用待定系数法求一元二次函数的解析式.doc

22.1.5用待定系数法求二次函数的解析式辽宁省铁岭市开原市第六中学 董丽君教学目标：1、通过对用待定系数法求二次函数解析式的探究,掌握求解析式的方法；2、能灵活的根据条件恰当地选取选择解析式，体会二次函数解析式之间的转化；3、从学习过程中体会学习数学知识的价值，从而提高学习数学知识的兴趣；4、让学生经历观察、比较、归纳、应用以及猜想、验证的学习过程，使学生掌握类比、转化等学习数学的方法，养成既能自主探索，又能合作探究的良好学习习惯。教学问题诊断分析：在求二次函数的解析式时，不能根据条件情况准确、恰当地选用二次函数解析式的形式，或在求解待定的系数过程中，计算失误较多。教学重点：会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式。教学难点：在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质解决生活中的实际问题。学情分析：本节课是在学生会确定正比例函数和一次函数解析式，会解方程组和一元二次方程的基础上，研究和撑握了二次函数的图象与性质的基础上进行教学的，教学时先复习确定正比例函数和一次函数解析式的方法，根据九年级学生的认知特点和思维能力，本节课的教学内容算是比较容易的，能够寻找到解决问题的方法策略。教学过程设计：（一）温故知新：1、问题：你会求下列函数的解析式吗？：正比例函数的图象经过点（1，1），则其解析式：_。一次函数的图象经过点（0，1），(1,2),则其解析式：_。师生活动：教师出示问题，学生独立思考、解答、展示。教师反馈并提出下列问题。2、用待定系数法求函数关系式的步骤有哪些？详细说说？师生活动：学生独立思考而后交流并总结归纳：用待定系数法求函数关系式的步骤：设：根据题意设出所求的解析式；代：把图象上的点代入解析式列出方程(组)解：解方程(组),求系数；回代：把系数代回所设的解析式。4、二次函数解析式有哪几种表达式？怎样求二次函数的解析式？师生活动：学生独立思考而后交流并总结归纳：一般式：y=ax2+bx+c (a0)，顶点式：y=a(x-h)2+k (a0),交点式：y=a(x-x1)(x-x2) (a0)（特别强调：x1, x2是抛物线与x轴交点的横坐标）。设计意图：本环节主要是为了巩固用待定系数法求正比例函数和一次函数的解析式，用待定系数法求函数关系式的一般步骤，二次函数解析式的三个主要形式，为后面求二次函数解析式的方法方面做好了铺垫，重视了知识之间的联系，为学生解决问题提供了方法，有利于学生认识新内容，这为学生获得高效的学习垫定了基础。（二）探究新知：问题一：已知一个二次函数的图象过点(0，0)、(-1，-1)、(1,5)三点，求这个函数的解析式？已知一个二次函数自变量x与函数y的对应值如下表，求这个函数的解析式？x-110y0-8-5已知抛物线的顶点为（5，3），与y轴交点为（0，6）求抛物线的解析式？已知抛物线与x轴交于a（1，0），b（1,0）并经过点m（0,1），求抛物线的解析式？教师提问：对于以上求解析式的问题，你会选择怎样的二次函数解析式形式来求解？你选择的理由是什么？师生活动：学生先观察给出的条件，独立思考后，与同桌交流并归纳展示。学生1：对于和，我选择一般式：y=ax2+bx+c (a0)，因为题中已知图象上三点或三对的对应值,所以选择一般式。学生2：对于，我选择顶点式，因为题中有顶点和另一个点，选择顶点式最好。只要已知图象的顶点坐标就选择顶点式。学生4：对于，我选择选择一般式，因为题中已知图象上三点或三对的对应值,所以选择一般式。教师：很好，同学们都能根据题中的已知条件选择好二次函数的解析式形式来解答。对于，同学们还能选择其它形式来解答？学生5：对于，我会选择交点式：y=a(x-x1)(x-x2) (a0)，因为从题目中能找到图象与x轴的交点坐标，且x1= -1，x2=1，用交点式在计算量上会比解三元一次方程的计算量少一些，而且可以达到口算的目的。教师：学生5，真棒！分析的秀彻，很有道理。那我们再来看一题：已知二次函数图象经过点（0，5）,且当x=-1时,y有最大值-3,求二次函数的解析式？你会选择哪个形式求解？学生6：我选择顶点式，因为从题中“当x=-1时,y有最大值-3”可知顶点为（-1，-3）和另一个点，选择顶点式最好。只要已知图象的顶点坐标就选择顶点式。教师：同学们分析地真好！你们能针对以上问题，归纳出怎样恰当地选用一种函数表达式？