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橙子奥数工作室 教学档案 非卖品 全国高中数学联赛模拟试题一 命题人吴伟朝 第一试 一选择题每小题 6 分共 36 分 1 方程 6 5a2b2 5c2满足 c20 的正整数解 a b c 的个数是 A1 B3 C4 D5 2 函数 2 1 x y x xRx1的递增区间是 Ax2 Bx0 或 x2 Cx0 Dx12 或 x2 3 过定点 P 2 1 作直线 l 分别交 x 轴正向和 y 轴正向于 AB使AOBO 为原点的面 积最小则 l 的方程为 Axy30 Bx3y50 C2xy50 Dx2y40 4 方程 cos2x3sin2xa1 在 0 2 上有两个不同的实数解 x则参数 a 的取值范围是 A0a1 B3a1 Ca1 D0a1 5 数列 1 2 2 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 5 5 6 的第 1000 项是 A42 B45 C48 D51 6 在 1 2 3 4 5 的排列 a1 a2 a3 a4 a5中满足条件 a1a2a2a3a3a4a4a5的排列的 个数是 A8 B10 C14 D16 二填空题每小题 9 分共 54 分 1 x 表示不大于 x 的最大整数则方程 1 2 x2x 19x99 的实数解 x 是 2设 a11an 12ann2则通项公式 an 3数 799被 2550 除所得的余数是 4在ABC 中A 3 sinB 5 13 则 cosC 5设 k 是实数使得关于 x 的方程 x2 2k1 xk210 的两个根为 sin 和 cos 则 的取值范围是 6数 2 524 n nN的个位数字是 三20 分 已知 xyz 都是非负实数且 xyz1 求证x 12x 13x y 12y 13y z 12z 13z 0并确定等号成立的条件 四20 分 1 求出所有的实数 a使得关于 x 的方程 x2 a2002 xa0 的两根皆为整数 2 求出所有的实数a 使得关于x的方程x3 a22a2 x2a22a0有三个整数根 五20 分 试求正数 r 的最大值使得点集 T x y xyR且 x2 y7 2r2 一定被包含于另一 个点集 S x y xyR且对任何 R都有 cos2 xcos y0 之中 第二试 一50 分 设 abcRbacacz 是复数且 z2 ac zb0 求证 2 1 abac z acb 的充分必要条件是 ac 24b0 二50 分 如图在ABC 中ABC 和ACB 均是锐角D 是 BC 边上的 内点且 AD 平分BAC过点 D 分别向两条直线 ABAC 作垂线 DPDQ其垂足是 PQ两条直线 CP 与 BQ 相交与点 K求证 1AKBC 2 2 ABC S AKAPAQ BC 且使得关于 x 的不等式1x 1a xb 总有实数解 试求 f a b a23abb2的取值范围 三50 分 试求出正整数 k 的最小可能值使得下述命题成立对于任意的 k 个整数 a1 a2 ak允许 相等必定存在相应的 k 的整数 x1 x2 xk也允许相等且 xi 2 i1 2 k x1 x2 xk 0使得 2003 整除 x1a1x2a2xkak 参考答案 第一试 一选择题 1C2C3B4A5D6C 二填空题 1 25 6 336 2156 5 3 1631 62 4152004 62 210 三 1 1 2 e 四a2n2n 22n3a2n 132 n 12n4 五 a b 2l 1 l2 l 1 lZ 第二试 一证略提示将条件变形为1 PCPAPC PA PBPQ 然后应用正弦定理进行三角变换得 BPC120利用同一法即证 二 1 三kmin7 橙子奥数工作室 教学档案 非卖品 全国高中数学联赛模拟试题四 命题人刘康宁 第一试 一选择题每小题 6 分共 36 分 1函数 22 ax f x xaa 是奇函数的充要条件是 A1a0 或 0a1Ba1 或 a1Ca0Da0 2已知三点 A 2 1 B 3 2 C 1 3 和动直线 lykx当点 ABC 到直线 l 的距离的平方和最小时下列结论中正确的是 A点 A 在直线 l 上 B点 B 在直线 l 上 C点 C 在直线 l 上 C点 ABC 均不在直线 l 上 3在正方体 ABCD A1B1C1D1中过顶点 A1在空间作直线 l使 l 与直线 AC 和 BC1所成的 角都等于 60这样的直线 l 可以做 A4 条B3 条C2 条D1 条 4整数的 100 200 Cn 两位质因数的最大值是 A61B67C83D97 5若正整数 a 使得函数 132yf xxax 的最大值也是整数则这个最大值等于 