相似三角形.相似形及应用.doc

一、选择题1. （2014山东省莱芜市，10，3分）如图，在ABC中，D、E分别是AB、BC上的点，且DEAC,若1:4,则( )( 第10题图 )A. 1:16 B. 1:18 C. 1:20 D. 1:24【答案】C2. （2014广东省广州市，10，3分）如图3，四边形、都是正方形，点在线段上，连接，和相交于点设，（）下列结论：；其中结论正确的个数是（ ）（A）4个 （B）3个 （C）2个 （D）1个【考点】三角形全等、相似三角形【分析】由可证，故正确；延长BG交DE于点H，由可得，（对顶角）=90，故正确；由可得，故不正确；，等于相似比的平方，即，故正确【答案】B 3. （2014河北省，13，3分）在研究相似问题时，甲乙同学的观点如下：对于两人的观点，下列说法正确的是（）A两人都对 B两人都不对 C甲对，乙不对 D甲不对，乙对【答案】C4. （2014贵州省毕节市，12，3分）如图，ABC中，AE交BC于点D，C=E，AD:DE=3：5，AE=8，BD=4，则DC的长等于（ ）A. B. C. D.（第12题图）【答案】A5. （2014湖北省襄阳市，4，3分）下图中几何体的俯视图是（ ）主视方向第4题图【答案】B6.（2014四川省达州市，9，3分）如图，以点O为支点的杠杆，在A端用竖直向上的拉力将重为G的物体匀速拉起，当杠杆OA水平时，拉力为F；当杠杆被拉至OA1时，拉力为F1，过点B/作B1COA，过点A1作A1DOA，垂足分别为点C、D.OB1COA1DOAOC=OBODOCG=ODF1F=F1上述4个结论中，正确结论有 ( ) A1个 B2个 C3个 D4个【答案】D7. （2014湖北省武汉市，6，3分）如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，2）以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C的坐标为（ ）A（3，3） B（4，3） C（3，1） D（4，1）ABOxyCD第6题图【答案】A8. （2014年山东省日照市16，3分）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OABC与矩形OABC关于点O位似，且矩形OABC的面积等于矩形OABC面积的，那么点B的坐标是（）A（2，3）B（2，3）C（3，2）或（2，3）D（2，3）或（2，3）考点：相似多边形的性质；坐标与图形性质菁优网版权所有专题：压轴题分析：由矩形OABC与矩形OABC关于点O位似，且矩形OABC的面积等于矩形OABC面积的，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得矩形OABC与矩形OABC的位似比为1：2，又由点B的坐标为（4，6），即可求得答案解答：解：矩形OABC与矩形OABC关于点O位似，矩形OABC矩形OABC，矩形OABC的面积等于矩形OABC面积的，位似比为：1：2，点B的坐标为（4，6），点B的坐标是：（2，3）或（2，3）故选D点评：此题考查了位似图形的性质此题难度不大，注意位似图形是特殊的相似图形，注意掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方定理的应用，注意数形结合思想的应用9.（2014年山东省日照市17，3分）如图，一次函数y=x+3的图象与x轴，y轴交于A，B两点，与反比例函数的图象相交于C，D两点，分别过C，D两点作y轴，x轴的垂线，垂足为E，F，连接CF，DE有下列四个结论：CEF与DEF的面积相等；AOBFOE；DCECDF；AC=BD其中正确的结论是（）ABCD考点：反比例函数综合题菁优网版权所有专题：压轴题分析：设D（x，），得出F（x，0），根据三角形的面积公式求出DEF的面积，同法求出CEF的面积，即可判断；根据面积相等，推出边EF上的高相等，推出CDEF，即可证出AOBFOE，可判断；算出C、D点坐标，可得到DF=CE，再证出DCE=FDA=45，根据全等三角形的判定判断即可；证出平行四边形BDFE和平行四边形ACEF，可推出BD=AC，判断即可解答：解：设D（x，），则F（x，0），由图象可知x0，DEF的面积是：|x|=2，设C（a，），则E（0，），由图象可知：0，a0，CEF的面积是：|a|=2，CEF的面积=DEF的面积，故正确；CEF和DEF以EF为底，则两三角形EF边上的高