2014-2015年高中数学选修2-1-2课时提升作业(十九) 2.4.2.2.doc

温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(十九)抛物线方程及性质的应用(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.(2014安阳高二检测)过点(-1,0)且与抛物线y2=x有且仅有一个公共点的直线有()A.1条B.2条 C.3条D.4条【解析】选C.点(-1,0)在抛物线y2=x的外部,故过(-1,0)且与其有且仅有一个公共点的直线有三条,其中两条为切线,一条为x轴. X k B 1 . c o m【举一反三】若把本题中的点(-1,0)改为(1,1),则此时与y2=x只有一个公共点的直线有()A.1条B.2条C.3条D.4条【解析】选B.因为点(1,1)在抛物线y2=x上,所以作与y2=x只有一个公共点的直线有两条,其中一条为切线,一条为平行于x轴的直线.2.(2014桂林高二检测)设F为抛物线y2=4x的焦点,A,B,C为抛物线上不同的三点,点F是ABC的重心,O为坐标原点,OFA,OFB,OFC的面积分别为S1,S2,S3,则S12+S22+S32=()A.9B.6C.3D.2【解析】选C.A,B,C在抛物线上,所以设Ay124,y1,By224,y2,Cy324,y3,抛物线y2=4x的焦点为(1,0),所以y1+y2+y3=0,y12+y22+y3243=1,所以y12+y22+y32=12,所以S12+S22+S32=141(y12+y22+y32)=3.3.(2014莆田高二检测)若抛物线y2=x上两点A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线y=x+b对称,且y1y2=-1,则实数b的值为()A.-3B.3C.2D.-2【解析】选D.因为A,B关于直线y=x+b对称,故kAB=-1,设AB的方程为y=-x+t,与y2=x联立,消去x得y2+y-t=0,所以y1+y2=-1,y1y2=-t=-1,所以t=1,得x1+x2=3.由AB的中点在直线y=x+b上,所以y1+y22=x1+x22+b,即-12=32+b,得b=-2.4.(2013新课标全国卷)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l过F且与C交于A,B两点.若|AF|=3|BF|,则l的方程为()A.y=x-1或y=-x+1B.y=33(x-1)或y=-33(x-1)C.y=3(x-1)或y=-3(x-1)D.y=22(x-1)或y=-22(x-1)【解析】选C.由题意,可设|BF|=x,则|AF|=3x,设直线l与抛物线的准线相交于点M,则由抛物线的定义可知:|MB|MB|+4x=x3x,所以|MB|=2x,所以直线l的倾斜角为60或120,即直线l的斜率为3,故选C.【一题多解】选C.抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0),准线方程为x=-1,设A(x1,y1),B(x2,y2),因为|AF|=3|BF|,所以x1+1=3(x2+1),所以x1=3x2+2.因为|y1|=3|y2|,x1=9x2,所以x1=3,x2=13,当x1=3时,y12=12,所以此时y1=12=23,若y1=23,则A(3,23),B13,-233,此时kAB=3,直线方程为y=3(x-1).若y1=-23,则A(3,-23),B13,233,此时kAB=-3,直线方程为y=-3(x-1).5.已知抛物线y2=2px(p0),过焦点F且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为()A.x=1B.x=-1C.x=2D.x=-2【解析】选B.设A(x1,y1),B(x2,y2),则线段AB的中点为x1+x22,y1+y22,所以y1+y22=2,因为A,B在抛物线y2=2px上,所以y12=2px1,y22=2px2,-得y12-y22=2p(x1-x2),所以kAB=y1-y2x1-x2=2py1+y2=p2,因为kAB=1,所以p=2,所以抛物线方程为y2=4x,所以准线的方程为x=-1.【拓展延伸】“中点弦”处理方法当涉及弦中点的坐标、弦所在直线斜率之间的关系时,可以“设而不求”,采用平方差法.(1)代端点.把弦的两端点坐标(x1,y1),(x2,y2)代入圆锥曲线方程.(2)“平方差”.将两方程作差,利用平方差公式.(3)得斜率.把x1+x2=2x0,y1+y2=2y0(中点坐标(x0,y0)代入可得y1-y2x1-x2,即直线的斜率.(4)求结论.由点斜式求直线方程或代入转化求其他.6.(2014成都高二检测)已知抛物线C的方程为x2=12y,过点A(0,-1)和点B(t,3)的直线与抛物线C没有公共点,则实数t的取值范围是()A.