A3B4C7 D8 6 在正整数数列中 由 1 开始依次按如下规则将某些数染成红色 先染 1 再染 2 个偶数 2 4再染 4 后面最邻近的 3 个连续奇数 579再染 9 后面最邻近的 4 个连续偶数 1012 1416再染此后最邻近的 5 个连续奇数 1719212325按此规则一直染下去得 到一红色子数列 12457912141617则在这个红色子数列中由 1 开始的第 2003 个数是 A3844B3943C3945D4006 二填空题每小题 9 分共 54 分 1在复平面上RtABC 的顶点 ABC 分别对应于复数 z12z1 z1 2A 为直 角顶点且 z 2设集合 M m zmRmN P x x 1 2m mM 则集合 P 所有 元素之和等于 2函数 f x sinx sin42x cosx 的最大值与最小值之差等于 3关于 x 的不等式 222 222 2247 0 4547 xaxaa xaaxaa 的解集是一些区间的并集且这些区 间的长度的和小于 4则实数 a 的取值范围是 4银行计划将某项资金的 40 给项目 M 投资一年其余的 60 给项目 N预计项目 M 有 可能获得 19 到 24 的年利润N 有可能获得 29 到 34 的年利润年终银行必须回笼资 金同时按一定的回扣率支付给储户为使银行的年利润不少于给 MN 总投资的 10 而 不大于总投资的 15 则给储户的回扣率的最小值是 5已知点 a b 在曲线 arcsinxarccosy 上运动且椭圆 ax2by21 在圆 x2y2 2 3 的外部 包括二者相切的情形那么arcsinb 的取值范围是 6同底的两个正三棱锥内接于同一个球已知两个正三棱锥的底面边长为 a球的半径为 R设两个正三棱锥的侧面与底面所成的角分别为 则 tan 的值是 三20 分 ABC 的三边长 abcabc同时满足下列三个条件 iabc 均为整数 iiabc 依次成等比数列 iiia 与 c 中至少有一个等于 100 求出 a b c 的所有可能的解 四20 分 在三棱锥 D ABC 中ADaBDbABCDc且DABBACDAC180 DBAABCDBC180求异面直线 AD 与 BC 所成的角 五20 分 设正系数一元二次方程 ax2bxc0 有实根证明 1max a b c 4 9 abc 2min a b c 1 4 abc 第二试 一50 分 已知ABC 的外角EAC 平分线与ABC 的外接圆交于 D以 CD 为直径的圆分别交 BC CA 于点 PQ 求证线段 PQ 平分ABC 的周长 二50 分 已知 x01x13xn 16xnxn 1nN 求证数列 xn 中无完全平方数 三50 分 有 2002 名运动员号码依次为 1232002从中选出若干名运动员参加仪仗队 但要使剩下的运动员中没有一个人的号码数等于另外两人的号码数的乘积 那么被选为仪仗 队的运动员至少能有多少人给出你的选取方案并简述理由 参考答案 第一试 一选择题 1C2CD3B4A5C6B 二填空题 1 1 7 223 1 3 410 5 6 44 3 6 4 3 3 R a 三可能解为 100 100 100 100 110 121 100 120 144 100 130 169 100 140 196 100 150 225 100 160 256 49 70 100 64 80 100 81 90 100 100 100 100 四 22 2 arccos bc a 五1证略提示令 abct分 b 4 9 t和 b 4 9 t讨论 2证略提示分 a 1 4 t和 a 1 4 t讨论 第二试 一证略 二证 略提 示易 由 特 征 根 法 得 xn 1 32 232 2 2 nn 设 yn 1 32 232 2 2 2 nn 于是 22 21 nn xy 原结论等价于方程 x42y21 无整数解 由数论只是可证 三43 橙子奥数工作室 教学档案 非卖品 全国高中数学联赛模拟试题五 命题人罗增儒 第一试 一选择题每小题 6 分共 36 分 1空间中 nn3个平面其中任意三个平面无公垂面那么下面四个结论 1没有任何两个平面互相平行 2没有任何三个平面相交于一条直线 3平面间的任意两条交线都不平行 4平面间的每一条交线均与 n 2 个平面相交 其中正确的个数为 A1B2C3 D4 2若函数 y f x 在 a b 上的一段图像可以近似地看作直线段则当 c a b 时f c 的近似 值可表示为 A 2 f af b B 2 ab f C bc f aca f b ba D ca f af bf a ba 3设 abca b c 1且 a2 b2 c2 1则 Aa b1Ba b 1Ca b1D不能确定与 ab 的具体取值有关 4设椭圆 22 22 