相等，故EFCD，FEAB，AOBFOE，故正确；C、D是一次函数y=x+3的图象与反比例函数的图象的交点，x+3=，解得：x=4或1，经检验：x=4或1都是原分式方程的解，D（1，4），C（4，1），DF=4，CE=4，一次函数y=x+3的图象与x轴，y轴交于A，B两点，A（3，0），B（0，3），ABO=BAO=45，DFBO，AOCE，BCE=BAO=45，FDA=OBA=45，DCE=FDA=45，在DCE和CDF中，DCECDF（SAS），故正确；BDEF，DFBE，四边形BDFE是平行四边形，BD=EF，同理EF=AC，AC=BD，故正确；正确的有4个故选C10. （2014浙江省丽水市，10，3分）如图，AB=4，射线BM和AB互相垂直，点D是AB上的一个动点，点E在射线BM上，作EFDE并截取EF=DE，连结AF并延长交射线BM于点C设BE=x，BC=y，则y 与x的函数解析式是（ ）A B C D（第10题)【答案】A11.（2014四川泸州 ，11，3分）如图，在直角梯形ABCD中，DCAB，DAB=90，ACBC，AC=BC，ABC的平分线分别交AD、AC于点E、F，则的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】C12. （2014山东省泰安市，14，3分）如图，ABC中，ACB=90，A=30，AB=16.点P是斜边AB上一点，过点P作PQAB，垂足为P，交边AC（或边CB）于点Q。设AP=x，APQ的面积为y，则y与x之间的函数图象大致为（ ）【答案】B13. （2014四川省内江市，10，3分）如图4，RtABC中，ACB90，AC4，BC6，以斜边AB上的一点O为圆心所作的半圆分别与AC、BC相切于点D、E则AD为( )OBECDA图4A2.5 B1.6 C1.5 D1【答案】B14. （2014重庆B卷，3，4分）如图，ABCDEF，相似比为1:2，若BC1，则EF的长是（ ）A.1B.2C.3D.4【答案】B.15.(2014年山东东营，7，3分) 下列关于位似图形的表述：相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；位似图形一定有位似中心；如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比.其中正确命题的序号是是（）A B C D【答案】A16. . (2014年山东东营，10，3分) 如图，四边形ABCD为菱形，ABBD，点B，C， D，G四个点在同一个圆O上，连接BG并延长文AD于点F，连接DG并延长交AB于点E，BD与CG交于点H，连接FH.下列结论：AEDF；FHAB；DGHBGE；当CG为O的直径时，DFAF. 其中正确结论的个数是（）第10题图ABCDEFHGA.1 B.2 C. D. 【答案】D17.（2014江苏宿迁，8，3分）如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，ABC=90，AB=8，AD=3，BC=4，点P为AB边上一动点，若PAD与PBC是相似三角形，则满足条件的点P个数是（ ）A1个 B2个 C3个 D4个 【答案】C18.（2014浙江省宁波市，8，4分）如图，梯形ABCD中，ADBC，B=ACD=90，AB=2，DC=3，则ABC与DCA的面积比为 （ ）A. 23 B. 25 C. 49 D. (第8题图) 【答案】C19. （2014四川省凉山州，7，4分）如果两个相似多边形面积的比为1：5，则它们的相似比为（ ）A.1：25 B.1：5 C. 1：2.5 D.1：【答案】D20. （2014江苏省南京市，3，2分）若ABCABC，相似比为12，则ABC与ABC的面积的比为A12B21C14D41【答案】C21. （2014江苏省南京市，6，2分）如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（2，1），点C的纵坐标是4，则B、C两点的坐标分别是A（，3），（，4）B（，3），（，4）C（，），（，4）D（，），（，4）【答案】B22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.32.33.34.35.36.37.38.39. 二、填空题1.