【五年经典推荐 全程方略】高三数学 专项精析精炼 考点41 直线与圆锥曲线的位置关系 .doc

考点41 直线与圆锥曲线的位置关系一、选择题1.（2011浙江高考理科8）已知椭圆（0）与双曲线有公共的焦点，的一条渐近线与以 的长轴为直径的圆相交于两点，若 恰好将线段三等分，则（ ） （a） （b）13 （c） （d）2【精讲精析】c2的一条渐近线为,设该渐近线与椭圆（0）的交点分别为,则,即,又由在上,所以有,又由椭圆（0）与双曲线有公共的焦点可得,由解得,故选c.二、解答题2.（2011福建卷理科17）已知直线：y=x+m，mr.（i）若以点m（2,0）为圆心的圆与直线相切于点p，且点p在y轴上，求该圆的方程；（）若直线关于x轴对称的直线为，问直线与抛物线c：x2=4y是否相切？说明理由.【思路点拨】（i）由题意画出图形，结合图形求出圆的半径，然后写出圆的标准方程；（）由的方程求得的方程，将的方程与抛物线c的方程联立，得一元二次方程，然后依据对应判别式的正负，来判定两者能否相切.【精讲精析】方法一：（i）依题意，点的坐标为.因为所以解得，即点坐标为.从而圆的半径故所求圆的方程为.()因为直线的方程为，所以直线的方程为.由得.当，即时，直线与抛物线c相切；当，即时，直线与抛物线c不相切.综上，当时，直线与抛物线相切；当时，直线与抛物线c不相切.方法二：（i）设所求圆的半径为，则圆的方程可设为.依题意，所求圆与直线相切于点，则解得所以所求圆的方程为.（ii）同方法一.3. （2011福建卷文科18）如图，直线l：y=x+b与抛物线c：x2=4y相切于点a.（1）求实数b的值；（2）求以点a为圆心，且与抛物线c的准线相切的圆的方程.【思路点拨】（1）直线与抛物线方程联立，然后根据相切即判别式，解之得b的值；（2）求出a点坐标，找出圆心和半径，写出圆的标准方程即可.【精讲精析】(1)由得. 因为直线与抛物线c相切，所以，解得.(2)由（1）可知，故方程即为，解得.将其代入，得故点a（2,1）.因为圆a与抛物线c的准线相切，所以圆a的半径等于圆心a到抛物线的准线的距离，即，所以圆a的方程为4.（2011江苏高考18）如图，在平面直角坐标系中，m，n分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于p，a两点，其中p在第一象限，过p作x轴的垂线，垂足为c，连接ac，并延长交椭圆于点b，设直线pa的斜率为k.（1）当直线pa平分线段mn时，求k的值；（2）当k=2时，求点p到直线ab的距离d；（3）对任意k0，求证：papb. 【思路点拨】本题考查的是直线与椭圆的位置关系，解决本题的关键是正确的联立方程结合已知进行转化求解.【精讲精析】（1）由题意知，故,所以线段mn的中点的坐标为，由于直线pa平分线段mn，故直线pa过线段mn的中点，又直线pa过坐标原点，所以.（2）直线pa的方程为，代入椭圆方程得，解得，因此,于是,直线ac的斜率为，所以直线ab的方程为，因此.（3）解法一：将直线pa的方程代入，解得，记，则，于是故直线ab的斜率为，直线ab的方程为，代入椭圆方程得，解得或，因此，于是直线pb的斜率为，因此，所以.解法二：设，则，.设直线pb，ab的斜率分别为.因为c在直线ab上，所以 ，从而 ，因此，所以.5.（2011北京高考理科t19）已知椭圆，过点作圆的切线交椭圆于a,b两点.（）求椭圆g的焦点坐标和离心率；（）将|ab|表示为m的函数，并求|ab|的最大值.【思路点拨】（）根据标准方程可求出焦点坐标及离心率；（）先讨论切线斜率不存在的两种情况，当斜率存在时，联立切线方程与椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式可表示出|ab|，再求|ab|的最大值.【精讲精析】（）由已知得，所以，所以椭圆g的焦点坐标为，离心率为.（）由题意知，.当m=1时，切线的方程为x=1，点a,b的坐标分别为，此时；当m=-1时，同理可得；当|m|1时，设切线的方程为.由得.设a,b两点的坐标分别为.又由与圆相切，得，即.所以.由于当时，当且仅当时，.所以|ab|的最大值为2.6.