1 xy ab 的离心率 3 2 e 已知点 3 0 2 P 到椭圆上的点的最远距离是 7 4 则 短半轴之长 b A 1 16 B 1 8 C 1 4 D 1 2 5S 1 2 2003 A 是 S 的三元子集满足A 中的所有元素可以组成等差数列那么 这样的三元子集 A 的个数是 A 3 2003 CB 22 10011002 CC C 22 10011002 AA D 3 2003 A 6长方体 ABCD A1B1C1D1AC1为体对角线现以 A 为球心ABADAA1AC1为半径 作四个同心球其体积依次为 V1V2V3V4则有 AV4V1 V2 V3 BV4 V1 V2 V3 CV4V1 V2 V3 D不能确定与长方体的棱长有关 二填空题每小题 9 分共 54 分 1已知 33 sincos sincos k 则 k 的取值范围为 2等差数列 an 的首项 a1 8且存在惟一的 k 使得点 k ak 在圆 x2 y2 102上则这样的等差 数列共有 个 3在四面体 P ABC 中PA PB aPC AB BC CA b且 ab则 a b 的取值范围为 4动点 A 对应的复数为 z 4 cos isin 定点 B 对应的复数为 2点 C 为线段 AB 的中点 过点 C 作 AB 的垂线交 OA 与 D则 D 所在的轨迹方程为 5 2003 1 3k k 被 8 所除得的余数为 6圆周上有 100 个等分点以这些点为顶点组成的钝角三角形的个数为 三20 分 已知抛物线 y2 2px p0 的一条长为 l 的弦 AB 求 AB 中点 M 到 y 轴的最短距离 并求出此 时点 M 的坐标 四20 分 单位正方体 ABCD A1B1C1D1中正方形 ABCD 的中心为点 M正方形 A1B1C1D1的中心为 点 N连 ANB1M 1求证ANB1M 为异面直线 2求出 AN 与 B1M 的夹角 五20 分 对正实数 abc求证 222 888abcbaccab abc 9 第二试 一50 分 设 ABCD 是面积为 2的长方形 P 为边CD上的一点 Q 为PAB的内切圆与边 AB 的切点 乘 积 PAPB 的值随着长方形 ABCD 及点 P 的变化而变化当 PAPB 取最小值时 1证明AB2BC 2求 AQBQ 的值 二50 分 给定由正整数组成的数列 12 21 1 2 nnn aa aaa n1 1求证数列相邻项组成的无穷个整点 a1 a2 a3 a4 a2k 1 a2k 均在曲线 x2 xy y2 1 0 上 2若设 f x xn xn 1 anx an 1g x x2 x 1证明g x 整除 f x 三50 分 我们称 A1 A2 An为集合 A 的一个 n 分划如果 1 12n AAAA 2 ij AA 1ijn 求最小正整数 m使得对 A 1 2 m 的任意一个 13 分划 A1 A2 A13一定存在某个集合 Ai 1i13 在 Ai中有两个元素 ab 满足 ba 9 8 b 参考答案 第一试 一选择题 1D2C3A4C5B6C 二填空题 1 11 1 1 22 2173 23 1 4 2 2 1 1 43 xy 546117600 三 22 2 02 0 88 2 222 ll lp M pp lplppl lp Mp 四1证略2 2 arccos 3 五证略 第二试 一1证略提示用面积法得 PAPB 最小值为 2此时APB90 2AQBQ 1 二证略提示用数学归纳法 三m 117 橙子奥数工作室 教学档案 非卖品 全国高中数学联赛模拟试题六 命题人秦永 苟春鹏 第一试 一选择题每小题 6 分共 36 分 1在复平面上非零复数 z1z2在以 i 对应的点为圆心1 为半径的圆上 12 zz 的实部为 零 1 arg 6 z 则 z2 A 33 i 22 B 33 i 22 C 33 i 22 D 33 i 22 2已知函数 2 1 log 2 a f xaxx 在 1 2 上恒正则实数 a 的取值范围是 A 1 5 2 8 B 3 2 C 1 53 2 82 D 1 2 3已知双曲线过点 M 24 N 44 它的一个焦点为 F1 10 则另一个焦点 F2的轨 迹方程是 A 22 14 1 2516 xy y0或 x 1y0 B 22 14 1 1625 xy x0或 x 1y0 C 22 41 1 2516 xy y0或 y 1x0 D 22 41 1 1625 xy x0或 y 1x0 4已知正实数 ab 满足 a b 1则 2 112Mab 的整数部分是 A1 B2 C3 D4 5一条笔直的大街宽是 40 米一条人行道穿过这条大街并与大街成某一角度人行道的 宽度是 15 米长度是 50 米则人行道间的距离是 A9 米 B10 米 C12 米 