（2014山东省枣庄市，17,4分）如图，将矩形ABCD沿CE向上折叠，使点B落在AD边上的点F处，若AE=BE，则长AD与宽AE的比值是 【答案】2. （2014贵州省毕节市，20，5分）如图，RtABC中，ABC=90，AB=3，AC=5，点E在BC上，将ABC沿AE折叠，使点B落在AC边上的点B处，则BE的长为_.（第20题图）【答案】.3. （2014湖北荆门 14，3分）如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，相似比为1，点A的坐标为(0，1)，则点E的坐标是 【答案】(，) .xOyABCDEF第14题图4. （2014湖北省咸宁市，16，3分）如图，在ABC中，AB=AC =10，点D是边BC上一动点(第16题)ABCED（不与B，C重合），ADE=B =，DE交AC于点E，且下列结论：ADEACD；当BD=6时，ABD与DCE全等；DCE为直角三角形时，BD为8或；其中正确的结论是 （把你认为正确结论的序号都填上）【答案】5. （2014湖南省娄底市，17，3分）如图5，小明用长为3m的竹竿CD作测量工具，测量学校旗杆AB 的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好在地面的同一点O，此时O点与竹竿的距离CO=6m，竹竿与旗杆的距离DB=12M，则旗杆AB 的高为 m。【答案】96.（2014贵州省遵义市，17，4分）“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自九章算术.意思是说：如图，矩形城池ABCD，东边城墙AB长9里，南边城墙AD长7里，东门点E、南门点F分别是AB、AD中点，EGAB,FHAD,EG=15里，HG经过A点，则FH= 里.(第17题图)BACDEFHG【答案】7. （2014山东滨州 15，4分）如图，平行于BC的直线DE把ABC分成的两部分面积相等。则【答案】8. （2014山东省荷泽市，13，3分）如图所示，在ABO中，AOB90，点A在第一象限，点B在第四象限，且AOBO1若点A（，）的坐标满足，则点B（，）的坐标，所满足的关系式为第13题【答案】9. （2014四川宜宾 ，14，3分）如图，在RtABC中，B=90，AB=3，BC=4，将ABC折叠，使点B恰好落在斜边AC上，与点B重合，AE为折痕，则EB= .【答案】10. （2014山东省泰安市，23，4分）如图，AB是半圆的直径，点O为圆心，OA=5，弦AC=8，ODAC，垂足为E，交O于D，连接BE，设BEC=，则sin的值为。【答案】11. （2014浙江省绍兴市，16，5分）把标准纸一次又一次对开，可以得到均相似的“开纸”现在我们在长为、宽为1的矩形纸片中，画两个小矩形，使这两个小矩形的每条边都与原矩形的边平行，或小矩形的边在原矩形纸的边上，且每个小矩形均与原矩形纸相似，然后将它们剪下，则所剪得的两个小矩形纸片周长之和的最大值是_ 【答案】12.（2014湖南邵阳市，14，3分）如图（七），在ABCD中，F是BC上的一点，直线DF与AB的延长线相交于点E，BPDF，且与AD相交于点P，请从图中找出一组相似的三角形 .【答案】答案不唯一，如：DCFEBF13. （2014湖南省长沙市，第16题，3分）如图，在ABC中，DE/BC，,ADE的面积是8，则ABC的面积为 .【答案】1814.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.32.33.34.35.36.37.38.39. 三、解答题1. （2014山东省枣庄市，23,8分）如图，A为O外一点，AB切O于点B，AO交O于C，CDOB于E，交O于点D，连接OD，若AB=12，AC=8.（1）求OD的长；（2）求CD的长.【答案】（1）AB切O于点B，ABOB，OBA是直角三角形，又AB=12，AC=8，由勾股定理得：OB2+AB2=OA2，即OD2+122=(OD+8)2，解得：OD=5（2）CDOB，ABOB，ECAB，即，EC=又CDOB，CD=2EC=2. （2014湖北省襄阳市，25，5分）如图，A，P，B，C是O上的四点，APC=BPC=60，过点A作O的切线交BP的延长线于点D（1）求证：ADPBDA；（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；（3）若AD=2，PD=1，求线段BC的长ABCDPO第25题图【答案】解：（1）证明：作O的直径AE，AE是O的直径，AD是O的切线，DAE=APE=90，PAD+PAE=PAE+E=90，PAD =EPBA=E，PAD =PBAPAD =PBA，ADP =BDAADPBDAABCDEFPO25题答图（2）PA+PB=PC证明：在线段PC上截取PF=PB，连接BF，PF=PB，BPC=60，PBF是等边三角形，PB=PF，BFP=60，BFC=180PFB=120BPA=APC+BPC=120，BPA=BFC在BPA和BFC中，PAB=FCB，BPA=BFC，PB=BF，BPABFC，PA=FC，AB=BC，PA+PB=FC+PF=PC（3）ADPBDA，AD=2，PD=1，BD=4，AB=2AP，BP=BDDP=3APD=180BPA=60，APD=APCPAD =E，PCA =E，PAD =PCA，ADPCAP，AP2=PCPDAP2=(3+AP)1，解得AP=或AP=(负值舍去)，BC=AB=2AP=1+3. （2014山东潍坊，22，12分）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，连接AE、BF，交点为G（1）求证：AEBF；（2）将BCF沿BF对折，得到BPF（如图2），延长FP交BA的延长线于点Q，求sinBQP的值；（3）将ABE绕点A逆时针方向旋转，使边AB正好落在AE上，得到AHM（如图3），若AM和BF相交于点N，当正方形ABCD的面积为4时，求四边形GHMN的面积GEADCFB图1EQADCFB图2PGEADCFB图3MGHN【答案】（1）证明：E、F分别是正方形ABCD边BC、CD的中点CF=BE，RtABERtBCF，BAE=CBF，又BAE+BEA=90，BGE=90，AEBF（2）根据题意得:FP=FC，PFB=BFC，FPB=90，CDAB，CFB=ABF，ABF=PFBQF=QB令PF=k（k0），则PB=2k，在RtBPQ中，设QB=x，x2=(xk)2+4k2 ，x=,sinBQP=.（3）因为正方形ABCD的面积为4，所以其边长为2由题意得：BAE=EAM，又AEBF，AN=AB=2，AHM=90，GNHM，SAGN=S四边形GHMN=SAHMSAGN=1=.所以四边形GHMN的面积是.4. (2014年遂宁市，24，10分)已知：如图，O的直径AB垂直于弦CD，过点C的切线与直径AB的延长线相交于点P，连结PD.（1）求证：PD是O的切线；（2）求证：PD=PBPA；（3）若PD=4，tanCDB=，求直径AB的长. 【答案】证明：(1)连结OD、OCPC是O的切线OCPCOCP=90直径ABCDO、P是CD垂直平分线上的点OD=OC，PD=PCOP=OPODPOCPODP=OCP=90PD是O的切线(2) PD是O的切线 PDB=A 又DPB=APD DPBAPD PD:PA=PB:PD PD=PBPA（3） A+ABD=90=CDB+ABDA=CDB又tanCDB=tanA=AD=2BDDPBAPD PD:PA=PB:PD=BD;DA=1;2 又PD=4 PA=8，PB=2 AB=65. （2014湖北省十堰市，24，10分）如图1，AB为半圆的直径，O为圆心，C为圆弧上一点，AD垂直于过点C的切线，垂足为D，AB的延长线交直线CD于点E（1）求证：AC平分DAB；（2）若AB=4，B为OE的中点，CFAB，垂足为点F，求CF的长；（3）如图2，连接OD交AC于点G，若，求sinE的值 【答案】解：（1）连接OC，CD是切线OCDCADDCOCADDAC=CAFOC=OAOCF=OAFOAF=DAFAC平分DAB；（2）OCB=90，OC=OB=BECOF=60OC=2，CFABCF=（3）OCAD ,设CO=3k，则AD=4k，AO=3k，OE=9ksinE=6.（2014四川省达州市，21，8分）如图，直线PQ与O相交于点A、B，BC是O的直径，BD平分CBQ交O于点D，过点D作DEPQ，垂足为E。（1）求证：DE与O相切；（2）连结AD，己知BC=10，BE=2，求sinBAD的值。