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2014届高三数学辅导精讲精练521已知不同直线m、n及不重合平面、，给出下列结论：m，n，mnm，n，mnm，n，mnm，n，mn其中的假命题有()A1个B2个C3个 D4个答案C解析为假命题，m不一定与平面垂直，所以平面与不一定垂直命题与为假命题，中两平面可以相交，没有任何实质意义只有是真命题，因为两平面的垂线所成的角与两平面所成的角相等或互补2(2012安徽)设平面与平面相交于直线m，直线a在平面内，直线b在平面内，且bm，则“”是“ab”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件答案A解析若，因为m，b，bm，则根据两个平面垂直的性质定理可得b.又因为a，所以ab；反过来，当am时，因为bm，一定有ba，但不能保证b，所以不能推出.3已知m、n是两条不同的直线，、是三个不同的平面，则下列命题中正确的是()A若，则B若mn，m，n，则C若mn，m，则nD若mn，m，n，则答案D解析对于选项A，两平面、同垂直于平面，平面与平面可能平行，也可能相交；对于选项B，平面、可能平行，也可能相交；对于选项C，直线n可能与平面平行，也可能在平面内；对于选项D，由mn，m，n.又n，故选D.4(2011浙江理)下列命题中错误的是()A如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面B如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面C如果平面平面，平面平面，l，那么l平面D如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面答案D解析对于D，若平面平面，则平面内的直线可能不垂直于平面，甚至可能平行于平面，其余选项均是正确的5已知m、n是两条不同的直线，、是三个不同的平面，则下列命题正确的是()A若m，n，则mn B若m，n，则mnC若m，m，则 D若，则答案B解析对于选项A，若m，n，则m与n可能平行、相交或异面；对于选项C，与也可能相交；对于选项D，与也可能相交故选B.6如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC和CD的中点，G是EF的中点，现在沿着AE和AF及EF把正方形折成一个四面体，使B、C、D三点重合，重合后的点记为H，那么，在四面体AEFH中必有()AAHEFH所在平面BAGEFH所在平面CHFAEF所在平面DHGAEF所在平面答案A解析ADDF，ABBE，又B、C、D重合记为H，AHHF，AHHE.AH面EFH.7如图，四边形ABCD中，ABADCD1，BD，BDCD.将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体ABCD，使平面ABD平面BCD，则下列结论正确的是()AACBDBBAC90CCA与平面ABD所成的角为30D四面体ABCD的体积为答案B解析取BD的中点O，ABAD，AOBD，又平面ABD平面BCD，AO平面BCD.CDBD，OC不垂直于BD，假设ACBD，OC为AC在平面BCD内的射影，OCBD，矛盾，AC不垂直于BD.A错误；CDBD，平面ABD平面BCD，CD平面ABD，AC在平面ABD内的射影为AD，ABAD1，BD，ABAD，ABAC，B正确；CAD为直线CA与平面ABD所成的角，CAD45，C错误；VABCDSABDCD，D错误，故选B.8. 在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，M为AB的中点，则点C到平面A1DM的距离为()A.a B.aC.a D.a答案A解析设点C到平面A1DM的距离为h，则由已知得DMA1Ma，A1Da，SA1DMaa2，连接CM，SCDMa2，由VCA1DMVA1CDM，得SA1DMhSCDMa，即a2ha2a.所以ha，即点C到平面A1DM的距离为a，选A.9. 如图所示，PA圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E、F分别是点A在PB、PC上的正投影，给出下列结论：AFPB；EFPB；AFBC；AE平面PBC.其中正确结论的序号是_答案解析由题意知PA平面ABC，PABC.又ACBC，PAACA，BC平面PAC.BCAF.AFPC，BCPCC，AF平面PBC.AFPB，AFBC.又AEPB，AEAFA，PB平面AEF.PBEF.故正确10四面体ABCD中，ACBD，E、F分别是AD、BC的中点，且EFAC，BDC90.求证：BD平面ACD.证明如图所示，取CD的中点G，连接EG、FG、EF.E、F分别为AD、BC的中点，EG綊AC，FG綊BD.又ACBD，FGAC.在EFG中，EG2FG2AC2EF2.EGFG.BDAC.又BDC90，即BDCD，ACCDC，BD平面ACD.11. 如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，ABBB1，ACBCBB12，D为AB的中点，且CDDA1.