问题的特点，形成解决问题的初步思路；然后用归纳方法进行试探，提出猜想；最后采用证明方法(或举反例)来检验所提出的猜想应该指出，能够充分进行上述研究方法训练的素材在高中数学里并非很多，而在本章里却多次提供了这种训练机会，因而在教学中应该充分利用，不要轻易放过纵观近几年的高考，在解答题中，有关数列的试题出现的频率较高，不仅可与函数、方程、不等式、复数相联系，而且还与三角、立体几何密切相关；数列作为特殊的函数，在实际问题中有着广泛的应用，如增长率，减薄率，银行信贷，浓度匹配，养老保险，圆钢堆垒等问题 这就要求同学们除熟练运用有关概念式外，还要善于观察题设的特征，联想有关数学知识和方法，迅速确定解题的方向，以提高解数列题的速度 3不等式部分：不等式这部分知识，渗透在中学数学各个分支中，有着十分广泛的应用因此不等式应用问题体现了一定的综合性、灵活多样性，这对同学们将所学数学各部分知识融会贯通，起到了很好的促进作用在解决问题时，要依据题设、题断的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案，最终归结为不等式的求解或证明不等式的应用范围十分广泛，它始终贯串在整个中学数学之中诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值