【答案】（1）证明：连结OD，如图，BD平分CBQ交O于点D，CBD=QBD，OB=OD，OBD=ODB，ODB=QBD，2分ODBQ，3分DEPQ，ODDE， DE与O相切；4分（2）解：BC是O的直径，BDC=90，DEAB，BED=90，CBD=QBD，5分RtBCDBDE，即BD2=20，BD=2， 6分在RtBCD中，sinC=，BAD=C，sinBAD=8分7. （2014山东淄博23，9分）如图，四边形ABCD中，ACBD交BD于点E，点F，M分别是AB，BC的中点，BN平分ABE交AM于点N，AB=AC=BD，连接MF，NF（1）判断BMN的形状，并证明你的结论；（2）判断MFN与BDC之间的关系，并说明理由【答案】解：（1）BMN是等腰直角三角形证明：AB=AC，点M是BC的中点，AMBC，AM平分BACBN平分ABE，ACBD，MNB=NAB+ABN=（BAE+ABE）=45BMN是等腰直角三角形（2）MFNBDC点F，M分别是AB，BC的中点，FMAC，FM=ACAC=BD，FM=BD，即BMN是等腰直角三角形NM=BM=BC，即AMBC，NMF+FMB=90FMAC，FMBECBD+FMB=90NMF=CBDMFNBDC8. （2014陕西省，20，8分）某一天，小明和小亮来到一河边，想用遮阳帽和皮尺测量这条和的大致宽度，两人在确保无安全隐患的情况下，先在河岸边选择了一点B(点B与河对岸岸边上的一棵树的底部点D所确定的直线垂直于河岸)小明在B点面向树的方向站好，调整帽檐，使视线通过帽檐正好落在树的底部点D处，如图所示，这时小亮测得小明眼睛距离地面的距离AB=17米；小明站在原地转动180后蹲下，并保持原来的观察姿态（除身体重心下移外，其他姿态均不变），这时视线通过帽檐落在了DB延长线上的点E处，此时小亮测得BE=96米，小明的眼睛距地面的距离CB=12米根据以上测量过程及测量数据，请你求出河宽BD是多少米？【答案】解：由题意，知BAD=BCE ABD=ABD=90， BADBCD = = BD=136 河流的宽BD是136米9.（2014陕西省，23，8分） 如图，O的半径为4，B是O外一点，连接OB，且OB=6过点B作O的切线BD，切点为D，延长BO交O于点A，过点A作切线BD的垂线，垂足为C(1) 求证：AD平分BAC;(2) 求AC的长【答案】证明：（1）连接OD BD是O的切线，D为切点， ODBC ACBD， OD/AC 1=3， 1=2 AD平分BAC （2）解：OD/AC， = = ， AC=10. （2014湖北省咸宁市，21，9分）（本题满分9分）如图，已知AB是O的直径，直线CD与O相切于点C，ADCD于点D. (1) 求证： AC平分DAB；(2) 若点为的中点， ，AC=8，求AB和CE的长.ABCDOE（第21题）【答案】：(1)证明:连结OC。 直线CD与O相切于点C OCD=90 ADCD ADC=90 OCD +ADC=180 ADOC DAC =ACO OA =OC OAC =ACO OAC =DAC AC平分DAB21题(1)答图（2）解：连结BC、BE 。 AB是O的直径。 ACB=90 ADCD ADC=90 ADC =ACB 又AC平分DAB （1）已证 DAC =CAB DAC CAB 即： 解之得: AB=10 点为的中点 弧AE =弧BE AE = BE 又AB是O的直径。 AEB=90 即: AEB是等腰直角三角形。 设AE=BE=x ，由勾股定理得 x2 + x2 =102 解之得 ： 经检验：得AE =BE = . 弧AE =弧BE ACE =BCE = ACB =90 = 45。 AEB是等腰直角三角形。 AEC =BEC = 45。 ACE =BCE =AEC =BEC AEC =MEA EMA EAC 即: 化简得： 同理可得：EBM ECB 即: 化简得： AM +BM =AB +=10 第21题(2)答图11. （2014湖南省娄底市，27，10分）如图12甲，在ABC中，ACB=90，AC=4cm，BC=3cm，如果点P由点B出发沿BA的方向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们速度均是1cm/s，连接PQ，设运动时间为t(s)(0t4),解答下列问题： （1）设APQ的面积为S，当t为何值时，S取得最大值？S的最大值是多少？ （2）如图12乙，连接PC，将PQC沿QC翻折，得到四边形PQPC，当四边形PQPC为菱形时，求t的值； （3）当t为何值时，APQ是等腰三角形？【答案】解：（1）由勾股定理得：AB=5；由题意得：BP=AQ=t, AP=5t. 过点P作PDAC于点D，则APDABC 解得PD= 当时，S取得最大值是（2）连接DP PQPC是菱形PP与QC互相垂直平分AE= PE=；AP=5t.