2014年重点大学自主招生数学模拟试题.doc

2014年重点大学自主招生数学模拟试题一、选择题（每题5分，共40分）1. 集合若，时，则运算可能是（ ） A加法减法乘法B加法乘法C加法减法除法D乘法除法2某城市2010年的空气质量状况如下表所示：污染指数T3060100110130140概 率其中，污染指数T50时，空气质量为优；50T100时，空气质量为良；100T150时，空气质量为轻微污染该城市2010年空气质量达到良或优的概率是（ ）ABCD3. 已知，则与的大小关系是（ ） A B C D4. 对一位运动员的心脏跳动检测了8次，得到如下表所示的数据：检测次数123456来源:Z#xx#k.Com78检测数据（次/分钟）3940424243454647上述数据的统计分析中，一部分计算见如右图所示的程序框图（其中是这8个数据的平均数），则输出的的值是（ ）A. 5 B. 6 C. 7D. 95. 如果，且，那么角的取值范围是（ ）A. B. C. D. 6. 已知“*”表示一种运算，定义如下关系：（1）;（2） .则 ( )A. B. C. D.7. 路灯距地面8m，一身高1.6m的人沿穿过灯下的直路以84m/min的速度行走，则人影长度变化速率（要求以m/s为单位）是（）A m/s Bm/s Cm/s Dm/s8. 已知氢元素有三种同位素分别为、，氧元素也有三种同位素分别为、，则由这些原子构成的不同的水分子共有（ ） A.18 B.24 C.9 D.36二、填空题（每题5分，共30分）9. 在等比数列中，其前项的和为，若是和的等差中项，则_ 10. 函数，其反函数为，则_ 11. 已知动点满足，为坐标原点，则的最小值是_，最大值是_. 12. 方程的实数解为_.13. 若表示不超过实数的最大整数，则=_. 14. 一只小船以10 m/s的速度由南向北匀速驶过湖面，在离湖面高20米的桥上，一辆汽车由西向东以20 m/s的速度前进，如右图现在小船在水平P点以南的40米处，汽车在桥上以西Q点30米处（其中PQ水面），则小船与汽车间的最短距离为 .（不考虑汽车与小船本身的大小）.三、解答题15.（13分） 求的值16. （13分）已知为某个正整数，是将的各位数字作任意排列之后而得到的两个数，求证：17. （14分）已知抛物线上三点、满足，求的外接圆面积的最小值18. （14分）已知函数在定义域内连续 （1）求的单调区间和极值； （2）当m为何值时，不等式 恒成立？ （3）给出定理：若函数上连续，并具有单调性，且满足异号，则方程内有唯一实根试用上述定理证明：当时，方程内有唯一实根 （e为自然对数的底；参考公式：）19. （13分）已知数列的各项都是正数，为正整数，且满足关系，求证：对于所有不小于2的自然数，都有成立20. （13分）设的三内角A, B, C对应的边长分别为,，且，边上的高为，求证：（1）；（2）；（3） 参考答案： 一、选择题1. B.显然知道，对于加法和乘法满足问题的要求2 A因为P（T，P（50，所以，空气达到优或良的概率为P=. 3. C由于，得，于是 ，所以4. C该程序框图的功能是输出这8个数据的方差，因为这8个数据的平均数 ，故输出的s的值为75. C. 注意到不等式等价与，显然是上的增函数，于是有不等式，从而，得，再结合，便得6. C. 设，于是有，则数列是等比数列，所以，得 7. A =5. OM= 4BM， 同理ON=4CN，两式相减，可知，人影长的变化 BMCN= (OMON) =MN=t84m/min，V=21m/min=m/s. 8. A.一个水分子（）由2个氢原子和1个氧原子组成.（1）若2个氢原子是同一元素，则有钟不同的水分子；（2）若2个氢原子不是同一元素，则有钟不同的水分子；故共有18种不同的水分子.二、填空题9. .设等比数列的公比为，显然由题意，得 ，化简得 ，解之，得 或（舍）或（舍），所以.10. 0 由变形，得，解这个关于的一元二次方程，求得正根为 ，所以 ，将与互换，得 故于是 所以 11. 0，. 方程可以转化化为： ，所以动点的轨迹如图：为原点和四段圆弧当点P为原点O时，；由对称性，仅考虑第一象限内的圆 ，显然，当点P为点（1，1）时， 12. 或. 对方程：分两种情况讨论：（1）当0时，即或时，方程转化为,解得 .因为，应舍去，于是.（2）当时,即,方程转化为,解得, .所以，方程的实数解为或.13. 2. .注意到， ，所以 ，即 ，故14.30 m.设经过时间t汽车在A点，船在B点，如图，则有AQ=3020t,BP=4010t,PQ=20,且AQBP，PQAQ，PQPB设小船所在平面为,AQ、QP确定平面为,记=l,由AQ, AQ，得AQl又AQPQ，得PQl,又PQPB，及lPB=P，得PQ作ACPQ，则AC连CB，则ACCB，进而AQBP，CPAQ，得CPBPAB2=AC2+BC2=PQ2+PB2+PC2=202+（4010t）2+(3020t)2=1005(t2)2+9故当t=2时，线段AB最短，最短距离为30 m.三、解答题15. 解：16. 证明：由题意，得知这3个数的各位数字之和是相等的同时，我们知道，一个数除以3的余数与这个数的各位数字之和除以3的余数相同，从而，有 ，于是，有. 要使，则，这显然是不可能的故有17. 解：设，则，因为，所以，又，所以，且于是当时，；当时，；所以或因为的外接圆的直径为，要使外接圆的面积最小，只需最小令，则所以，当时，函数是增函数，当时，函数是减函数当时，；当时，所以当时，即外接圆的半径为1时，面积最小为.18. 解：（） 内是减函数，在（1m，+）内是增函数，当等于1m时，函数有极小值1m（）由（1）知，在定义域内只有一个极值点，所以的最小值就是1m，从而当1m时，不等式0恒成立，故所求的实数m的取值范围是m1（） m1，又，因此，根据问题中所给定理，方程在区间内有唯一的实根19 证明：由知，而为正整数，于是，应用元均值不等式，得即，即当时，有，所以而的情况已包含在上式中，故得证20. 证明：（1）若，这时. 由面积关系，显然知，从而有，所以若，如图，在钝角中，过钝角作交AB于H，作