(1)求证：BB1平面ABC；(2)求证：BC1平面CA1D；(3)求三棱锥B1A1DC的体积解析(1)证明：ACBC，D为AB的中点，CDAB.又CDDA1，CD平面ABB1A1.CDBB1.又BB1AB，ABCDD，BB1平面ABC.(2)证明：连接BC1，连接AC1交CA1于E，连接DE，易知E是AC1的中点又D是AB的中点，则DEBC1.又DE平面CA1D，BC1平面CA1D，BC1平面CA1D.(3)由(1)知CD平面AA1B1B，故CD是三棱锥CA1B1D的高，在RtACB中，ACBC2，AB2，CD.又BB12，VB1A1DCVCA1B1DSA1B1DCDA1B1B1BCD22.12. (2012江苏)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且ADDE，F为B1C1的中点求证：(1)平面ADE平面BCC1B1；(2)直线A1F平面ADE.证明(1)因为ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1平面ABC，又AD平面ABC，所以CC1AD.又因为ADDE，CC1，DE平面BCC1B1，CC1DEE，所以AD平面BCC1B1.又AD平面ADE，所以平面ADE平面BCC1B1.(2)因为A1B1A1C1，F为B1C1的中点，所以A1FB1C1.因为CC1平面A1B1C1，且A1F平面A1B1C1，所以CC1A1F.又因为CC1，B1C1平面BCC1B1，CC1B1C1C1，所以A1F平面BCC1B1.由(1)知AD平面BCC1B1，所以A1FAD.又AD平面ADE，A1F平面ADE，所以A1F平面ADE.13. (2012新课标)如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直底面，ACB90，ACBCAA1，D是棱AA1的中点(1)证明：平面BDC1平面BDC；(2)平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比解析(1)证明：由题设知BCCC1，BCAC，CC1ACC，所以BC平面ACC1A1.又DC1平面ACC1A1，所以DC1BC.由题设知A1DC1ADC45，所以CDC190，即DC1DC.又DCBCC，所以DC1平面BDC.又DC1平面BDC1，故平面BDC1平面BDC.(2)设棱锥BDACC1的体积为V1，AC1.由题意得V111.又三棱柱ABCA1B1C1的体积V1，所以(VV1)V111.故平面BDC1分此棱柱所得两部分体积的比为11.14(2012江西)如图，在梯形ABCD中，ABCD，E，F是线段AB上的两点，且DEAB，CFAB，AB12，AD5，BC4，DE4.现将ADE，CFB分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合于点G，得到多面体CDEFG.(1)求证：平面DEG平面CFG；(2)求多面体CDEFG的体积解析(1)证明：因为DEEF，CFEF，所以四边形CDEF为矩形由GD5，DE4，得GE3.由GC4，CF4，得FG4.所以EF5.在EFG中，有EF2GE2FG2，所以EGGF.又因为CFEF，CFFG，所以CF平面EFG.所以CFEG.所以EG平面CFG，即平面DEG平面CFG.(2)在平面EGF中，过点G作GHEF于点H，则GH.因为平面CDEF平面EFG，所以GH平面CDEF.所以VCDEFGSCDEFGH16.15(2012广东)如图所示，在四棱锥PABCD中，AB平面PAD，ABCD，PDAD，E是PB的中点，F是DC上的点且DFAB，PH为PAD中AD边上的高(1)证明：PH平面ABCD；(2)若PH1，AD，FC1，求三棱锥EBCF的体积；(3)证明：EF平面PAB.解析(1)由于AB平面PAD，PH平面PAD，故ABPH.又PH为PAD中AD边上的高，故ADPH.ABADA，AB平面ABCD，AD平面ABCD，PH平面ABCD.(2)由于PH平面ABCD，E为PB的中点，PH1，故E到平面ABCD的距离hPH.又因为ABCD，ABAD，所以ADCD.故SBFCCFAD1.因此VEBCFSBCFh.(3)证明：过E作EGAB交PA于G，连接DG.由于E为PB的中点，所以G为PA的中点因为DADP，故DPA为等腰三角形，所以DGPA.AB平面PAD，DG平面PAD，ABDG.又ABPAA，AB平面PAB，PA平面PAB，DG平面PAB.又GE綊AB，DF綊AB，GE綊DF.四边形DFEG为平行四边形故DGEF，于是EF平面PAB.1. 如图，已知PA矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC的中点(1)求证：MNCD；(2)若PDA45，求证：MN平面PCD.证明(1)连接AC，PA平面ABCD，PAAC，在RtPAC中，N为PC中点ANPC.PA平面ABCD，PABC.又BCAB，PAABA，BC平面PAB，BCPB.