由勾股定理得： 解得：，（舍去）（3）APQ是等腰三角形当APAQ时5则当PAPQ时，cosA，则AEAQ5当QAQP时，作QFAD于点F AF（5）（5） 综上所述，当或或时，APQ是等腰三角形12. （2014湖南岳阳，22，8分）如图，矩形ABCD为台球桌面AD=260cm，AB=130cm球目前在E点位置，AE=60cm如果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到D点的位置(1)求证：BEFCDF；(2)求CF的长【答案】解：(1)由题意，得EFG=DFG，EFG+BFE=90，DFG+CFD=90，BFE=CFD，B=C=90，BEFCDF；(2)BEFCDF，CF=16913. （2014年上海市23， 12分）已知：如图，梯形ABCD中，AD/BC，ABDC，对角线AC、BD相交于点F，点E是边BC延长线上一点，且CDEABD（1）求证：四边形ACED是平行四边形；（2）联结AE，交BD于点G，求证：【答案】14. （2014湖北省黄石市，24，9分） 是的中线，将边所在直线绕点顺时针旋转角，交边于点，交射线于点，设， .（1）如图1，当为等边三角形且时证明：；（2）如图2，证明：；AACNDM图1ACNDBMACDBBG图2图3第24题图（3）如图3，当是上任意一点时（点不与重合），过点的直线交边于，交射线于点，设，猜想： 是否成立？并说明理由. 【答案】解：（1）证明：在中，在中， ， （3分）（2）证明：如图甲，作/交于点，则ACNDBM图甲F 又即（3分）ACDBG图乙MN（3）如图乙，过作交于，交的延长线于，则，ACDBG图丙即，由（2）知 如图丙，当过点作交的延长线于，交1于，则同理可得（3分）15. （2014四川省资阳市，第21题，9分）如图，AB是O的直径，过点A作O的切线并在其上取一点C，连结OC交O于点D，BD的延长线交AC于E，连结AD(1)求证：CDECAD；(5分)(2)若AB=2，AC=22，求AE的长(4分)【答案】解：(1)因为AB是O的直径，所以ADB=90，所以ABD+BAD=90又AC是O 的切线，则ABAC， 即BAC=90，所以CAD+BAD=90，所以ABD=CAD因为ABD=BDO=CDE，所以CAD =CDE，又C=C，所以CDECAD；(2)在RtOAD中，OAC=90，所以OA2+AC2=OC2，即12+(22)2=OC2，所以OC=3，则CD=2又由CDECAD，得，即，所以CE=，所以AE=AC-CE=2-=16.(2014年株洲市，23，8分)如图，PQ为圆O的直径，点B在线段PQ的延长线上，OQ=QB=1，动点A在圆O的上半圆运动（含P、Q两点），以线段AB为边向上作等边三角形ABC.（1）当线段AB所在的直线与圆O相切时，求ABC的面积（图1）；（2）设AOB=a，当线段AB与圆O只有一个公共点（即A点）时，求a的范围（图2，直接写出答案）；（3）当线段AB与圆O有两个公共点A、M时，如果AOPM于点N. 求CM的长度（图3）. 【答案】解：(1)当AB与圆O相切时，连结AO，过点C作CDAB于D(图4）OQ=QB=1OA=OQ=1;OB=2AB=ABC是等边三角形AD=;CD=(2) 0a60（3） 连结MQ（图5） PQ是圆O直径PMQ=90又AOPMANM=90ANM=PMQAOMQBQ=QO=1M为AB中点；AO=1；MQ=0.5；NO=0.25AN=0.75；PM=；NM=AM=ABC是等边三角形CMABCM=17. (2014年福建省福州市，21，13分)（满分13分）如图1，点在线段上，为射线，且，动点以每秒2个单位长度的速度从点出发，沿射线做匀速运动，设运动时间为秒.（1）当秒时，则_，_；（2）当是直角三角形时，求的值；（3）如图2，当时，过点作，并使得.求证：.图1 备用图 图2【答案】解：（1）当秒时，则 ，；（2）当是直角三角形时，A不可能是直角.若，如图CABO60P1在RtOPB中， ，若，如图,作PDOB于点DD60Pt2D1-t由题意知：在RtPOD中， ， ，则在RtBAP中，PDAB APDPBD 解得： 当是直角三角形时，的值为1或（3）解法一：1E32AP=AB，APB=B.作OE/AP，交BP于点E，OEB=APB=B.AQ/BP，QAB+B=180.又3+OEB=180，3=QAB.又AOC=2+B=1+QOP，已知B=QOP，1=2.QAOOEP.，即AQEP=EOAO.OE/AP，OBEABP.OE=AP=1，BP=EP. 解法二：连接PQ，设AP与OQ相交于点F.1F32AQ/BP，QAP=APB.AP=AB，APB=B.QAP=B.