Asin(ωx+φ)的图象及应用课件 文.ppt

第四节函数y asin x 的图象及应用 总纲目录 教材研读 1 用 五点法 画y asin x a 0 在一个周期内的简图 2 由函数y sinx的图象通过变换得到y asin x a 0 0 0 的图象的步骤 3 函数y asin x a 0 0 x 0 的物理意义 考点突破 考点二由图象求函数y asin x b的解析式 考点一五点法作图及图象变换 考点三三角函数图象与性质的综合问题 考点四三角函数模型的简单应用 1 用 五点法 画y asin x a 0 在一个周期内的简图用五点法画y asin x a 0 在一个周期内的简图时 一般先列表 后描点 连线 其中所列表如下 教材研读 2 由函数y sinx的图象通过变换得到y asin x a 0 0 0 的图象的步骤 3 函数y asin x a 0 0 x 0 的物理意义 1 振幅为a 2 周期t 3 频率f 4 相位是 x 5 初相是 注 本节关于函数y asin x 的一些方法与结论可类比推理到y acos x 及y atan x 1 y 2sin的振幅 频率和初相分别为 a 2 b 2 c 2 d 2 a 答案a由振幅 频率和初相的定义可知 函数y 2sin的振幅为2 频率为 初相为 2 为了得到函数y sin的图象 只需把函数y sinx的图象上所有的点 a 向左平行移动个单位长度b 向右平行移动个单位长度c 向上平行移动个单位长度d 向下平行移动个单位长度 a 答案a根据 左加右减 的原则可知 把函数y sinx的图象上所有的点向左平行移动个单位长度可得y sin的图象 故选a 3 2016课标全国 6 5分 将函数y 2sin的图象向右平移个周期后 所得图象对应的函数为 a y 2sinb y 2sinc y 2sind y 2sin d 答案d该函数的周期为 将其图象向右平移个单位后 得到的图象对应的函数为y 2sin 2sin 故选d 4 为了得到函数y 3sin的图象 只需将y 3sin的图象上的所有点 a 向左平移个单位长度b 向右平移个单位长度c 向左平移个单位长度d 向右平移个单位长度 d 答案dy 3sin 3sin 5 用五点法作函数y sin在一个周期内的图象时 主要确定的五个点是 答案 解析分别令x 0 2 即可得五个点的横坐标 纵坐标分别为0 1 0 1 0 6 已知函数f x sin x 0 的图象如图所示 则 答案 解析由题图可知 即t 所以 故 典例1已知函数f x sin x cos x 0 的最小正周期为 1 求 的值 并在下面提供的坐标系中画出函数y f x 在区间 0 上的图象 2 函数y f x 的图象可由函数y sinx的图象经过怎样的变换得到 考点一五点法作图及图象变换 考点突破 解析 1 由题意知f x sin 因为t 所以 即 2 故f x sin 列表如下 方法技巧 1 五点法作图用 五点法 作y asin x 的简图 主要是通过变量代换 令z x 由z取0 2 来求出相应的x 通过列表得出五点坐标 描点 连线后得出图象 2 图象变换由函数y sinx的图象通过变换得到y asin x 的图象有两种途径 先平移后伸缩 与 先伸缩后平移 提醒 1 由y sin x到y sin x 的变换 向左平移 0 0 个单位长度而非 个单位长度 2 平移前后两个函数的名称如果不一致 应先利用诱导公式化为同名函数 为负时应先变成正值 d 答案dy sin cos cos cos 由y cosx的图象得到y cos2x的图象 需将曲线c1上各点的横坐标缩短到原来的 纵坐标不变 由y cos2x的图象得到y cos的图象 需将y cos2x的图象上的各点向左平移个单位长度 故选d 1 2 2017安徽两校阶段性测试 将函数y cos图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍 纵坐标不变 再向左平移个单位长度 所得函数图象的一条对称轴为 a x b x c x d x a 答案a将函数y cos图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍 纵坐标不变 时 得到函数y cos的图象 再将此函数的图象向左平移个单位长度后 得到函数y cos cos的图象 该函数图象的对称轴为 k k z 即x 2k k z 结合选项 只有a符合 故选a 典例2 1 函数f x asin x 其中a 0 0 的部分图象如图所示 则f的值为 a b c d 1 考点二由图象求函数y asin x b的解析式 2 2018四川质量检测 已知函数f x asin x b a 0 x r 0 的部分图象如图所示 则函数f x 的解析式为f x 答案 1 d 2 2sin 1 解析 1 由图象可得a 最小正周期t 4 则 2 又f sin 得 2k k z 即 2k k z 因为 所以 则f x sin f sin sin 1 选项d正确 2 由题图可知 函数的最大值为a b 3 最小值为 a b 1 解得a 2 b 1 函数的最小正周期t 2 由 解得 2 由f 