2014-2015选修2-1-第二章-圆锥曲线与方程复习课件及复习题单元质量评估(二).doc

温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。单元质量评估 (二)第二章(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2014长沙高二检测)抛物线x2=4y的焦点坐标为()A.(0,-1)B.(0,1)C.(1,0)D.(-1,0)【解析】选B.由题意知p=2,且焦点在y轴正半轴上,选B.2.(2014江西高考)过双曲线C:x2a2-y2b2=1的右顶点作x轴的垂线与C的一条渐近线相交于A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A,O两点(O为坐标原点),则双曲线C的方程为() A.x24-y212=1B.x27-y29=1C.x28-y28=1D.x212-y24=1【解题指南】设右焦点为F,|OF|=|AF|=4.【解析】选A.设右焦点为F.由题意得|OF|=|AF|=4,即a2+b2=16,又A(a,b),F(4,0)可得(a-4)2+b2=16,故a=2,b2=12,所以方程为x24-y212=1.新 课 标 xk b1. c om3.若抛物线的准线方程为x=-7,则抛物线的标准方程为()A.x2=-28yB.y2=28xC.y2=-28xD.x2=28y【解析】选B.由准线方程为x=-7,所以可设抛物线方程为y2=2px(p0),由p2=7,所以p=14,故方程为y2=28x.【变式训练】抛物线y=2x2的准线方程为()A.y=18B.y=-18C.x=12D.x=-12【解析】选B.由y=2x2,得x2=12y,所以p=14,p2=18,故准线方程为y=-18.4.(2014温州高二检测)“m0”是“方程x23+y2m=1表示椭圆”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.x23+y2m=1表示椭圆的充要条件是m0且m3.故选B.5.若椭圆x216+y2b2=1过点(-2,3),则其焦距为() X| k |B| 1 . c| O |mA.25B.2C.43D.45【解析】选C.由椭圆过点(-2,3),所以(-2)216+(3)2b2=1,解得b2=4,因此c2=a2-b2=12,所以c=23,2c=43.6.设F1,F2是椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点,P为直线x=3a2上一点,F2PF1是底角为30的等腰三角形,则E的离心率为()A.12B.23C.34D.45【解析】选C.设直线x=3a2与x轴交于点M,则PF2M=60,在RtPF2M中,PF2=F1F2=2c,F2M=3a2-c,故cos60=F2MPF2=32a-c2c=12,解得ca=34,故离心率e=34.7.(2014邯郸高二检测)设双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的虚轴长为2,焦距为23,则双曲线的渐近线方程为()A.y=22xB.y=2xC.y=12xD.y=2x【解析】选A.由2b=2,2c=23,得b=1,c=3,所以a=c2-b2=2,因此双曲线的方程为x22-y2=1,所以渐近线方程为y=22x.8.(2014唐山高二检测)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4),则此双曲线的方程为 ()A.x29-y216=1B.x23-y24=1C.x216-y29=1D.x24-y23=1【解析】选A.以|F1F2|为直径的圆的方程为x2+y2=c2,点(3,4)在圆上,可得c2=25,又双曲线的渐近线方程为y=bax,又过点(3,4),所以有ba=43,结合a2+b2=c2=25,得a2=9,b2=16,所以双曲线的方程为x29-y216=1.9.(2013重庆高考)设双曲线C的中心为点O,若有且只有一对相交于点O、所成的角为60的直线A1B1和A2B2,使|A1B1|=|A2B2|,其中A1,B1和A2,B2分别是这对直线与双曲线C的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是()A.233,2B.233,2C.233,+D.233,+【解题指南】根据双曲线的对称性找到渐近线与直线A1B1和A2B2的斜率之间的关系即可.【解析】选A.由题意知,直线A1B1和A2B2关于x轴对称,又所成的角为60,所以直线方程为y=33x或y=3x.又因为有且只有一对相交于点O、所成的角为60的直线A1B1和A2B2,使|A1B1|=|A2B2|,所以渐近线斜率满足33ba3,解得233b0,k0且k1,则椭圆C1:x2a2+y2b2=1和椭圆C2:x2a2+y2b2=k具有相同的()A.顶点B.焦点C.离心率D.长轴和短轴【解析】选C.椭圆C2:x2a2+y2b2=k,即x2ka2+y2kb2=1,离心率e22=ka2-kb2ka2=a2-b2a2=e12.http:/ww w.xkb1. com11.