(-,-1)(1,+)B.-,-2222,+C.(-,-22)(22,+)D.(-,-2)(2,+)【解析】选D.据已知可得直线AB的方程为y=4tx-1,联立直线与抛物线方程,得y=4tx-1,x2=12y,消元整理,得2x2-4tx+1=0,由于直线与抛物线无公共点,即方程2x2-4tx+1=0无解,故有=-4t2-82或t0,得k0),而点M(4,-4)在抛物线上,则(-4)2=8p,所以p=2,故所求抛物线方程为y2=4x.(2)由(1)知F(1,0),若直线l垂直于x轴,则A(1,2),B(1,-2),此时|AB|=4,与题设不符;若直线l与x轴不垂直,可设直线l的方程为y=k(x-1),再设A(x1,y1),B(x2,y2), X k B 1 . c o m由y=k(x-1),y2=4xk2x2-2(k2+2)x+k2=0,于是x1+x2=2(k2+2)k2,x1x2=1,则|AB|=(1+k2)(x1+x2)2-4x2x2=(1+k2)4(k2+2)2k4-4=4(1+k2)k2,令4(1+k2)k2=8,解得k=1,从而,所求直线l的方程为y=(x-1).11.(2013福建高考)如图,抛物线E:y2=4x的焦点为F,准线l与x轴的交点为A.点C在抛物线E上,以C为圆心,CO为半径作圆,设圆C与准线l交于不同的两点M,N.(1)若点C的纵坐标为2,求MN.(2)若AF2=AMAN,求圆C的半径.x k b 1 . c o m【解题指南】(1)利用垂径定理求圆的弦长MN.(2)先设C的坐标,写出圆方程,联立方程,然后结合已知条件列式求解.【解析】(1)抛物线y2=4x的准线l的方程为x=-1,由点C的纵坐标为2,得点C的坐标为(1,2),所以点C到准线l的距离d=2,又|CO|=5.所以|MN|=2|CO|2-d2=25-4=2.(2)设Cy024,y0,则圆C的方程为x-y0242+(y-y0)2=y0416+y02,即x2-y022x+y2-2y0y=0.由x=-1,得y2-2y0y+1+y022=0,设M(-1,y1),N(-1,y2),则:=4y02-41+y022=2y02-40,y1y2=y022+1,由|AF|2=|AM|AN|,得|y1y2|=4,所以y022+1=4,解得y0=6,此时0, 所以圆心C的坐标为32,6或32,-6,从而|CO|2=334,|CO|=332,即圆C的半径为332.(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.已知抛物线y2=4x的焦点为F,过点F的直线l与该抛物线交于A,B两点,直线l与该抛物线的准线交于点C,且点F为AC的中点,则|AB|等于()A.103B.163C.4D.2【解析】选B.如图,设A(x1,y1),B(x2,y2),因为F(1,0)为AC的中点,所以有2=x1-1得x1=3,则直线l的方程可写为y=3x-3,联立y=3x-3y2=4x3x2-10x+3=0.新$课$标$第$一$网由根与系数的关系得,|AB|=x1+x2+p=103+2=163.2.过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A,B两点,它们的横坐标之和等于5,则这样的直线()A.有且仅有一条B.有且仅有两条C.有无穷多条D.不存在【解析】选B.设过焦点的直线为y=k(x-1)因焦点坐标为(1,0),故k不存在时,A,B横坐标均为1,和为2,不合题意,设A(x1,y1),B(x2,y2),y=k(x-1),y2=4xk2x2-(2k2+4)x+k2=0,其中k0,否则只有一个交点,x1+x2=2k2+4k2=5,即2+4k2=5,解得k=233,故这样的直线有且仅有两条.3.(2013大纲版全国卷)已知抛物线C:y2=8x与点M-2,2,过C的焦点,且斜率为k的直线与C交于A,B两点,若MAMB=0,则k=()A.12B.22C.2D.2【解题指南】先求出抛物线的焦点,列出过焦点的直线方程,与抛物线联立,化简成关于x的一元二次方程,利用根与系数的关系代入求解.【解析】选D.由题意知,直线AB的方程为y=k(x-2),将其代入到y2=8x得,k2x2-4(k2+2)x+4k2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4(k2+2)k2,x1x2=4.又y1+y2=k(x1+x2)-4k,y1y2=k2x1x2-2(x1+x2)+4.因为MAMB=0,所以(x1+2,y1-2)(x2+2,y2-2)=0,即x1x2+2(x1+x2)+y1y2-2(y1+y2)+8=0.由得,k=2.4.(2014杭州高二检测)如图,已知抛物线的方程为x2=2py(p0),过点A(0,-1)作直线l与抛物线相交于P,Q两点,点B的坐标为(0,1),连接BP,BQ,设QB,BP与x轴分别相交于M,N两点.