（2011北京高考文科t19）已知椭圆的离心率为，右焦点为，斜率为1的直线与椭圆g交于a,b两点，以ab为底边作等腰三角形，顶点为.（）求椭圆g的方程；（）求的面积. 【思路点拨】（）利用a,b,c的关系及离心率求出a,b，代入标准方程；（）联立直线方程与椭圆方程，然后利用根与系数的关系，设而不求，整体代入.【精讲精析】（）由已知得，解得.又，所以椭圆g的方程为.（ii）设直线的方程为，由得，.设a,b的坐标分别为，ab中点为，则.因为ab是等腰的底边，所以.所以pe的斜率，解得.此时方程为，解得，所以.所以.此时，点到直线ab：的距离，所以的面积.7.（2011江西高考理科20）是双曲线e：上一点，m，n分别是双曲线e的左、右顶点，直线pm，pn的斜率之积为.（1）求双曲线的离心率；（2）过双曲线e的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于a，b两点，o为坐标原点，c为双曲线上一点，满足，求的值.【思路点拨】（1）表示出直线pm，pn的斜率，根据直线pm，pn的斜率之积为，得，进而求得离心率.（2）首先根据直线与双曲线的位置关系结合，将c点坐标用a,b两点坐标表示，再将c点坐标代入双曲线方程，即得的关系式，从而求得的值.【精讲精析】8.（2011江西高考文科19）已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于（）两点，且（1）求该抛物线的方程；（2）为坐标原点，为抛物线上一点，若，求的值【思路点拨】（1）首先将直线方程与抛物线方程联立，可得，再结合抛物线的定义可求出p的值.（2）结合第一问所求，解出a,b坐标，结合条件式解出c点的坐标，将其代入抛物线方程可得的值.【精讲精析】（1）直线ab的方程是 所以，由抛物线定义得：，所以p=4，从而抛物线方程是.（2） 由p=4，化简得，又x1x2,从而,从而a(1,),b(4,).设=，又因为，即8（4），即，解得.9.（2011陕西高考文科t17）设椭圆: 过点（0，4），离心率为（）求的方程；（）求过点（3，0）且斜率为的直线被所截线段的中点坐标【思路点拨】（）由椭圆过已知点和椭圆离心率可以列出方程组，解方程组即可，也可以分步求解；（）直线方程和椭圆方程组成方程组，可以求解，也可以利用根与系数关系，然后利用中点坐标公式求解【精讲精析】（）将点（0，4）代入的方程得,b=4,又 得，即，的方程为（）过点且斜率为的直线方程为，设直线与的交点为a，b，将直线方程代入的方程，得，即，解得，ab的中点坐标，即所截线段的中点坐标为10.（2011浙江高考理科21）已知抛物线，圆的圆心为点m（）求点m到抛物线的准线的距离；（）已知点p是抛物线上一点（异于原点），过点p作圆的两条切线，交抛物线于a，b两点，若过m，p两点的直线垂直于ab，求直线的方程.【思路点拨】（）利用抛物线的几何性质可直接解决；（）考查直线与抛物线、圆的位置关系等基础知识，利用“过m，p两点的直线垂直于ab”这一几何条件建立关系式即可解出【精讲精析】（）解：由题意可知，抛物线的准线方程为：所以圆心m（0,4）到准线的距离是（）解：设p(x0, x02)，a（）,b（），由题意得,设过点p的圆c2的切线方程为y-x02=k(x- x0)， 即， 则， 即 设pa，pb的斜率分别为，则是上述方程的两根，所以 ，将代入得，由于是此方程的根，故所以而.由mpab,得，解得即点p的坐标为，所以直线的方程为.11.（2011浙江高考文科22）如图，设p是抛物线上的动点，过点做圆：的两条切线，交直线：于两点.（）求的圆心到抛物线 准线的距离；（）是否存在点，使线段被抛物线在点处的切线平分，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.【思路点拨】（）题利用抛物线的几何性质可直接求解；（）写出三切线方程，求出及抛物线在点处的切线与交点的坐标即可找出关于点坐标的关系【精讲精析】（）由题意可知，抛物线c1的准线方程为：所以圆心m到抛物线c1准线的距离为(）设点p的坐标为()，抛物线c1在点