(2013江西高考)已知点A(2,0),抛物线C:x2=4y的焦点为F,直线FA与抛物线C相交于点M,与其准线相交于点N,则|FM|MN|=()A.25B.12C.15D.13【解题指南】由抛物线的定义把|FM|转化为点M到准线的距离,再结合直线的斜率,借助直角三角形进行求解.【解析】选C.设直线FA的倾斜角为,因为F(0,1),A(2,0),所以直线FA的斜率为-12,即tan=-12,过点M作准线的垂线交准线于点Q,由抛物线定义得|FM|=|MQ|,在MQN中|MQ|QN|=12,可得|MQ|MN|=15,即|FM|MN|=15.12.(2014扬州高二检测)若椭圆C:mx2+ny2=1(m0,n0,mn)与直线l:x+y-1=0交于A,B两点,过原点与线段AB中点的直线的斜率为22,则mn=()来源:学.科.网Z.X.X.KA.2B.12C.2D.22【解析】选D.设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点M(x0,y0),mx2+ny2=1,x+y-1=0(m+n)x2-2nx+n-1=0,x1+x2=2nm+n,x0=x1+x22=nm+n,y0=1-x0=mm+n.由kOM=22,得y0x0=22,又y0x0=mn,所以mn=22.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.(2014山东高考)已知双曲线x2a2-y2b2=1a0,b0的焦距为2c,右顶点为A,抛物线x2=2pyp0的焦点为F,若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c,且FA=c,则双曲线的渐近线方程为. 新 课 标 第 一 网【解题指南】本题考查了双曲线知识,利用双曲线与抛物线准线的交点为突破口求出a,b之间的关系,进而求得双曲线的渐近线方程.【解析】由题意知p2=c2-a2=b,抛物线准线与双曲线的一个交点坐标为c,-p2,即c,-b,代入双曲线方程为c2a2-b2b2=1,得c2a2=2,所以ba=c2a2-1=1,所以渐近线方程为y=x.答案:y=x14.(2014兰州高二检测)已知点P(a,0),若抛物线y2=4x上任一点Q都满足|PQ|a|,则a的取值范围是.【解析】对于抛物线y2=4x上任一点Q都满足|PQ|a|,若a0,显然适合;若a0,点P(a,0)都满足|PQ|a|,就是a2a-y242+y2,解得0b0)的两焦点关于直线y=x的对称点均在椭圆内部,则椭圆的离心率e的取值范围为.【解析】由已知得两焦点为(c,0),其关于直线y=x的对称点为(0,c)均在椭圆内部,则c2b21,得c2a2-c21,e21-e21,解得0e0),RtAOB内接于抛物线,O为坐标原点,AOBO,AO所在的直线方程为y=2x,|AB|=513,求抛物线方程.【解题指南】根据AOBO,直线AO的斜率为2,可知直线BO的斜率为-12,进而得出直线BO的方程.把这两条直线方程代入抛物线方程,分别求出A,B的坐标.根据两点间的距离为513求得p.【解析】因为AOBO,直线AO的斜率为2,所以直线BO的斜率为-12,即方程为y=-12x,把直线y=2x代入抛物线方程解得A坐标为p2,p,把直线y=-12x代入抛物线方程解得B坐标为(8p,-4p).因为|AB|=513,所以p22+p2+64p2+16p2=2513,所以p2=4,因为p0,所以p=2.故抛物线方程为y2=4x. 18.(12分)(2014郑州高二检测)已知经过点A(-4,0)的动直线l与抛物线G:x2=2py(p0)相交于B,C,当直线l的斜率是12时,AC=14AB.(1)求抛物线G的方程.(2)设线段BC的垂直平分线在y轴上的截距为b,求b的取值范围.【解析】(1)设B(x1,y1),C(x2,y2),由已知当kl=12时,l方程为y=12(x+4),即x=2y-4.由x2=2py,x=2y-4,得2y2-(8+p)y+8=0,所以y1y2=4,y1+y2=8+p2,又因为AC=14AB,所以y2=14y1或y1=4y2.由p0得:y1=4,y2=1,p=2,即抛物线方程为x2=4y.(2)设l:y=k(x+4),BC中点坐标为(x0,y0),由x2=4y,y=k(x+4)得x2-4kx-16k=0.所以x0=x1+x22=2k,y0=k(x0+4)=2k2+4k.所以BC的中垂线方程为y-2k2-4k=-1k(x-2k),所以BC的中垂线在y轴上的截距为b=2k2+4k+2=2(k+1)2,对于方程由=16k2+64k0得k0或k0)交于不同的两点A,B,试确定实数a的取值范围,使|AB|2p.【解析】由题意知,直线l的方程为y=x-a,将y=x-a代入y2=2px,得x2-2(a+p)x+a2=0.设直线l与抛物线的两个交点的坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),则4(a+p)2-4a20,x1+x2=2(a+p),x1x2=a2.又y1=x1-a,y2=x2-a,所以|AB|=(x1-x2)2+(y1-y2)2=2(x1+x2)2-4x1x2=8p(p+2a).因为00,所以08p(p+2a)2p.