又QOP=B，QAP=QOP.QFA=PFO，QFAPFO.，即.又PFQ=OFA，PFQOFA.3=1.AOC=2+B=1+QOP，已知B=QOP，1=2.2=3.APQBPO.18. （2014山东省荷泽市，20，10分）已知，如图，正方形ABCD，BM，DN分别平分正方形的两个外角，且满足MAN45，连结MN（1）若正方形的边长为，求BMDN的值；（2）若BM，DN，MN为三边围成三角形，试猜想三角形的形状，并证明你的结论【答案】解：（1）四边形ABCD是正方形，BM平分PBC，DN平分CDQ，MABADN135BMABAM45MAN45，BAD90，BAMNAD45BMANADABMNDA 又ABAD，BMNDADAB（2）以BM、MN、DN为三边围成的三角形是直角三角形证明：如图，将ABM绕点A逆时针旋转90到ADE的位置，则AEAM，BMDE，DAEBAM，ADEABM135NAENADDAENADBAM90MAN904545NAEMAN又AMAE，ANAN，AMNAENNEMNNDE360NDAEDA36013513590，ND2DE2NE2ND2BM2MN2以BM、MN、DN为三边围成的三角形是直角三角形19. （2014四川泸州 ，24，12分）如图，四边形ABCD内接于O，AB是O直径，AC和BD相交于点E，且.(1)求证：BC=CD；(2)分别延长AB、DC交于点P，过A点作AFCD交CD的延长线于点F. 若PB=OB，CD= ，求DF的长.【答案】解：(1)，.又DCE=ACD，DCEACD，CDE=CAD，BC=CD.(2)连接OC，作OGCD于点G，则DG=CG=CD=.OGCD，AFCD，OGAF，.BC=CD，OCBD.AB是O直径，ADB=90，ADBD.OCAD，又PB=OB=OA，CD=，CP=.，DF=.20. （2014浙江省丽水市，23，10分）提出问题：（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，H分别在BC，AB上若AEDH于点O，求证：AE=DH类比探究：（2）如图2，在正方形ABCD中，点H，E，G，F分别在AB，BC，CD，DA上若EFHG于点O，探究线段EF与HG的数量关系，并说明理由综合运用：（3）在(2)问条件下，HFGE，如图3所示已知BE=EC=2，OE=2OF，求图中阴影部分的面积图1图2图3【答案】解：（1）证明：如图，在正方形ABCD中，AD=AB，B=9013=90AEDH，12=902=3ADHBAE(AAS)AE=DH（2）作DHGH，AEFE分别交AB，BC于H、EAFEE，四边形AEEF是平行四边形，EF=AE同理，HG=DH四边形ORST为平行四边形又EFHG，四边形ORST为矩形，RST=90由（1）可知，DH=AEEF=GH（3）延长FH，CB交于点PADBC，AFH=PHFGEGEC=P又A=C=90AFHCEGBE=EC=2，AF=1，BQ=AF=1，QE=1设OF=xHFGE，又HG=EFOH=OF=x，OG=OE=2x在RtEFQ中，解得，=21. （2014山东省泰安市，28，11分）如图，在四边形ABCD中，AB=AD,AC与BD交于点E，ADB=ACB.（1）求证：;（2）若ABAC，AEEC=12，F是BC中点，求证：四边形ABFD是菱形。【答案】解：（1）证明：AB=ADADB=ABE又ADB=ACBABE=ACB又BAE=CABABEACB又AB=AD，（2）证明：设AE=xAE:EC=1:2EC=2x由（1）得AB2=AEACAB=x又BAACBC=2xACB=30又F是BC的中点BF=xBF=AB=AD又ADB=ACB=ABDADB=CBD=30ADBF四边形ABFD是平行四边形又AD=AB四边形ABDF是菱形22.（2014四川省巴中市，29，10分）如图11，已知ABC中，AD是BC边上的中线，以AB为直经的O交BC于点D，过D作MNAC于点M，交AB的延长线于点N，过点B作BGMN于G.(1) 求证：BGDDMA；（5分）(2) 求证：直线MN是O的切线. (5分)【答案】解：（1）MNAC于点M，BGMN于G.BGD=AMD=90 DAM+ADM=90AB为O的直经 ADB=90 BDG+ADM=90BDG=DAM BGDDMA(2) 连接ODAD是BC边上的中线，且ADB=901=3又OA=OD1=2ODACODN=AMD=90ODMN直线MN是O的切线.23. （2014四川省内江市，26，12