四川省成都市高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.1 椭圆及其标准方程（1）课件 新人教A版选修21.ppt_第1页
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2 2 1椭圆及其标准方程 1 数学实验 1 取一条细绳 2 把它的两端固定在板上的两点f1 f2 3 用铅笔尖 m 把细绳拉紧 在板上慢慢移动看看画出的图形 f1 f2 m 观察作图过程 1 绳长应当大于f1 f2之间的距离 2 由于绳长固定 所以m到两个定点的距离和为定值 在这一过程中 你能说出移动笔尖 动点 满足的几何条件吗 1 椭圆的定义 平面内与两个定点f1 f2的距离的和等于常数 大于 f1f2 的点的轨迹叫椭圆 f1 f2 m 这两个定点f1 f2叫做椭圆的焦点 两焦点之间的距离叫做椭圆的焦距 满足几个条件的动点的轨迹是椭圆 1 平面内 这是前提 2 动点m到两个定点f1 f2的距离之和是常数2a 3 常数2a要大于焦距2c f1 f2 m 动点m的轨迹是线段f1f2 动点m没有轨迹 下面我们根据椭圆的几何特征 选择适当的坐标系 建立椭圆方程 并通过方程研究椭圆的性质 取过焦点f1 f2的直线为x轴 线段f1f2的垂直平分线为y轴 建立直角坐标系 设m x y 是椭圆上任一点 椭圆的焦距为2c c 0 m与f1 f2的距离的和等于常数2a 则f1 c 0 f2 c 0 由定义知 将方程移项后平方得 两边再平方得 由椭圆定义知 方程形式能否更简单 由上述过程可知 椭圆上任一点的坐标都满足方程 以方程 的 即以方程 的解为坐标的点都在椭圆上 由曲线与方程的关系可知 方程 是椭圆的方程 解 x y 为坐标的点到椭圆两焦点f1 c 0 f2 c 0 的距离之和为2a 这个方程叫做椭圆的标准方程 它所表示的椭圆的焦点在x轴上 焦点是f1 c 0 f2 c 0 这里c2 a2 b2 思考 观察图 你能从中找出表示 的线段吗 由图可知 如果椭圆的焦点在y轴上 用类似的方法 可得出它的方程为 它也是椭圆的标准方程 椭圆的标准方程 注意 1 在两个方程中 总有 2 有关系式 3 在的分母下 焦点在x轴上 在的分母下 焦点在y轴上 或 解 1 由已知可设椭圆的标准方程为 故所求椭圆的标准方程为 2 两个焦点的坐标分别是 0 2 0 2 并且椭圆经过点 2 由已知可设椭圆的标准方程为 解 由椭圆的定义知 故所求椭圆的标准方程为 还有其他方法吗 2 两个焦点的坐标分别是 0 2 0 2 并且椭圆经过点 方法2 可设所求椭圆方程为 椭圆经过点 即 即 故所求椭圆的标准方程为 说明 1 求椭圆标准方程需要两个独立条件 2 求椭圆标准方程的主要方法有 定义法 用定义寻找a b c的方程 待定系数法 设方程 代入计算出待定字母的值 待定系数法更为常用 是解此类问题的通解通法 或 例2 已知b c是两个定点 bc 6 且 abc的周长等于16 求顶点a的轨迹方程 x y o 解 建系如图 由题意 ab ac bc 16 bc 6 有 ab ac 10 由椭圆定义知点a的轨迹是椭圆 且2c 6 2a 10 c 3 a 5 b2 a2 c2 52 32 16 故顶点a的
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