有关矩阵多项式的结论总结与进一步探讨.doc

数 统 学 院 毕 业 论 文课题名称：有关矩阵多项式的结论总结与进一步探讨 学生姓名 胡旭强 学 号 专 业 数学与应用数学 班 级 09级数学本科 指导教师 2011 年 12 月 15 日有关矩阵多项式的结论总结与进一步探讨摘要:本文主要系统小结有关矩阵多项式若干结论,这主要包括三个方面：矩阵多项式集合的结构性质，矩阵多项式可逆性的判定总结，以及矩阵多项式的迹的两点注记。其中至于已有的结论则不予证明或给出另一种证明方法，并且本文也给出几个重要的结论。关键词:矩阵多项式 单代数扩域 环 最小多项式 特征多项式0引言定义1：设是复数域的一个子域，记表示在上关于的所有多项式全体，记表示的次数，记表示与的最大公因子(其中)。符号“”表示证明结束。定义2：记表示上阶矩阵构成的矩阵集合。取，记为的最小多项式（其次数），记为的特征多项式。表示的单位矩阵。记为中一切数量矩阵的集合，即。表示矩阵的行列式值。定义3：,则称为的多项式，显然若为矩阵，则无意义。记，则，故有无限多个元素。定义4：记表示以中元素为系数关于的所有多项式全体。记 。下面一切符号从上，除非有特别说明本文第一部分主要探讨代数结构和空间结构,第二部分从另一角度推导矩阵多项式可逆性的判定定理同时也给出本人的一个新判定定理,第三部分则解决了文10中的两个未解决问题1有关结构性质探讨显然，并且是上维线性空间，下面就先探讨的空间结构： 引理1.1：关于矩阵加法和乘法构成域。 证明：由数量矩阵加法和乘法性质以及按照域的定义即可得，事实上它与数域同构。引理1.2：是域上的一个代数元，从面是上的一个单代数扩域，其中在上的极小多项式就是矩阵的最小多项式。 证明：由矩阵最小多项式定义、代数元定义以及单代数扩域定义即可得。引理1.3： 中任一元都可以唯一地表成，（）的形式,这里是的次数，要把这样的两个多项式与相加，只要把相应的系数相加；与的乘积等于，这里是用除所得余式。这里，并且为的极小多项式。证明：这是1中第156页定理2的直接推论。引理1.4：是上的次扩域，从而是上的维线性空间，并且其一组基为。证明：这是文1中第162页定理2直接推论。从集合关系来看：，而,因此由引理1.3及1.4得：定理1.1：是上的维线性空间，其一组基为；并且中任一元都可以唯一地表成，的形式,这里是的次数，要把这样的两个多项式与相加，只要把相应的系数相加；与的乘积等于，这里是用除所得余式.。事实上定理1可用直接用带余除法，矩阵多项式定义，以及矩阵最小多项式性质证得，但本文这样推导，主要是突出近世代数的知识在高等代数中的具体应用。显然的维数是，因此我们有：定理1.2：是中维真子空间（）。显然当时：=。另一方面，我们知道关于矩阵加法和乘法构成环。因此下而探讨代数结构：引理1.5：是的交换子环。这是文11的一个引理。引理1.6：从而是一个域。证明：先证明充分性：由，由定理1.1知中任一元素都是数量阵，故：。显然。故。由引理1.1，知从而是一个域。从定理1.1取可以看出：引理1.7:取则可假定，设则按定理1.1乘法法则，由带余除法性质，可记，其中，的值由的系数和的最小多项式决定的已知值.由引理1.7知：令，则可得关于的齐次线性方程组：()令，则可得关于的非齐次线性方程组:()引理1.8：当，则中存在非零奇异阵，并且任何非零不可逆阵就是中零因子。证明：先证命题前半部分：，知，若，命题已成立。若，显然的特征值非零，取的一个特征值，令则为特征根，故，但，否则与发生矛盾。由此可见就是中要找的一个非零奇异阵。下证命题后半部分：在引理1.7中令：，记方程()的系数阵为.则。不然，在引理1.7中令，则方程()有唯一的非零解。从而有使得，这与不可逆矛盾。由，知方程()有非零解，从而有满足。这说明了任何非零不可逆阵就是中零因子。推论1：是中零因子是非零奇异。由引理1.6及1.7，立即可得：定理1.3：是一个域；是有零因子的交换子环。引理1.8：可逆（或）的常数项不为0。引理1.9：设,对任意,若可逆,则（这是文4最早得出，本文这里给出另外简单证法。）证明：由引理1.8，可记则有令注意到：，即知即为的逆。推论1：数域上的阶循环阵的逆也是循环阵（分析见文4）推论2：若可逆，则的逆矩阵和的伴随矩阵都属于，并且记：，则，。（此结论最早在2中给出，至于后半部分证明可见文2，显然和也可由的系数表出）由推论2本文可进一步指出：推论3：。证明：令，则存在使可逆，记的特征多项式为： 且显然=0时，由引理2知： （1） 记， 由（1）式知； （2）由于与都是多项式，且有无穷多个使（2）式成立，从而（2）式是恒等式，因此（1）式也是恒等式，特别=0代入（1）式即得。由引理1.9立即可得：定理1.4：记它关于矩阵乘法构成可交换群。