九年级数学下册 24.6 正多边形与圆课件 （新版）沪科版.ppt

24 6正多边形与圆 情境导入 在七年级上册4 6节 用尺规作线段与角 的数学活动中 曾介绍过画正五角星 你还记得是怎么画的吗 下面就来研究这样画的道理 1 正多边形的定义 各边相等 各角也相等的多边形叫做正多边形 如果一个正多边形有n条边 那么这个正多边形叫做正n边形 正多边形与圆有非常密切的关系 把一个圆分成n条相等的弧 就可以作出这个圆的内接或外切正n边形 情境导入 如图24 56 点a b c d e把圆分成5等份 求证 依次连接各分点所得的五边形是这个圆的内接正五边形 经过各分点作圆的切线 以相邻切线的交点为顶点的五边形是这个圆的外切正五边形 图24 56 知识精讲 证明 1 ab bc cd de ea ab bc cd de ea bce cda 3ab 1 2 同理 2 3 4 5 又 顶点a b c d e都在 o上 五边形abcde是 o的内接正五边形 知识精讲 2 连接oa ob oc 则 oab oba obc ocb tp pq qr分别是以a b c为切点的 o的切线 oap obp obq ocq pab pba qbc qcb 知识精讲 又 ab bc ab bc pab与 qbc是全等的等腰三角形 p q pq 2pa 同理 q r s t qr rs st tp 2pa 五边形pqrst的各边都与 o相切 五边形pqrst是 o的外切正五边形 由上可知 通过等分圆周的方法能作出正多边形 知识精讲 1 用量角器等分圆周 由在同圆中相等的弦所对的弧相等可知 在同一个圆中 先用量角器作一个等于360 n的圆心角 这个角所对的弧就是圆周的1 n 然后在在圆周上一次截取这条弧的等弧 就得到圆的n等份点 从而作出正n边形 正五角星就是这样作出的 2 用尺规等分圆周 对于一些特殊的正n边形 还可以用直尺和圆规等分圆周 知识精讲 正四边形的作法如图24 57 1 用直尺和圆规作 o的两条互相垂直的直径 就可以把 o分成四等份 从而作出正四边形 我们再逐次平分各边所对的弧 就可以作出正八边形图24 57 2 正十六边形 如图24 58 1 设 o的半径为r 通常先作出 o的一条直径ab 然后分别以点a b为圆心 r为半径作弧 与 o交于点c d e f 从而得到 o的6等份点 作出正六边形 如果再逐次等分各边所对的弧 就可作出正十二边形 正二十四边形等 我们可以连续6等份圆周的相间的两个点 得到正三角形 如图24 58 2 正六边形的作法 知识精讲 知识精讲 如何画一个边长为2cm的正六边形 探究 o a b c d e f 1 以2cm为半径作一个 o 2 用量角器画一个60 的圆心角 3 在圆上顺次截取这个圆心角对的弧 4 顺次连接分点 即为所求作的正六边形 知识精讲 将一个圆n等份 就可以作出这个圆的内接或外切正n边形 反过来 是不是每个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆呢 我们仍然以正五边形为例来进行探究 2 正多边形的性质 如图24 59 过正五边形abcde的顶点a b c作 o 连接oa ob oc od oe ob oc 1 2 又 abc bcd 3 4 ab dc oab odc oa od 即点d在 o上同理 点e在 o上 所以正五边形abcde有一个外接圆 o 由于正五边形abcde的各边是 o中相等的弦 所以弦心距相等 因此 以点o为圆心 以弦心距 oh 为半径的圆与正五边形的各边都相切 所以正五边形abcde还有一个以o为圆心的内切圆 知识精讲 1 正五边形的任意三个顶点都不在同一条直线上 2 它的任意三个顶点确定一个圆 即确定了圆心和半径 3 其他两个顶点到圆心的距离都等于半径 4 正五边形的各顶点共圆 5 正五边形有外接圆 6 圆心到各边的距离相等 7 正五边形有内切圆 它的圆心是外接圆的圆心 半径是圆心到任意一边的距离 8 照此法证明 正六边形 正七边形 正n边形都有一个外接圆和内切圆 定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆 这两个圆是同心圆 归纳 知识精讲 知识精讲 我们把一个正多边形的外接圆 或内切圆 的圆心叫做正多边形的中心 外接圆的半径叫做正多边形的半径 内切圆的半径叫做正多边形的边心距 正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等 正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角 正n边形的每个中心角都等于360 n 正多边形都是轴对称图形 一个正n边形一共有n条对称轴 每一条对称轴都通过正多边形的中心 如图24 60 图24 60 知识精讲 如果一个正多边形有偶数条边 那么它又是中心对称图形 它的中心就是对称中心 例求边长为a的正六边形的周长和面积 合作与交流 解如图24 61 过正六边形的中心o作og bc于g 连接ob oc设该正六边形的周长和面积分别为c和s 图24 61 多边形abcdef是正六边形 boc 60 boc是等边三角形 c 6bc 6a 在 boc中 有 巩固提高 1 正方形abcd的外接圆圆心o叫做正方形abcd的 2 正方形abcd的内切圆 o的半径oe叫做正方形abcd的 3 若正六边形的边长为1 那么正六边形的中心角是 度 半径是 边心距是 它的每一个内角是 4 正n边形的一个外角度数与它的 角的度数相等 1 正n边形的一个内角的度数是 中心角是 正多边形的中心角与外角的大小关系是 相等 3 正方形ab