D15 米 6一条铁路原有 m 个车站为适应客运需要新增加 n 个车站n1则客运车票增加了 58 种注从甲站到乙站需要两种不同的车票那么原有车站的个数是 A12 B13 C14 D15 二填空题每小题 6 分共 36 分 7长方形 ABCD 的长 AB 是宽 BC 的2 3倍把它折成无底的正三棱柱使 AD 与 BC 重合 折痕线EF GH分别交原对角线AC于M N 则折后截面AMN与底面AFH所成的角是 8 在ABC 中 a b c 是角 A B C 的对边 且满足 a2 b2 2c2则角 C 的最大值是 9从盛满 a 升a1纯酒精的容器里倒出 1 升然后填满水再倒出 1 升混合溶液后又 用水填满如此继续下去则第 n 次操作后溶液的浓度是 10已 知 函 数 f x 与 g x 的 定 义 域 均 为 非 负 实 数 集对 任 意 x0规 定 f x g x min f x g x 若 f x 3 xg x 25x 则 f x g x 的最大值为 11从 1 到 100 的自然数中每次取出不同的两个数使它们的和大于 100则可有 不同的取法 12 若实数 a0 则满足 a5 a3 a 2 的 a 值属于区间 6 0 3 66 2 3 6 3 3 0 2 其中正确的是 三20 分 求证经过正方体中心的任一截面的面积不小于正方体的一个侧面的面积 四20 分 直线 Ax Bx C 0ABC0与椭圆 b2x2 a2y2 a2b2相交于 PQ 两点O 为坐标原点 且 OPOQ求证 2222 222 a bab CAB 五20 分 某新建商场建有百货部服装部和家电部三个经营部共有 190 名售货员计划全商场日营 业额指每日卖出商品的总金额为 60 万元根据经验各部商品每 1 万元营业额所需售 货员人数如表 1 每 1 万元营业额所得利润如表 2 商场将计划日营业额分配给三个经营部 同时适当安排各部的营业员人数 若商场预计每日的总利润为 c 万元 且满足 19c19 7 又已知商场分配给经营部的日营业额均为正整数万元 问这个商场怎样分配日营业额给三个 部各部分别安排多少名售货员 表 1 各部每 1 万元营业额所需人数表 表 2 各部每 1 万元营业额所得利润表 部门 人数 百货部 5 服装部 4 家电部 2 部门 利润 百货部 0 3 万元 服装部 0 5 万元 家电部 0 2 万元 第二试 一50 分 矩形 ABCD 的边 AD AB以 AB 为直径在矩形之外作半圆在半圆上任取不同于 AB 的一点 P连 PCPD 交 AB 于 EF若 AE2 BF2 AB2试求正实数 的值 二50 分 若 aiR i 1 2 n 1 n i i Sa 且 2nN 求证 3 1 n k k k a Sa 2 1 1 1 n k k a n 三50 分 无穷数列 cn 可由如下法则定义cn 1 1 1 2cn 而 0c11 1证明仅当 c1是有理数时数列自某一项开始成为周期数列 2存在多少个不同的 c1值使得数列自某项之后以 T 为周期对于每个 T 2 3 参考答案 第一试 一选择题 1A2C3A4B5C6C 二填空题 1 6 2 3 3 1 1 n a 42 31 52500 6 三证略 四证略 五82329 或 102030万元对应 409258 或 508060人 第二试 一 2 2 二证略 三1证略 2无穷个 橙子奥数工作室 教学档案 非卖品 全国高中数学联赛模拟试题七 选题人李潜 第一试 一选择题每小题 6 分共 36 分 1ab 是异面直线直线 c 与 a 所成的角等于 c 与 b 所成的角则这样的直线 c 有 A1 条 B2 条 C3 条 D无数条 2已知 f x 是 R 上的奇函数g x 是 R 上的偶函数若 f x g x x2 2x 3则 f x g x A x2 2x 3 Bx2 2x 3 C x2 2x 3 Dx2 2x 3 3知ABCO 为ABC 内一点AOB BOC COA 2 3 则使 AB BC CA m AO BO CO 成立的 m 的最大值是 A2 B 5 3 C3 D 3 2 4设 x 0 820 5y sin1z log3 7则 x yz 的大小关系是 Axyz Byzx Czxy Dzyx 5整数 1995 95 10 103 的末尾两位数字是 A10 B01 C00 D20 6设 a b 表示两自然数 ab 的最大公约数设 a b 1则 a2 b2 a3 b3 为 A1 B2 C1 或 2 D可能大于 2 二填空题每小题 9 分共 54 分 1若 f x x10 2x9 2x8 2x7 x6 3x2 6x 1则 f 2 1 2设 F1F2是双曲线 x2 y2 4 的两个焦点P 是双曲线上任意一点从 F1引F1PF2平分 线的垂线垂足为 