这里补充一个很有意思的定理，详细证明见文9：记 的中心化子则有： 定理1.5：是阶矩阵的标准形其中是阶矩阵，那么的充分必要条件是当i j 时, ，即是属于有唯一块。2矩阵多项式可逆判定与求法总结文6有这样的例子：例1：已知矩阵满足：求的逆矩阵解：设,利用可得，解非齐次线性方程组可得即得 这种解法并不像文6所说得需要技巧，它也是带有机械性的，其理论依据就是：定理2.1：可逆方程组()有唯一解。（其中符号从引理1.7）证明：充分性显然，这里证必要性。已知可逆，知方程组()肯定有解，假设方程组()有两个解，即存在有，,从而:，这说明为的最小多项式，其次数小于这是一个矛盾同，故方程组只有唯一解。定理2.1说明：只要用初等算术及带余除法即可解决这类问题，当然计算会比较繁琐些！例1中设的依据是：的最小多项式为：，而表为的多项式的次数应小于。应该指出的是，在例1中如果只知道的零化多项式，而且不知最小多项式，那么也可以按例子1的方法来设，只不过其次数要小于零化多项式的次数，同时也得到方程组()，但这时方程组的解不唯一。下面给出从矩阵秩的角度推导出矩阵多项式可逆判定，而不用特征值性质进行推导：定理2.2： 记， ，且则。证明：由多项式理论知：有、满足：，则有，注意到即知：显然若，则，从而可逆。因此有：推论1：，若则可逆。这是文7主要结果之一，文中已指出推论1中的仅是充分条件。事实上由文11中的定理2（但文11不给出证明）即：定理2.3：设，则也可得到推论1:取即得即可逆。下面给出2.3本人证明。证明：得：、满足：。即显然 当且仅当定理2.4：,则可逆证明：由推论1知只需证其必要性：令，则由定理2.2可知：可逆。从而由引理1.9可知，不妨设，从而有这是文6主要结果，这里只是给出另外一种证法，文中指出的逆的求法，即可用辗转相除法判定与是否互素，若互素可得：，从而有：。推论1：当时，则有是非零数可得：推论2：可逆推论3：可逆推论4：，则可逆证明：显然，它与互素当且仅当推论5： ，则可逆多项式常数项不为零。证明：显然，它与互素当且仅当其常数项不为零。 推论6：，则可逆。证明：显然，它与互素当且仅当。下面对矩阵多项式可逆判定常用结论（按最早提出的时间顺序排列）归纳如下：令，为的所有特征值，且则以下命题是相互等价的。可逆 （由文2最早给出，在11再次提出）（由文2最早给出）的根与的特征根互异（由文4最早给出，在8，3再次提出）（由文7最早给出）（由文6最早给出）至于具体证法与求法实例请读者参考相关文献。读者不妨按“”顺序证明。从略。3矩阵多项式的迹的两点注记本文仅给出文10中“两个未解决的问题”的参考答案，首先给出文10有关矩阵多项式的迹相关结论，具体证明请见文10按文10符号说明：表示所有矩阵集；表示实对称正定矩阵集，表示系数为实数域上的多项式集；表示系数为非负实数域上的多项式集。命题3.1：，及，有：命题3.2：，且命题3.3：，,有命题3.4：，,有命题3.5：有命题3.6：，有命题3.7：，若，则有：命题3.8:，若数列有界，则当时，级数绝对收敛。命题3.9：有命题3.10：及或有（）其中表示的导函数。文10中提出两个问题：“问题1：命题3.10是否对于均成立？问题2：及是否有：（或）（）其中 表示同类因子乘积。”本文指出两个命题均不成立。首先给出下面引理：引理3.1：。证明：由矩阵多项式定义与多项式导数关系可知这是显然的。引理3.2：有：.从而当且时，有：证明：设的特征根为,则显然,当时，有，故。当，且时，由命题3.1及知引理3.3：，则证明：取，则：问题1的反例如下：取，则，可得显然有。这里说明一下构造反例的思路：在不等式（）中，由引理3.2知：时，则有：，且（）式仅能取小于号。因此先令，再任意取的值，可得，且然后结合引理3.1及3.3，取，即可得所要的反例。问题2的反例如下：取，用表示（）中两式的关系，则（）变为：改为： （）式取，（）式左边值，右边值为，则取“”;取，则左边值为，右边值为，则取“”.这两个反例都说明了文10的两个假设都是不成立。参考文献:1张禾瑞 近世代数基础（1978年修订本）M 高等教育出版社 1231352樊恽（等主编）代数学辞典 华东师范大学出版社（94年版） 3555553郭忠海 矩阵多项式可逆性判别及矩阵逆的求法 J 电力学报 2003，182，9899。4赵晓萍 贝淑坤 李立斌 矩阵多项式的逆 J 吉林师范学院学报 1999-5，203，910。5北京大学数学系编 高等代数 M（第二版） 高等教育出版社6吴华安 矩阵多项式的逆矩阵的求法 J 大学数学 20004-8，204，8991。7彭学梅 矩阵多项式可逆性判定 J 高等数学研究 20004-5，73，3940。8段 炼