江苏省宿迁市沭阳国际学校高三数学上学期期初考试试题（高补班）.doc

沭阳国际学校20152016学年度第一学期期初测试 高补班数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.1已知集合, ，则 . 2复数，在复平面内所对应的点在第 象限3在棱长为的正方体内任取一点p，则点p到点a的距离小于的概率为 4“”是“”的 条件(填“充分不必要”、“必要不充分”、 “充要”、“既不充分也不必要”) 5如图，该程序运行后输出的结果为 .6已知样本的平均数是，且，则此样本的标准 差是 . 7设为两两不重合的平面，为两两不重合的直线， 给出下列四个命题，其中真命题的个数为 . 若，则； 若，则； 若，则；若，则.8抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形的面积等 于 . 9已知函数，则的极大值为 10过点,且与已知圆切于点的圆的方程为 .11已知中心为的正方形的边长为2，点、分别为线段、上的两个不 同点，且，则的取值范围是 .12在数列中，设，记为数列的 前项和，则= . 13设和分别是和的导函数，若在区间上恒成立，则称和在区间上单调性相反.若函数与在开区间上单调性相反（），则的最大值为 14. 已知，且，则的最大值是 二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15. (本小题满分14分) 设，满足，()求函数的单调递增区间； （）设三内角所对边分别为且， 求在上的值域16. (本小题满分14分) 正的边长为4，是边上的高，分别是和的中点（如图（1）.现将沿翻折成直二面角如图（2）.在图形（2）中： （）试判断直线与平面的位置关系，并说明理由； （）在线段上是否存在一点，使?证明你的结论.17. (本小题满分14分) 某地开发了一个旅游景点，第1年的游客约为100万人，第2年的游客约为120万人. 某数学兴趣小组综合各种因素预测：该景点每年的游客人数会逐年增加；该景点每年的游客都达不到130万人. 该兴趣小组想找一个函数来拟合该景点对外开放的第年与当年的游客人数（单位：万人）之间的关系. （1）根据上述两点预测，请用数学语言描述函数所具有的性质； （2）若=，试确定的值，并考察该函数是否符合上述两点预测； （3）若=，欲使得该函数符合上述两点预测，试确定的取值范围18. (本小题满分16分) 已知a为椭圆上的一个动点，弦、分别过焦点，当垂直于轴时，恰好有.（）求椭圆离心率；（）设,试判断是否为定值？若是定值，求出该定值并证明；若不是定值，请说明理由.19. (本小题满分16分) 已知函数的图像过点， 设为的前项和。 （）解关于的不等式； （）设，求的最小值。20. (本小题满分16分)若函数（为实常数）.（1）当时，求函数在处的切线方程；（2）设.求函数的单调区间；若函数的定义域为，求函数的最小值.沭阳国际学校20152016学年度第一学期期初测试班级 姓名 学号 准考证号 考场 高补班数学（理科加试题）1、 已知矩阵a，若矩阵a属于特征值6的一个特征向量为1，属于特征值1的一个特征向量为2求矩阵a，并写出a的逆矩阵2、 若两条曲线的极坐标方程分别为r =l与r =2cos(+)，它们相交于a，b两点，求线段ab的长3、口袋中有个白球，3个红球依次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，且取出的红球不放回；如果取到白球，就停止取球记取球的次数为x若，求（1）n的值； （2）x的概率分布与数学期望4、设数列是等比数列，公比是的展开式中的第二项（按x的降幂排列）（1）用表示通项与前n项和；（2）若，用表示座位号2016届高补数学参考答案：一、填空题：1、 2、二 3、 4、充分不必要 5、16 6、 7、2 8、 9 、 10、 11、12、 13、 14、二、解答题：15. 解：()由因此 令得故函数的单调递增区间 （）由余弦定理知：，即，又由正弦定理知：，即,所以 当时，故在上的值域为16、（）如图（2）：在中，由ef分别是ac、bc的中点，得ef/ab，又平面def，平面def.平面def.（）在线段bc上取点p，使bp=，过p作pqcd于点q，平面acd. 中，.在等边中，17.解：（1）预测：在上单调递增；预测：对恒成立；（2）将（1，100）、（2，120）代入到中，得，解得.因为所以，故在上单调递增，符合预测；又当时，所以此时不符合预测.（3）由，解得.因为要想符合预测，则即，从而或.（i）当时，此时符合预测，但由，解得，即当时，所以此时不符合预测；（ii）当，此时符合预测，又由知，所以；从而欲也符合预测，则，即又，解得.综上所述，的取值范围是18.解：（）当ac垂直于x轴时，故.（）由（）得椭圆的方程为，焦点坐标为.当ac垂直于x轴时，则，这时； 当ab垂直于x轴时，则，这时.当弦ac、ab的斜率都存在时，设，则ac所在的直线方程为，代入椭圆方程得.，.同理，综上可知是定值 6.18.解：（）当ac垂直于x轴时，故.（）由（）得椭圆的方程为，焦点坐标为.当ac垂直于x轴时，则，这时； 当ab垂直于x轴时，则，这时.当弦ac、ab的斜率都存在时，设，则ac所在的直线方程为，代入椭圆方程得.，.同理，综上可知是定值 6.19解：（1） 即即 ，（2），令 或，又，故或时 ， 最小值为（也可构造函数，研究其极值） 20.解：（1）当时，又当时， 函数在处的切线方程；（2）因为，当时，恒成立，所以时，函数为增函数；当时，令，得，令，得，所以函数的单调区间为；单调减区间为；当时，因为的定义域为，所以或.（i）当，所以函数在上单调递增，则的最大值为，所以在区间上的最小值为；（ii）当时，且，所以函数在上单调递增，在上单调递减，则的最大值为，所以在区间上的最小值为；（iii）当时，所以函数在上单调递增，则的最大值为，所以在区间上的最小值为综上所述，附加题参考答案1、解：由矩阵a属于特征值6的一个特征向量为1可得， 6，即cd6； 3分由矩阵a属于特征值1的一个特征向量为2，可得 ，即3c2d2， 6分解得即a， 8分 所以a的逆矩阵