从而在RtPBC中，BN为斜边PC上的中线，BNPC.ANBN，ABN为等腰三角形又M为底边的中点，MNAB，又ABCD，MNCD.(2)PDA45，PAAD，APAD.ABCD为矩形ADBC，PABC.又M为AB的中点，AMBM.而PAMCBM90，PMCM，又N为PC的中点，MNPC.由(1)知MNCD，PCCDC，MN平面PCD.2. 如图，已知矩形ABCD，过A作SA平面AC，再过A作AESB交SB于E，过E作EFSC交SC于F.(1)求证：AFSC；(2)若平面AEF交SD于G，求证：AGSD.证明(1)SA平面AC，BC平面AC，SABC.ABCD为矩形，ABBC且SAABA.BC平面SAB.又AE平面SAB，BCAE.又SBAE且SBBCB，AE平面SBC.又SC平面SBC，AESC.又EFSC且AEEFE，SC平面AEF.又AF平面AEF，AFSC.(2)SA平面AC，DC平面AC，SADC.又ADDC，SAADA，DC平面SAD.又AG平面SAD，DCAG.又由(1)有SC平面AEF，AG平面AEF，SCAG且SCCDC，AG平面SDC.又SD平面SDC，AGSD.3. (2011江苏)如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABAD，BAD60，E，F分别是AP，AD的中点求证：(1)直线EF平面PCD；(2)平面BEF平面PAD.解析(1)在PAD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EFPD.又因为EF平面PCD，PD平面PCD，所以直线EF平面PCD.(2)连接BD.因为ABAD，BAD60，所以ABD为正三角形因为F是AD的中点，所以BFAD.因为平面PAD平面ABCD，BF平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以BF平面PAD.又因为BF平面BEF，所以平面BEF平面PAD.4直棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是直角梯形，BADADC90，AB2AD2CD2.(1)求证：AC平面BB1C1C；(2)在A1B1上是否存在一点P，使得DP与平面BCB1和平面ACB1都平行？证明你的结论解析(1)证明：直棱柱ABCDA1B1C1D1中，BB1平面ABCD，BB1AC.又BADADC90，AB2AD2CD2，AC，CAB45.BC.BC2AC2AB2，BCAC.又BB1BCB，BB1平面BB1C1C，BC平面BB1C1C，AC平面BB1C1C.(2)存在点P，P为A1B1的中点由P为A1B1的中点，有PB1AB，且PB1AB.又DCAB，DCAB，DCPB1，且DCPB1.DCB1P为平行四边形，从而CB1DP.又CB1平面ACB1，DP平面ACB1，DP平面ACB1.同理，DP平面BCB1.5. (2011安徽理)如图，ABEDFC为多面体，平面ABED与平面ACFD垂直，点O在线段AD上，OA1，OD2，OAB，OAC，ODE，ODF都是正三角形(1)证明：直线BCEF；(2)求棱锥FOBED的体积解析(1)(综合法)设G是线段DA与线段EB延长线的交点，由于OAB与ODE都是正三角形，所以OB綊DE，OGOD2.同理，设G是线段DA与线段FC延长线的交点，有OGOD2.又由于G和G都在线段DA的延长线上，所以G与G重合在GED和GFD中，由OB綊DE和OC綊DF，可知B，C分别是GE和GF的中点，所以BC是GEF的中位线，故BCEF.(向量法)过点F作FQAD，交AD于点Q，连接QE，由平面ABED平面ADFC，知FQ平面ABED，以Q为坐标原点，为x轴正向，为y轴正向，为z轴正向，建立如图所示空间直角坐标系由条件E(，0,0)，F(0,0，)，B(，0)，C(0，)则有(，0，)，(，0，)所以2，即得BCEF.(2)由OB1，OE2，EOB60，知SEOB，而OED是边长为2的正三角形，故SOED，所以SOBEDSEOBSOED.过点F作FQAD，交AD于点Q，由平面ABED平面ACFD知，FQ就是四棱锥FOBED的高，且FQ，所以VFOBEDFQSOBED.6. (2011辽宁文)如图，四边形ABCD为正方形，QA平面ABCD，PDQA，QAABPD.(1)证明：PQ平面DCQ；(2)求棱锥QABCD的体积与棱锥PDCQ的体积的比值解析(1)由条件知PDAQ为直角梯形因为QA平面ABCD，所以平面PDAQ平面ABCD，交线为AD.又四边形ABCD为正方形，DCAD，所以DC平面PDAQ，可得PQDC.在直角梯形PDAQ中可得DQPQPD，则PQQD.又DQDCD，所以PQ平面DCQ.(2)设ABa.由题设知AQ为棱锥QABCD的高，所以棱锥QABCD的体积V1a3.由(1)知PQ为棱锥PDCQ的高，而PQa，DCQ的面积为a2，所以棱锥PDCQ的体积V2a3.故棱锥QABCD的体积与棱锥PDCQ的体积的比值为1.7. (2012潍坊质量抽测)已知三棱锥SABC中，平面ASC平面ABC，O、D分别为AC、AB的中点，ASCSCDADAC.(1)求证：平面ASC平面BCS；(2)设AC2，求三棱锥SBCD的体