如果QB的斜率与PB的斜率的乘积为-3,则MBN的大小等于() http:/ww w.xkb1. comA.2B.4C.23D.3【解析】选D.设P点坐标为xP,xP22p,Q点坐标为xQ,xQ22p,因为A,P,Q三点共线,所以kPA=kQA,即xP22p+1xP=xQ22p+1xQ,所以xP22p+1xP-xQ22p+1xQ=xP2+2p2pxP-xQ2+2p2pxQ=xP2xQ+2pxQ-xPxQ2-2pxP2pxPxQ=(xP-xQ)(xPxQ-2p)2pxPxQ=0,因为xPxQ,所以xPxQ-2p=0.又kPB+kQB=xP22p-1xP+xQ22p-1xQ=xP2xQ-2pxQ+xPxQ2-2pxP2pxPxQ=(xP+xQ)(xpxQ-2p)2pxPxQ=0,又kBPkBQ=-3,得kBP=3,kBQ=-3,所以BNM=BMN=3,故MBN=3.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2013浙江高考)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,过点P(-1,0)的直线l交抛物线C于A,B两点,点Q为线段AB的中点,若|FQ|=2,则直线l的斜率等于.【解题指南】由抛物线方程可知F的坐标,再利用待定系数法表示A,B两点的坐标,根据|FQ|=2求解.【解析】设直线l:y=k(x+1),由y=k(x+1),y2=4x,消去y得,k2x2+(2k2-4)x+k2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-2k2-4k2,x1x2=1,设AB的中点Q(x0,y0),则x0=-k2-2k2,y0=k(x0+1)=2k,因为|FQ|=2,F(1,0),所以-k2-2k2-12+2k2=4,所以k2=1,k=1.答案:16.(2014北京高二检测)过抛物线C:y2=2px(p0)的焦点F作倾斜角为60的直线与抛物线分别交于A,B两点(点A在x轴上方),则|AF|BF|=.【解析】记|AF|=a,|BF|=b,准线为l,x kb 1分别过A,B作AA1l,BB1l,则|AA1|=|AF|=a,|BB1|=|BF|=b,再过B作BMAA1于M.在RtBMA中,ABM=30,AM=a-b,AB=a+b,于是a+b=2(a-b),a=3b,故所求为3.答案:3【一题多解】y2=2px,y=3x-p2x1=32p,y1=3p,x2=16p,y2=-33p,A32p,3p,B16p,-33p,Fp2,0.|AF|=2p,|BF|=2p3,故所求为3.答案:3三、解答题(每小题12分,共24分)7.(2014重庆高二检测)在平面直角坐标系xOy中,F是抛物线C:y2=2px(p0)的焦点,圆Q过O点与F点,且圆心Q到抛物线C的准线的距离为32.(1)求抛物线C的方程.(2)过F作倾斜角为60的直线l,交曲线C于A,B两点,求OAB的面积.【解析】(1)由Fp2,0,所以圆心Q在线段OF的垂直平分线x=p4上,又因为准线方程为x=-p2,所以p4-p2=32,得p=2,所以抛物线C:y2=4x.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由y2=4x,y=3(x-1),得y2-433y-4=0.所以y1+y2=433,y1y2=-4,所以SOAB=12|OF|y2-y1|=121(y1+y2)2-4y1y2=12163+16=433.【变式训练】(2014大同高二检测)已知抛物线C:y2=2px,点P(-1,0)是其准线与x轴的交点,过P的直线l与抛物线C交于A,B两点.(1)当线段AB的中点在直线x=7上时,求直线l的方程.(2)设F为抛物线C的焦点,当A为线段PB中点时,求FAB的面积.【解析】(1)因为抛物线的准线为x=-1,所以p=2,抛物线方程为y2=4x, 设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的方程为y=k(x+1),(依题意k存在,且k0)与抛物线方程联立,消去y得k2x2+(2k2-4)x+k2=0(*)x1+x2=4-2k2k2,x1x2=1.所以AB中点的横坐标为2-k2k2,即2-k2k2=7,所以k2=14(此时(*)式判别式大于零),所以直线l的方程为y=12(x+1).(2)因为A为线段PB中点,所以x2-12=x1,y22=y1,由A,B为抛物线上的点,得y222=4x2-12,y22=4x2,解得x2=2,y2=22,当y2=22时,y1=2;当y2=-22时,y1=-2,新- 课-标 -第-一-网所以FAB的面积SFAB=SPFB-SPFA=12|PF|y2-y1|=2.8.(2014天水高二检测)设抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,经过点F的直