【行业资料】-必读两道趣题的多种解法及推广.doc

知识改变命运 勤奋塑造成功整理人落叶时间 2011-4-15天才是百分之九十九的勤奋加百分之一的灵感两道趣题的多种解法及推广四川省邻水县九龙中学 任贤德例1：传说很久很久以前，有位智慧老人，在他临死之前立下遗嘱，将他唯一的家产17头牛分给三个儿子，长子分，次子分，老三分，不能杀牛分肉，也不能伤害兄弟情谊。若无法分，就去找他老朋友黄老头。三兄弟无法分，只好去请教黄老头，老人略一思索，就把自己的一头牛让他们牵走，参与分配，结果长子分得了9头牛（189），次子分得了6头牛（186），老三分得了6头牛（182）。他们刚好把17头牛分完，剩下的一头还给黄老头，三兄弟既高兴又满意。这就是有名的黄老头分牛问题，它采用了一种奇特的技巧借一法，巧妙地解决了这一数学问题，令人回味无穷。我们再看下面的例子。例2：有一家商店出售啤酒，它有一个规定，即三个啤酒瓶兑换一瓶啤酒。一位顾客从此店买了12瓶啤酒招待客人，问此人最多可从这家商店得到多少瓶啤酒喝？此题的一般解题思路是：喝完12瓶啤酒后，用12个空瓶又可兑换4瓶啤酒，喝完后，再用其中3个瓶子兑换一瓶啤酒，最后只剩下2个空瓶，即最多只能喝124117瓶啤酒，并且剩下2个瓶子。似乎本题的求解到此结束，但是巧妙的方法是再借1个啤酒瓶，合起来共3个啤酒瓶，可兑换一瓶啤酒，喝完后，归还一个啤酒瓶，即最多可得到1241118瓶啤酒喝，本题也巧妙地采用了借一法的解题方法。事实上，以上两个例子的求解可归结为无穷递缩等比数列求极限的问题，它们都属于无限可分的问题。其解答如下：解法二（例1）的解答：第一次分配 长子分17头，次子分17头，老三分17头 而（1）；也就是说还剩下总数的没参与分配，即还剩下头 第二次分配 长子分头，次子分头，老三分头 同样剩下参与本次分配数目的，本次分配结束就剩下头 这个过程可一直延续下去，直至无穷，这样，每一次分配结束后，都余下上次分牛剩余数目的没参与分配。 长子分得的牛为： 17 （1） （） 9（头） 次子分得的牛为： 17 （1） （） 6（头） 老三分得的牛为： 17 （1） （） 2（头）（例2）的解答：喝完12瓶啤酒后，用12个瓶子可兑换12瓶啤酒，用12个空瓶子又可兑换12瓶啤酒，所以，此过程可一直持续下去，直至无穷。 故最多能得到的啤酒为： 12121212 12（1） 12（） 18（瓶）上面的两个趣题还可用下面的方法来求解。解法三（例1）的解答：设长子、次子、老三各分得的牛为x、x、x，由题意可得： xxx17 解之得 x18 长子分得的牛为：189（头）次子分得的牛为：186（头）老三分得的牛为：182（头）（例2）的解答：由题意，三个瓶子可兑换一瓶啤酒 即：三个瓶子的价值一个瓶子的价值一瓶纯啤酒的价值 2个瓶子的价值1瓶纯啤酒的价值 12个啤酒瓶可兑换（122）6瓶纯啤酒 故此人最多可得到的啤酒为1218（瓶）实际上，例1可归结为这样的数学问题：有x1（x为正整数）件物品，三个人按,(a、b、c为正整数)来分配，这种分法满足：x1(、均为正整数)。由此可知：a、b、c为x的正约数，分得的数目l，m，n也是x的正约数。我们可把此式推广为：x1(,a、b、c、d为x的正约数，x为正整数)。此类题型的构造就是按照上面的讨论，找出符合条件的正整数x。即先找出一个正整数x，并求出其正约数，其中的三个正约数（也可以是四个、五个等）l、m、n满足lmnx1，并且a，b，c(a、b、c就是x的正约数)，所以必有x1，据此来构造出此类题型。如24、12就符合讨论的条件。24的正约数为1、2、3、4、6、8、12、24。且23612241，12，8，4，2。12的正约数为1、2、3、4、6、12。且236121，6，4，2 。为此我们可以设计以下两个习题：习题1：有23个碟子，四个人来分。甲分，乙分，丙分，丁为，问甲、乙、丙、丁各分得多少个碟子？习题2：某班举行了一个别开生面的知识竞赛：决出一、二、三名各1人，他们的奖品为11只精美的玻璃杯，一、二、三名的奖品按、分配，问一、二、三名的获奖者各得多少只精美的玻璃杯？ 例2可归结为某物品的包装兑换此物品的问题。为叙述方便，仍采用啤酒瓶兑换啤酒的说法。此问题为：a个啤酒瓶可兑换1瓶啤酒，现有x瓶啤酒，问x个空啤酒瓶可兑换多少瓶纯啤酒？由题意知： a个啤酒瓶的价值1瓶纯啤酒的价值1个啤酒瓶的价值 即 （a1）个啤酒瓶的价值1瓶纯啤酒的价值 故x个空瓶可兑换的纯啤酒为瓶。的值必为整数，这是设计此类题型的必须条件。 按一般的解题思路，到最后总会出现差1个瓶子才能兑换1瓶啤酒的情况，而借一法的奇妙之处就在于提前把最后得到的1个瓶子借出，因而出现借一还一的巧妙解法。据此我们可找出满足上面讨论条件的数组如：x30,a6, 5，又如x24,a4, 8。进而设计出以下两个习题。习题3：某单位从批发部购月饼24盒，此批发部规定每4盒月饼的包装可兑换1盒月饼，问24盒月饼的包装可兑换多