解得-p2b0)的左、右顶点分别为A,B,点P在椭圆上且异于A,B两点,O为坐标原点.(1)若直线AP与BP的斜率之积为-12,求椭圆的离心率.(2)若|AP|=|OA|,证明直线OP的斜率k满足|k|3.【解析】(1)设点P的坐标为(x0,y0).由题意得,x02a2+y02b2=1.由A(-a,0),B(a,0),得kAP=y0x0+a,kBP=y0x0-a.由kAPkBP=- 12,可得x02=a2-2y02,代入并整理得(a2-2b2)y02=0.由于y00,故a2=2b2.于是e2=a2-b2a2=12,所以椭圆的离心率e=22.(2)依题意,直线OP的斜率存在,设直线OP的方程为y=kx,点P的坐标为(x0,y0).由条件得y0=kx0,x02a2+y02b2=1,消去y0并整理得x02=a2b2k2a2+b2.由|AP|=|OA|,A(-a,0)及y0=kx0,得(x0+a)2+k2x02=a2.整理得(1+k2)x02+2ax0=0.而x00,于是x0=-2a1+k2,代入,整理得(1+k2)2=4k2ab2+4.由ab0,故(1+k2)24k2+4,即k2+14,因此k23.所以|k|3.【一题多解】依题意,直线OP的方程为y=kx,可设点P的坐标为(x0,kx0),由点P在椭圆上,有x02a2+k2x02b2=1.因为ab0,kx00,所以x02a2+k2x02a21,即(1+k2)x02a2.由|AP|=|OA|,A(-a,0),得(x0+a)2+k2x02=a2,整理得(1+k2)x02+2ax0=0,于是x0=-2a1+k2.代入,得(1+k2)4a2(1+k2)23,所以|k|3.20.(12分)(2014西安高二检测)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为233,过点A(0,-b)和B(a,0)的直线与原点的距离为32.(1)求双曲线C的方程.(2)直线y=kx+m(km0)与该双曲线C交于不同的两点C,D,且C,D两点都在以点A为圆心的同一圆上,求m的取值范围.【解析】(1)依题意ca=233,aba2+b2=32,a2+b2=c2,解得a2=3,b2=1.所以双曲线C的方程为x23-y2=1.(2)y=kx+m,x23-y2=1,消去y得,(1-3k2)x2-6kmx-3m2-3=0,由已知:1-3k20且=12(m2+1-3k2)0m2+13k2设C(x1,y1),D(x2,y2),CD的中点P(x0,y0),则x0=x1+x22=3km1-3k2,y0=kx0+m=m1-3k2,因为APCD,所以kAP=m1-3k2+13km1-3k2-0=m+1-3k23km=-1k,整理得3k2=4m+1,联立得m2-4m0,所以m4,又3k2=4m+10,所以m-14,因此-14m4.【变式训练】已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率e=12,短轴长为23.(1)求椭圆C的方程.(2)从定点M(0,2)任作直线l与椭圆C交于两个不同的点A,B,记线段AB的中点为P,试求点P的轨迹方程.【解析】(1)由已知得e=ca=12,23=2b,a2=b2+c2a=2,b=3,则椭圆方程为x24+y23=1.(2)设P(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2).若直线l与x轴垂直,则P(0,0).若直线l与x轴不垂直,设直线l的方程为y=kx+2(k0).由x24+y23=1,y=kx+2(3+4k2)x2+16kx+4=0则2x=x1+x2=-16k3+4k2,y=kx+2,将其消去k,得3x24+(y-1)2=1,由中=(16k)2-16(3+4k2)0,解得k214,则x=-8k3+4k2=-84k+3k-233,00,233,y=-8k23+4k2+2=63+4k20,32,综上,所求点P的轨迹方程为3x24+(y-1)2=1y0,32.21.(12分)已知点F1,F2分别是椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点,A是椭圆C的上顶点,B是直线AF2与椭圆C的另一个交点,F1AF2=60.(1)求椭圆C的离心率.w w w .x k b 1.c o mX| k |B| 1 . c| O |m(2)已知AF1B的面积为403,求a,b的值.【解析】(1)由题意知AF1F2为正三角形,a=2c,e=ca=12.(2)直线AB的方程为y=-3(x-c),x2a2+y2b2=1,y=-3(x-c)(3a2+b2)x2-6a2cx+3a2c2-a2b2=0由a=2c,得a2=4c2,b2=a2-c2=3c2.代入中得5x2-8cx=0,x=0或x=8c5,得A(0,3c),B8c5,-335c.|AB|=16c5.由AF1B的面积为403,得12|AB|AF1|sin60=403,1216c5a32=403,由a=2c,得a2=4c2,b2=a2-c2=3c2.解得c=5,a=10,b=53.22.(12分)(2014北京高二检测)已知A,B是椭圆x24+y23=1的左、右顶点,椭圆上异于A,B的两点C,D和x轴上一点P,满足AP=13AD+23AC