M则点 M 的轨迹方程是 3给定数列 xn x1 1且 1 31 3 n n n x x x 则 x1999 x601 4正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 1E 是 CD 中点F 是 BB1中点则四面体 AD1EF 的 体积是 5在坐标平面上由条件 1 23 yx yx 所限定的平面区域的面积是 612 个朋友每周聚餐一次每周他们分成三组每组 4 人不同组坐不同的桌子若要求 这些朋友中任意两个人至少有一次同坐一张桌子则至少需要 周 三20 分 已知椭圆 22 22 1 xy ab 过定点 A 1 0 且焦点在 x 轴上椭圆与曲线 y x 的交点为 BC现 有以 A 为焦点过 BC 且开口向左的抛物线抛物线的顶点坐标 M m 0 当椭圆的离心 率 e 满足 2 2 1 3 e 给出下列四个结论 2 1 ba b logab logba 00ab1ab 1 0 其中正确结论的个数是 A1B2C3 D4 2若ABC 的三边长 abc 满足 2 220 2230 aabc abc 则它的最大内角度数是 A150B120C90D60 3定长为 l 2 2b l a 的线段 AB 的两端点都在双曲线 22 22 1 xy ab a0b0则 AB 中点 M 的横坐标的最小值为 A 22 2 al ab B 22 2 al ab C 22 2 2 a la ab D 22 2 2 a la ab 4在复平面上曲线 z4 z 1 与圆 z 1 的交点个数为 A0B1C2 D3 5 设 E x y 0 x2 0y2 F x y x10 y2 yx 4 是直角坐标平面上的两个点集 则集合 G 1212 1122 22 xxyy x yExyF 所组成的图形面积是 A6B2 C6 5D7 6正方形纸片 ABCD沿对角线 AC 对折使 D 在面 ABC 外这时 DB 与面 ABC 所成的角 一定不等于 A30B45C60D90 二填空题每小题 9 分共 54 分 1已知 24 则 sinsinsinsin cos4 cos3cos3 cos2cos2 coscos 的值等于 2 111 1 121231232004 3在 RtABC 中ABAC以 C 为一个焦点作一个椭圆使这个椭圆的另一个焦点在 AB 内且椭圆过 AB 点则这个椭圆的离心率等于 4 1 2 3 20 中选出三个数使得没有两个数相邻有 种不同的选法 5b 均为正数且存在复数 z 满足 i 1 zz zab z 则 ab 的最大值等于 6使不等式 87 1513 n nk 五20 分 n 为正整数r0 为实数证明方程 xn 1 rxn rn 1 0 没有模为 r 的复数根 第二试 一50 分 设 C I 是以ABC 的内心 I 为圆心的一个圆点 DEF 分别是从 I 出发垂直于边 BCCA 和 AB 的直线 C I 的交点 求证ADBE 和 CF 三线共点 二50 分 非负实数 xyz 满足 x2 y2 z2 1 求证1 111 xyz yzzxxy 2 三50 分 对由 n 个 An 个 B 和 n 个 C 排成的行在其下面重新定义一行比上面一行少一个字母 若其头上的两个字母不同则在该位置写上第三个字母若相同则写上该字母对新得到 的行重复上面的操作直到变为一个字母为止下面给出了 n 2 的一个例子 A C B C B A B A A A C C A A B B A C C B A 求所有的正整数 n使得对任意的初始排列经上述操作后所得的大三角形的三个顶点上 的字母要么全相同要么两两不同 参考答案 第一试 一选择题 1A2B3D4A5D6D 二填空题 1 3 3 2 4008 2005 363 48165 1 8 6112 三最大值276 5 最小值273 10 四证略 五证略 第二试 一证略 二证略 三n 1 橙子奥数工作室 教学档案 非卖品 全国高中数学联赛模拟试题八 选题人李潜 第一试 一选择题每小题 6 分共 36 分 1设 logab 是一个整数且 2 1 logloglog aab ba b 给出下列四个结论 2 1 ba b logab logba 00ab1ab 1 0 其中正确结论的个数是 A1B2C3 D4 2若ABC 的三边长 abc 满足 2 220 2230 aabc abc 则它的最大内角度数是 A150B120C90D60 3定长为 l 2 2b l a 的线段 AB 的两端点都在双曲线 22 22 1 xy ab a0b0则 AB 中点 M 的横坐标的最小值为 A 22 2 al ab B 22 2 al ab C 22 2 2 a la ab D 22 2 2 a la ab 4在复平面上曲线 z4 z 1 