学生7：归结如下：(1)已知图象上三点或三对的对应值，通常选择一般式：y=ax2+bx+c (a0)(2)已知图象的顶点坐标(或对称轴和最值）通常选择顶点式：y=a(x-h)2+k (a0)(3)已知图象与x轴的两个交点的横坐标x1、x2时，通常选择交点式：y=a(x-x1)(x-x2) (a0)设计意图：这个活动主要让学生经历观察不同条件的题目、分析比较、总结归纳等学习过程，恰当地选用一种函数表达式，优化解决问题的方法和策略，渗透“化归”的思想方法，很好地解决了本节课的难点。问题二：你能把上面四个题目的解答过程写出来吗？师生活动：学生根据给出的条件独立思考并写出过程后，与同桌交流讨论，并展示自己的成果；教师引导并板书，规范解答过程：解：设这个二次函数的解析式为y=ax2+bx+c (a0)二次函数的图象过点(0，0)、(-1，-1)、(1,9)解得：二次函数的解析式是：y=2x2+3x。解：抛物线的顶点为（5，3）设抛物线的解析式为：y=a(x-5)2+3(a0)又点( 0，6 )在抛物线上6 =a(0-5)2+3解得：a=325抛物线解析式为y=325(x-5)2+3解：抛物线与x轴交于a（1，0），b（1,0）设抛物线的解析式为y=a(x1)(x1）(a0)又抛物线过点m( 0,1 )1=a(0+1)(0-1)解得：a=-1抛物线解析式为y= -(x1)(x-1)即y=x2+1设计意图：通过例题讲解对用待定系数法求二次函数解析式加以理解并尝试归纳求解的步骤，通过规范求解基本步骤，培养严谨求实的科学态度。（三）基础训练：规则：给学生准备了两道题，把学生分成两组，每个小组做一个，并推选几位代表上黑板板演，每板演一种不同的解法，并答对的加10分。已知二次函数的图象如图所示,求这个二次函数的解析式。设计意图：通过自主推举代表的形式让学生采用不同方法求二次函数解析式，既可以让学生熟练掌握求二次函数解析式的方法，又可以激发学生的学习兴趣，培养学生的集体荣誉感。（四）实际应用：某桥梁建筑公司需在两山之间的峡谷上架设一座公路桥，要求是这个桥拱的跨度为否40m，最大高度为16m现把它的图形放在坐标系里(如图所示)，求抛物线的解析式设计意图：通过引入拱桥设计的实际问题，拓展学生的视野，激发学生的探究热情，使学生感受数学文化的源远流长，广泛应用。这个问题的解决，体现了数学建模的思想方法，尊重了学生的个性，充分体现了学生掌握知识的程度和解决问题的能力，可以培养学生的应用意识。（五）反思提高：教师出示下列问题清单，并要求学生国围绕问题清单进行回顾与思考：（1）本节课研究了哪些内容？我们是怎样研究的？你感受最深的是什么？（2）用待定系数法求二次函数解析式的基本步骤是什么？（3）确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点，怎样恰当地选用一种函数表达式？（4）你还有什么地方感到疑惑？师生活动：教师组织学生进行合作交流，同时教师进行评价。最后教师总结这节课的研究思想方法：（1）、本节课采用了类比求正比例函数、一次函数解析式的方法来研究，采用转化的思想，把求列方程、解方程的思想方法来求二次函数的解析式，采用“一题多解”的方法来优化解决问题的方法。求二次函数解析式的一般方法：待定系数法（2）、用待定系数法求函数关系式的步骤：（3）、确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点，恰当地选用一种函数表达式(1)已知图象上三点或三对的对应值，通常选择一般式：y=ax2+bx+c (a0)(2)已知图象的顶点坐标(或对称轴和最值）通常选择顶点式：y=a(x-h)2+k (a0)(3)已知图象与x轴的两个交点的横坐标x1、x2时，通常选择交点式：y=a(x-x1)(x-x2) (a0)。设计意图：引导学生从知识、方法、能力、情感、困惑等方面，小结本节课的内容，并借助问题串进行反思，总结和提高。教学反思：本人结合数学高效课堂的模式，反思了本节课的几个方面：一、注重基础。本节课注重数学的基础知识、基本技能和基本思想方法，对掌握基础知识、形成基本技能为主，重视通性通法。二、注重探究。在系列问题引导下，学生逐步思考，逐步归纳，逐步猜想，逐步验证，最后获得解决问题的方法。三、注重知识之间的联系。本节课是在学生已经掌握求正比例函数、一次函数解析式的基础上进行二次函数解析式的求法，由旧知引领新知，过渡自然，找到新知的生长点。四、注重数学思想方法的归纳与总结。体现类比、转化、归纳、方程等学习数学的思想方法，养成既能自主探索，又能合作探究的良好学