2sin 1 1 得sin 1 故 2k k z 解得 2k k z 又因为 所以 所以f x 2sin 1 规律总结确定y asin x b a 0 0 的步骤和方法 1 求a b 确定函数的最大值m和最小值m 则a b 2 求 确定函数的最小正周期t 则可得 3 求 常用的方法 代入法 把图象上的一个已知点代入 此时a b已知 或代入图象与直线y b的交点求解 此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上 特殊点法 确定 值时 往往以寻找 最值点 为突破口 具体如下 最大值点 即图象的 峰点 时 x 2k k z 最小值 点 即图象的 谷点 时 x 2k k z 2 1已知函数f x acos x 的图象如图所示 f 则f a b c d a 答案a由题图知 t 即 3 当x 时 y 0 即3 2k k z 2k k z 令k 1 则 f x acos 由题图可知 函数图象过点 即acos 得a f x cos 故f cos 2 2 2017甘肃张掖模拟 函数f x sin x 的部分图象如图所示 若x1 x2 且f x1 f x2 则f x1 x2 a b c d 1 c 答案c由题图知 则 2 f x sin 2x 点在函数f x 的图象上 sin 0 即 k k z 又 f x sin x1 x2 且f x1 f x2 x1 x2 f x1 x2 sin 典例3已知函数f x 4cos x sin a 0 图象上最高点的纵坐标为2 且图象上相邻两个最高点的距离为 1 求a和 的值 2 求函数f x 在 0 上的单调递减区间 考点三三角函数图象与性质的综合问题 解析 1 f x 4cos x sin a 4cos x a 2sin xcos x 2cos2 x 1 1 a sin2 x cos2 x 1 a 2sin 1 a 当sin 1时 f x 取得最大值2 1 a 3 a 又f x 图象上最高点的纵坐标为2 3 a 2 a 1 又f x 图象上相邻两个最高点的距离为 f x 的最小正周期t 2 2 1 2 由 1 得f x 2sin 由 2k 2x 2k k z 得 k x k k z 令k 0 得 x 函数f x 在 0 上的单调递减区间为 规律总结函数y asin x a 0 0 的常用性质 1 奇偶性 当 k k z 时 函数y asin x 为奇函数 当 k k z 时 函数y asin x 为偶函数 2 周期性 函数y asin x a 0 0 具有周期性 其最小正周期为t 3 单调性 根据y sinx的单调性来研究 由 2k x 2k k z得单调增区间 由 2k x 2k k z得单调减区间 4 对称性 利用y sinx的对称性来研究 由 x k k z 求得对称中心的横坐标 由 x k k z 得对称轴方程 3 1已知函数f x sin x 的图象关于直线x 对称 且图象上相邻两个最高点的距离为 1 求 和 的值 2 当x 时 求函数y f x 的最大值和最小值 典例4 1 某实验室一天的温度 单位 随时间t 单位 h 的变化近似满足函数关系 f t 10 cost sint t 0 24 则实验室这一天的最大温差为 2 已知关于x的方程2sin2x sin2x m 1 0在上有两个不同的实数根 则m的取值范围是 考点四三角函数模型的简单应用 答案 1 4 2 2 1 解析 1 f t 10 2cost sint 10 2sin 因为0 t 24 所以 t 所以 1 sin 1 于是f t 在 0 24 上的最大值为12 最小值为8 故实验室这一天最高温度为12 最低温度为8 最大温差为4 2 方程2sin2x sin2x m 1 0可转化为m 1 2sin2x sin2x cos2x sin2x 2sin x 设2x t 则t 题目条件可转化为 sint t 有两个不同的实数根 y 和y sint t 的图象有两个不同的交点 如图 由图象观察知 故m的取值范围是 2 1 规律总结 1 三角函数模型的应用体现在两方面 一是已知函数模型求解数学问题 二是把实际问题抽象转化成数学问题 建立数学模型 再利用三角函数的有关知识解决问题 2 方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数 3 研究y asin x 的性质时可将 x 视为一个整体 利用换元法和数形结合思想进行解题 同类练 1 如图 某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y 3sin k 据此函数可知 这段时间水深 单位 m 的最大值为 2 已知函数f x cos 其中x 若f x 的值域是 则m的取值范围是 答案 1 8 2 解析 1 由题图可知 3 k 2 k 5 ymax 3 5 8 2 画出函数的图象 变式练如图 某地一天从6 14时的温度变化曲线近似满足y asin t b a 0 0 0 1 求出这段曲线的函数解析式 2 若某行业在当地需要的温度在区间 20 5 20 5 上为最佳营业时间 那么该行业在6 14时 最佳