【优化指导】高中数学（基础预习+课堂探究+达标训练）9.2 等差数列第1课时 湘教版必修4.doc

9.2等差数列第1课时等差数列的概念与通项公式学习目标重点难点1知道并记住等差数列的定义；2知道什么是等差中项；3能记住等差数列的通项公式，能利用通项公式解决等差数列的一些计算问题；4会判断和证明一个数列是等差数列.重点：等差数列的概念和通项公式，以及通项公式的应用；难点：判断和证明一个数列是等差数列；疑点：判断一个数列是否是等差数列.1等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项之差都等于同一个常数，那么这样的数列称为_，这个常数叫作数列的_，公差通常用字母_表示预习交流1如何理解等差数列定义中的两个关键词“从第2项起”和“同一个常数”？预习交流2常数列一定是等差数列吗？2等差中项(1)如果b_，那么数b称为a和c的等差中项(2)若某三个数成等差数列，则可设这三个数分别为_，x，xd，其中d为公差预习交流3任何两个实数都有等差中项吗？等差中项是唯一的吗？3等差数列的通项公式等差数列的通项公式为_，a1为首项，d为公差预习交流4你能否利用等差数列的通项公式，得出等差数列中任意两项之间的关系？预习交流5等差数列的通项公式与一次函数有何关系？预习交流6判断和证明一个数列是否是等差数列的方法有哪些？在预习中还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！我的学困点我的学疑点答案：1等差数列公差d预习交流1：提示：(1)如果一个数列，不是从第2项起，而是从第3项，第4项，起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么此数列不是等差数列(但可以说从第2项，第3项，起是一个等差数列)(2)如果一个数列，从第2项起，每一项与它的前一项的差是常数，那么此数列不一定是等差数列(当常数不同时，不是等差数列)预习交流2：提示：一定，且公差为0.2(1)(2)xd预习交流3：提示：任何两个实数都有等差中项，且等差中项是唯一的3ana1(n1)d预习交流4：提示：由等差数列的通项公式得ana1(n1)d，ama1(m1)d(nm)，两式左右两边分别相减，得anam(nm)d，因此有d(nm)所以可将等差数列的通项公式进行变形，即anam(nm)d.预习交流5：提示：由等差数列的通项公式ana1(n1)d，可得andn(a1d)，这里a1，d是常数，n是自变量，an是n的函数如果设da，a1db，则ananb与一次函数yaxb(a0)对比，点(n，an)在一次函数yaxb的图象上预习交流6：提示：等差数列的判断方法有以下几种：(1)定义法：an1and(常数)(nn*)数列an是等差数列(2)等差中项法：2an1anan2(nn*)数列an是等差数列(3)通项公式法：ananb(a，b为常数，nn*)数列an是等差数列但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法一、等差数列通项公式及其应用求解下列各题：(1)在等差数列an中，首项a11，公差d3，那么当an2 012时，n等于()a671 b672c673 d674(2)在等差数列an中，若a312，a627，则a10_.(3)在等差数列40,37,34，中，第一个负数项是()a第13项 b第14项 c第15项 d第16项思路分析：利用等差数列的通项公式，建立a1与d的方程组，求出a1与d的值，然后解决相关问题在等差数列an中，求解下列各题：(1)已知d，a78，则a1_；(2)已知a30，a72a41，则公差d_；(3)a1，d0，且从第10项开始每项都大于1，则此等差数列公差d的取值范围是_1等差数列的通项公式ana1(n1)d中包含了四个量，已知其中的三个量，就可以求得另外一个量2求解等差数列基本计算问题时，主要采用解方程(组)的思想，即根据已知条件建立关于a1和d的方程组，求出a1和d的值，再解决相关的问题二、等差中项及其应用在1和7之间插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求这三个数思路分析：由题意知，该数列首项为a11，a57，根据通项公式可求出公差d，从而进一步求出第2,3,4项，即a，b，c的值；也可以根据等差中项先求出b，再依次使用等差中项，求出a，c.