与圆 z 1 的交点个数为 A0B1C2 D3 5 设 E x y 0 x2 0y2 F x y x10 y2 yx 4 是直角坐标平面上的两个点集 则集合 G 1212 1122 22 xxyy x yExyF 所组成的图形面积是 A6B2 C6 5D7 6正方形纸片 ABCD沿对角线 AC 对折使 D 在面 ABC 外这时 DB 与面 ABC 所成的角 一定不等于 A30B45C60D90 二填空题每小题 9 分共 54 分 1已知 24 则 sinsinsinsin cos4 cos3cos3 cos2cos2 coscos 的值等于 2 111 1 121231232004 3在 RtABC 中ABAC以 C 为一个焦点作一个椭圆使这个椭圆的另一个焦点在 AB 内且椭圆过 AB 点则这个椭圆的离心率等于 4 1 2 3 20 中选出三个数使得没有两个数相邻有 种不同的选法 5b 均为正数且存在复数 z 满足 i 1 zz zab z 则 ab 的最大值等于 6使不等式 87 1513 n nk 五20 分 n 为正整数r0 为实数证明方程 xn 1 rxn rn 1 0 没有模为 r 的复数根 第二试 一50 分 设 C I 是以ABC 的内心 I 为圆心的一个圆点 DEF 分别是从 I 出发垂直于边 BCCA 和 AB 的直线 C I 的交点 求证ADBE 和 CF 三线共点 二50 分 非负实数 xyz 满足 x2 y2 z2 1 求证1 111 xyz yzzxxy 2 三50 分 对由 n 个 An 个 B 和 n 个 C 排成的行在其下面重新定义一行比上面一行少一个字母 若其头上的两个字母不同则在该位置写上第三个字母若相同则写上该字母对新得到 的行重复上面的操作直到变为一个字母为止下面给出了 n 2 的一个例子 A C B C B A B A A A C C A A B B A C C B A 求所有的正整数 n使得对任意的初始排列经上述操作后所得的大三角形的三个顶点上 的字母要么全相同要么两两不同 参考答案 第一试 一选择题 1A2B3D4A5D6D 二填空题 1 3 3 2 4008 2005 363 48165 1 8 6112 三最大值276 5 最小值273 10 四证略 五证略 第二试 一证略 二证略 三n 1 橙子奥数工作室 教学档案 非卖品 全国高中数学联赛模拟试题九 命题人葛军 第一试 一选择题每小题 6 分共 36 分 1已知 ns 是整数若不论 n 是什么整数方程 x2 8nx 7s 0 没有整数解则所有这样的 数 s 的集合是 A奇数集 B所有形如 6k 1 的数集 C偶数集 D所有形如 4k 3 的数集 2某个货场有 1997 辆车排队等待装货要求第一辆车必须装 9 箱货物每相邻的 4 辆车装 货总数为 34 箱为满足上述要求至少应该有货物的箱数是 A16966 B16975 C16984 D17009 3非常数数列 ai 满足 22 11 0 iiii aa aa 且 11ii aa i 0 1 2 n对于给定的自然数 na1 an 1 1则 1 0 n i i a 等于 A2 B 1 C1 D0 4 已知 是方程 ax2 bx c 0 a b c 为实数 的两根 且 是虚数 2 是实数 则 5985 1 k k 的值是 A1 B2 C0 D3i 5已知 a b c abc 222222 111111bcacab A bcacab 则 A 的值是 A3 B 3 C4 D 4 6 对 xi 1 2 n i 1 2 n 有 1 1 2 n i i n n x x1x2xn n使 x1 x2 xn一定是 1 2 n 的一个排列的最大数 n 是 A4 B6 C8 D9 二填空题每小题 9 分共 54 分 1设点 P 是凸多边形 A1A2An内一点点 P 到直线 A1A2的距离为 h1到直线 A2A3的距离 为h2到直线An 1An的距离为hn 1到直线AnA1的距离为hn若存在点P使 12 12 n n aaa hhh ai AiAi 1i 1 2 n 1an AnA1取得最小值则此凸多边形一定符合条件 2已知 a 为自然数存在一个以 a 为首项系数的二次整数系数的多项式它有两个小于 1 的不同正根那么a 的最小值是 3已知 2 2 2 sin2 2 cos2 aa F a aa a Ra0那么对于任意的 a F a 的最 大值和最小值分别是 4已知 t0关于 x 的方程为 2 2xtx 则这个方程有相异实根的个数情况是 5已知集合 1 2 3 3n 1 3n 可以分为 n 个互不相交的三元组 x y z 其中 x y 3z则 满足上述要求的两个最小的正整数 n 是 6任给一个自然数 k一定存在整数 n使得 xn