山东省临沭县第三初级中学八年级数学上册《用函数的观点看方程与不等式》教案 人教新课标版.docVIP

山东省临沭县第三初级中学八年级数学上册用函数的观点看方程与不等式教案 人教新课标版函数和方程，函数与不等式，它们是几个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，一个函数若有解析表达式，那么这个表达式就可看成是一个方程；一个二元方程，两个变量存在着对应关系，如果这个对应关系是函数，那么这个方程可以看成是一个函数。许多有关方程、不等式的问题可以用函数的方法解决；反之，许多有关函数的问题也可以用方程和不等式的方法解决，用函数的观点看方程与不等式，是学生应该学会的一种思想方法。【教学目标】1、理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组的关系，会根据一次函数的图象解决方程与不等式的求解问题。2、学习用函数的观点看待方程与不等式的方法，初步感受用全面的观点处理局部问题的思想。3、经历方程和不等式与函数关系问题的探究过程，学习用联系的观点看待数学问题的辨证思想。【教学重点】一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、方程组的关系的理解。【教学难点】对应关系的理解及实际问题的探究建模。【教学过程】一、 创设情境同学们，你们熟悉龟兔赛跑的故事吗？（请一学生简述）请看屏幕，从图象上看出这是几百米赛跑？表示兔子的图象是哪一条？兔子什么时候开始睡觉？什么时候乌龟追上了兔子？ 由两条直线的交点坐标来确定相应的两个解析式组成的方程组的解，实际上，一次函数是两个变量之间符合一定关系的一种互相对应，互相依存。它与我们以前学过的一元一次方程，一元一次不等式，二元一次方程组有着必然的联系。今天我们将研究用函数的观点看方程与不等式。（设计意图；一、以学生熟悉的龟兔赛跑故事引入，然后用函数图象形象说明了它们赛跑的过程，把一次函数与学生之间的距离拉近了。二、点明学习本节内容的必要性：（1）函数与方程、方程组、不等式有着必然的联系；（2）用函数的观点看待方程、方程组、不等式是我们学数学应该掌握的思想方法。）二、 探讨1、我们先来看下面的两个问题有什么关系：（1）解方程2x + 20 = 0.（2）当自变量为何值时，函数y = 2x + 20的值为零？问：对于2x + 20 = 0和y = 2x + 20，从形式上看，有什么相同和不同的地方？从问题的本质上看，（1）和（2）有什么关系？作出直线y = 2x + 20，看看（1）与（2）是怎样的一种关系？（设计意图：用具体的问题作对比，帮助学生理解；让学生在探究过程中理解两个问题的同一性。）揭示归纳：（1）和（2）实际上是同一个问题。由于任何一元一次方程都可以转化为ax + b = 0（a、b为常数，a0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线 y = ax + b，确定它与x轴交点的横坐标的值。2、以下两个问题是不是同一个问题？（1） 解不等式：2x40（2）当x为何值时，函数y = 2x4的值大于0？问题：你如何利用图象来说明（2）？（3）“解不等式2x40”可以与怎样的一次函数问题是同一的？怎样在图象上加以说明？（设计意图：当y取值从等于0变成了大于0，响应的x值也由一个值变成了一个范围；如何从图象上看，对学生来说需要思维的跳跃，这里安排（3）是及时的，使学生对y0或ax + b 0？（3）x取何值时，2x5 0？ （4）x取何值时，2x5 3？四、 应用1、 用画函数的方法解不等式 5x + 4 2x + 10解法1：原不等式化为3x60，画出直线y = 3x6，可以看出，当x2时这条直线上的点在x轴的下方，即这时y = 3x60，所以不等式的解集为x2.解法2：将原不等式的两边分别看作两个一次函数，画出直线y =5x + 4与直线y = 2x + 10，可以看出，它们交点的横坐标为2，当x2时，对于同一个x，直线y = 5x + 4的点在直线y = 2x + 10上相应点的下方，这是5x + 42x +10，所以不等式的解集为x2.强调：虽然像上面用一次函数图象来解方程或不等式未必简单，但是从函数角度看问题，能发现一次函数、一元一次方程与一元一次不等式之间的联系，能直观地看到怎样用图形来表示方程的解与不等式的解，这种用函数观点认识问题的方法，对于继续学习数学很重要。2、一家电信公司给顾客提供两种上网收费方式：方式a以每分0.1元的价格按上网时间计费；方式b除收月基费20元外再以每分0.05元的价格按上网时间计费。如何选择收费方式能使上网者更合算？分析：计费与上网时间有关，所以可设上网时间为x分，分别写出两种计费方式的函数模型，然后再做比较。你能用两种方法解决吗？（设计说明：本例不仅仅是一次函数与二元一次方程组的关系的应用，而且，涉及到数学建模及一次函数与方程不等式之间的关系等问题，是本节内容的集中体现，是对一次函数与方程不等式关系的综合应用。）3、新龟兔赛跑：兔子失败后吸取了教训，分析了失败的原因是因为自己太轻敌，太骄傲了，准备争口气回来。这次举行的是100米赛跑，兔子让乌龟先跑30米，然后自己才开始跑，已知乌龟每分钟跑10米，兔子每分钟跑15米，（列出函数关系式，作出函数图象，观察函数图象）回答下列问题：（1）何时乌龟跑在兔子前面？（2）何时兔子跑在乌龟前面？（3）兔子是否能追上乌龟？什么时候？（4）谁先跑过100米？（设计说明：以新龟兔赛跑故事结束本节内