设x是a与b的等差中项，x2是a2与b2的等差中项，则有()aab ba3bca3b或ab dab01若a，b，c成等差数列，则有2bac；反之，若2bac，则a，b，c必成等差数列2在等差数列an中，由定义有an1ananan1，所以an，因此等差数列中，从第2项起，每一项都是它前一项和后一项的等差中项三、等差数列的判断与证明已知，成等差数列，求证：，也成等差数列思路分析：可根据等差中项的定义，只需证明2即可已知x，y，z成等差数列，求证：x2(yz)，y2(xz)，z2(yx)也成等差数列要证明三个数a，b，c依次成等差数列，只要证明中间一项是另外两项的等差中项即可，亦即只要证明ac2b即可已知数列an满足a12，an1.(1)数列是否为等差数列？为什么？(2)求出an的表达式思路分析：根据已知条件式，对其两边取倒数，考查是否等于一个与n无关的常数，如果是，那么它就是等差数列；然后根据(1)的结论，先求出的表达式，再求出an的表达式已知数列an的通项公式为anpnq，其中p，q为常数，那么这个数列一定是等差数列吗？证明一个数列是等差数列的基本方法是紧扣定义：an1and(d为常数)，也可以用2anan1an1(n2)进行判断对于“生成数列问题”，关键是形成整体代换的思想方法，运用方程思想求通项公式1lg(2)与lg(2)的等差中项是()a b2 clg d02已知等差数列的前3项分别是a1，a，a3，则其一个通项公式是()aan2n5，nn*ban2n1，nn*can2n1，nn*dan2n3，nn*3等差数列an中，a29，a533，则an的公差为_4401是等差数列5，9，13，中的第_项5在公差不为零的等差数列an中，a1，a2为方程x2a3xa40的根，求an的通项公式提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记知识精华技能要领答案：活动与探究1：(1)b(2)47(3)c解析：(1)由于ana1(n1)d，所以13(n1)2 012，解得n672.故选b.(2)设首项为a1，公差为d，则有解得于是a10a19d24547.(3)首项a140，公差d3，所以an403(n1)433n，令an433n0，解得n，由于nn*，所以n15，即第一个负数项是第15项迁移与应用：(1)10(2)(3)d解析：(1)依题意得a168，解得a110；(2)依题意可得解得d；(3)依题意应有即解得d.活动与探究2：解：(解法一)这五个数构成的等差数列是an，依题意知a11，a57，设公差为d，则有14d7，解得d2，于是其第2,3,4项，即a，b，c的值分别为：aa2121，ba3143，ca4165.(解法二)依题意，1，a，b，c,7成等差数列，所以b是1和7的等差中项，于是b3.同理a是1和b的等差中项，所以a1，c是b和7的等差中项，所以c5.故a，b，c的值分别为1,3,5.迁移与应用：c解析：依题意2xab,2x2a2b2，消去x可得22a2b2，整理得a22ab3b20，所以a3b或ab.活动与探究3：证明：因为，成等差数列，所以，即2acb(ac)而2，所以，也成等差数列迁移与应用：证明：因为x，y，z成等差数列，所以2yxz，而x2(yz)z2(yx)x2yx2zz2yz2xx2yz2yxz(xz)x2yz2y2xyzy(xz)22y2(xz)，因此x2(yz)，y2(xz)，z2(yx)也成等差数列活动与探究4：解：(1)由an1两边取倒数，可得，即，所以，因此数列是公差为的等差数列(2)由于a12，所以，由(1)知，数列是首项为，公差为的等差数列，因此(n1)n，故an.迁移与应用：解：由于anpnq，所以an1p(n1)q，于是an1anp(n1)q(pnq)p，而p是常数，所以数列an一定是等差数列当堂检测1d解析：等差中项是0.2a解析：依题意得a