x 1 被 xk x 1 整除则这样的有序实数对 nk 是对于给定的 k 三20 分 过正方体的某条对角线的截面面积为 S试求 S S 最大 最小 之值 四20 分 数列 an 定义如下a1 3an 1 3 n a n2试求 ann2的末位数 五20 分 已知 abcR 且 a b c 1 证明 13 27 a2 b2 c2 4abc1 第二试 一50 分 已知ABC 中内心为 I外接圆为O点 B 关于O 的对径点为 K在 AB 的延长线上 取点 NCB 的延长线上取 M使得 MC NA ss 为ABC 的半周长证明IKMN 二50 分 M 是平面上所有点 x y 的集合其中 xy 均是整数且 1x121y13证明不少 于 49 个点的 M 的每一个子集必包含一个矩形的 4 个顶点且此矩形的边平行于坐标轴 三50 分 实系数多项式 f x x3 ax2 bx c 满足 b0ab 9c试判别此多项式是否有三个不同的实根 说明理由 参考答案 第一试 一选择题 1C2B3D4C5C6C 二填空题 1该凸多边形存在内切圆 25 323 23 49 558 6 kk 或 3m 22 mN 三 2 3 3 四7 五证略 第二试 一证略 二证略 三有 橙子奥数工作室 教学档案 非卖品 全国高中数学联赛模拟试题九 命题人葛军 第一试 一选择题每小题 6 分共 36 分 1已知 ns 是整数若不论 n 是什么整数方程 x2 8nx 7s 0 没有整数解则所有这样的 数 s 的集合是 A奇数集 B所有形如 6k 1 的数集 C偶数集 D所有形如 4k 3 的数集 2某个货场有 1997 辆车排队等待装货要求第一辆车必须装 9 箱货物每相邻的 4 辆车装 货总数为 34 箱为满足上述要求至少应该有货物的箱数是 A16966 B16975 C16984 D17009 3非常数数列 ai 满足 22 11 0 iiii aa aa 且 11ii aa i 0 1 2 n对于给定的自然数 na1 an 1 1则 1 0 n i i a 等于 A2 B 1 C1 D0 4 已知 是方程 ax2 bx c 0 a b c 为实数 的两根 且 是虚数 2 是实数 则 5985 1 k k 的值是 A1 B2 C0 D3i 5已知 a b c abc 222222 111111bcacab A bcacab 则 A 的值是 A3 B 3 C4 D 4 6 对 xi 1 2 n i 1 2 n 有 1 1 2 n i i n n x x1x2xn n使 x1 x2 xn一定是 1 2 n 的一个排列的最大数 n 是 A4 B6 C8 D9 二填空题每小题 9 分共 54 分 1设点 P 是凸多边形 A1A2An内一点点 P 到直线 A1A2的距离为 h1到直线 A2A3的距离 为h2到直线An 1An的距离为hn 1到直线AnA1的距离为hn若存在点P使 12 12 n n aaa hhh ai AiAi 1i 1 2 n 1an AnA1取得最小值则此凸多边形一定符合条件 2已知 a 为自然数存在一个以 a 为首项系数的二次整数系数的多项式它有两个小于 1 的不同正根那么a 的最小值是 3已知 2 2 2 sin2 2 cos2 aa F a aa a Ra0那么对于任意的 a F a 的最 大值和最小值分别是 4已知 t0关于 x 的方程为 2 2xtx 则这个方程有相异实根的个数情况是 5已知集合 1 2 3 3n 1 3n 可以分为 n 个互不相交的三元组 x y z 其中 x y 3z则 满足上述要求的两个最小的正整数 n 是 6任给一个自然数 k一定存在整数 n使得 xn x 1 被 xk x 1 整除则这样的有序实数对 nk 是对于给定的 k 三20 分 过正方体的某条对角线的截面面积为 S试求 S S 最大 最小 之值 四20 分 数列 an 定义如下a1 3an 1 3 n a n2试求 ann2的末位数 五20 分 已知 abcR 且 a b c 1 证明 13 27 a2 b2 c2 4abc1 第二试 一50 分 已知ABC 中内心为 I外接圆为O点 B 关于O 的对径点为 K在 AB 的延长线上 取点 NCB 的延长线上取 M使得 MC NA ss 为ABC 的半周长证明IKMN 二50 分 M 是平面上所有点 x y 的集合其中 xy 均是整数且 1x121y13证明不少 于 49 个点的 M 的每一个子集必包含一个矩形的 4 个顶点且此矩形的边平行于坐标轴 三50 分 实系数多项式 f x x3 ax2 bx c 满足 b0ab 9c试判别此多项式是否有三个不同的实根 说明理由 参考答案 第一试 一选择题 1C2B3D4C5C6C 二填空题 1该凸多边形存在内切圆 25 323 23 49 558 6 kk 或 3m 22 mN 三 2 3 3 四7 五证略 第二试 一证略 二证略 三有 橙子奥数工作室 教学档案 非卖品 全国高中数学联赛模拟试题十 命题人杨建忠 第一试 一选择题每小题 6 分共 36 分 1设集合 M 2 0 1 N 1 2 3 4 5 映射 fMN 使对任意的 xM都有 x f x xf x 是奇数则这样的映射 f 的个数是 A45 B27 C15 D11 2已知 sin2 acos2 b0 4 给出tan 4 值的五个答案 1 b a 1 a b 1b a 1a b 1 1 ab ab 其中正确的是 A B C D 3若干个棱长为 235 的长方体依相同方向拼成棱长为 90 的正方体则正方体的一条 对角线贯穿的小长方体的个数是 A64 B66 C68 D70 4递增数列 1 3 4 9 10 12 13 由一些正整数组成它们或者是 3 的幂或者是若干个 3 的幂之和则此数列的第 100 项为 A729 B972 C243 D981 5 15941 CCCC m nnnn 其中 1 4 n m x 表示不超过 x 的最大整数的值为 A2 cos 4 n n B2 sin 4 n n C 1 1 22 cos 24 nn n D 1 1 22 sin 24 nn n 6一个五位的自然数abcde称为凸数当且仅当它满足 abccde如 12430 13531 等则在所有的五位数中凸数的个数是 A8568 B2142 C2139 D1134 二填空题每小题 9 分共 54 分 1过椭圆 22 1 32 xy 上任意一点 P作椭圆的右准线的垂线 PHH 为垂足并延长 PH 到 Q使得 HQ PH 1当点 P 在椭圆上运动时点 Q 的轨迹的离心率的取值范围是 2已知异面直线 ab 所成的角为 60过空间一点 P 作与 ab 都成角 0 90 的直线 l则这样的直线 l 的条数是 f 3不等式 2 2 4 29 112 x x x 的解集为 4设复数 z 满足条件 z i 1且 z0z2i又复数 使得 2i 2i z z 为实数则复数 2 的辐角主值的取值范围是 5设 a1 a2 a2002均为正实数且 122002 1111 2222aaa 则 a1a2a2002的最小 值是 6在一个由十进制数字组成的数码中如果它含有偶数个数字 8则称它为优选数码 如 12883787480889 等否则称它为非优选数码如 2348756958288 等则长 度不超过 nn 为自然数的所有优选数码的个数之和为 三20 分 已知数列 an 是首项为 2公比为 1 2 的等比数列且前 n 项和为 Sn 1用 Sn表示 Sn 1 2是否存在自然数 c 和 k使得 1k k Sc Sc 2 成立 四20 分 设异面直线 ab 成 60角它们的公垂线段为 EF且 EF 2线段 AB 的长为 4两端点 AB 分别在 ab 上移动求线段 AB 中点 P 的轨迹方程 五20 分 已知定义在 R 上的函数 f x 满足 i对于任意 abR 有 f ab f a f b ii当 x1 时f x 0 iiif 3 1 现有两个集合 AB其中集合 A pq f p2 1 f 5q 20pqR 集合 B pq f p q 1 2 0pqR 试问是否存在 pq使AB 说明理由 第二试 一50 分 如图AMAN 是O 的切线MN 是切点L 是劣弧 MN 上异于 MN 的点过点 A 平行于 MN 的直线分别交 ML NL 于点 QP若 2 3 OPOQ SS 求证POQ 60 二50 分 已知数列 a1 20a2 30an 2 3an 1 ann1求所有的正 整数 n使得 1 5anan 1是完全平方数 三50 分 设 M 为坐标平面上坐标为 p2002 7p2002 的点其中 p 为素数求满足下列条件的直角 三角形的个数 1三角形的三个顶点都是整点而且 M 是直角顶点 2三角形的内心是坐标原点 Q P A O M N L 参考答案 第一试 一选择题 1A2C3B4D5D6B 二填空题 1 3 1 3 2 0 030 1 30 2 3060 3 60 4 090 f 3 145 00 28 4 4 arctan 3 5400220026 11 1 108142 29763 nn 三1 1 1 2 2 nn SS 2不存在 四 2 2 1 9 x y 五不存在 第二试 一证略 二n 3 三p2 7 11 13 时324 个p 2 时162 个p 7 11 13 时180 个 橙子奥数工作室 教学档案 非卖品 全国高中数学联赛模拟试题十 命题人杨建忠 第一试 一选择题每小题 6 分共 36 分 1设集合 M 2 0 1 N 1 2 3 4 5