矩形（第二课时） (2).docx

矩形 第课时1.理解并掌握矩形的判定方法.2.使学生能应用矩形的定义、判定等知识,解决简单的证明题和计算题,进一步培养学生的分析能力.1.从矩形性质定理的逆命题出发,提出猜想,发现结论,然后给出证明,进一步理解互逆命题的意义,体会矩形的性质与判定的区别与联系.2.让学生经历探索矩形判定定理的过程,理解并掌握矩形的判定方法,积累几何学习的经验,发展合情推理和演绎推理的能力.在课堂活动中,通过观察、思考、猜想、证明,培养学生主动参与、乐于探究、勤于动手的学习习惯.【重点】矩形判定定理的运用.【难点】矩形判定方法的理解及应用.【教师准备】教学中出示的教学插图和例题.【学生准备】复习矩形的定义及其性质.导入一:工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是否为矩形,常常要量一量这个四边形的两条对角线长度,如果对角线长相等,则窗框一定是矩形,你知道为什么吗? 设计意图创设情境,导入新课,将数学与生产生活紧密联系,让学生感受到数学来源于生活,又服务于生活.导入二:上节我们研究了矩形的定义与性质,现在请同学们回忆学过的内容,回答下面的问题:(1)矩形有哪些性质是平行四边形所没有的?(2)矩形是特殊的平行四边形,那么怎样判定一个平行四边形是矩形呢?学生思考、交流:(1)角:矩形的四个角都是直角;对角线:矩形的对角线相等;对称性:矩形是轴对称图形.(2)有一个角是直角的平行四边形叫做矩形,用定义可以判定一个平行四边形是矩形.几何语言:ABCD中,A=90(已知),四边形ABCD是矩形(矩形的定义).除了定义判定之外,你还有其他的判定方法吗?设计意图温故知新,引导学生复习学过的矩形的定义、性质,为下面学习矩形的判定奠定基础.1.矩形的判定思路一过渡语前面我们学过,在两个命题中,如果第一个命题的条件是第二个命题的结论,而第一个命题的结论是第二个命题的条件,那么这两个命题叫做互逆命题.(1)命题“矩形的对角线相等”的条件是;结论是.它的逆命题是,该逆命题是命题(填“真”或“假”).(2)命题“矩形的四个角都是直角”的条件是;结论是.它的逆命题是.该逆命题是命题(填“真”或“假”).师生共同研究、猜想、证明.一名学生回答:(1)命题“矩形的对角线相等”的条件是:四边形是矩形,结论是:对角线相等.它的逆命题是:对角线相等的四边形是矩形.该逆命题是假命题.如右图,四边形ABCD中,对角线AC=BD,显然它不是矩形.追问:“对角线相等的四边形是矩形”是假命题,那么“对角线相等的平行四边形是矩形”是真命题,还是假命题?请说明理由.生分析发现:“对角线相等的平行四边形是矩形”是真命题.理由如下:已知:如图,在ABCD中,对角线AC=BD.求证:ABCD是矩形.解析要证明ABCD是矩形,只需证明有一个角是直角即可.证明:四边形ABCD是平行四边形,AB=DC(平行四边形的对边相等).又BC=CB,AC=DB,ABCDCB(SSS).ABC=DCB.由题意知ABDC(平行四边形的对边平行),ABC+DCB=180.ABC=DCB=180=90.ABCD是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形).通过大家猜想、证明,我们得到了矩形的一个判定定理.定理:对角线相等的平行四边形是矩形.请同学们注意这个定理的符号语言:在ABCD中,AC=BD,ABCD是矩形.过渡语接下来请继续讨论,交流.命题“矩形的四个角都是直角”的条件是:四边形是矩形,结论是:四个角都是直角.它的逆命题是:四个角都是直角的四边形是矩形.该逆命题是真命题.理由如下:已知:如图,四边形ABCD中,A=B=C=D=90.求证:四边形ABCD是矩形.解析要证明四边形ABCD是矩形,只需证明四边形ABCD是平行四边形即可.证明:A+B=180,ADBC.B+C=180,ABDC.四边形ABCD是平行四边形.又A=90,四边形ABCD是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形).追问:有三个角是直角的四边形是矩形吗?同桌议论:根据四边形的内角和是360,知如果有三个角是直角,那么第四个角一定是直角.所以只要有三个角是直角就能判定四边形是矩形.通过大家猜想、证明,我们又得到了矩形的一个判定定理.定理:有三个角是直角的四边形是矩形.用符号语言表述为:四边形ABCD中,A=B=C=90,四边形ABCD是矩形.至此,我们得到了矩形的三种判定方法:一个定义和两个判定定理.以后同学们可以直接应用矩形的定义、定理来解决问题.设计意图从矩形性质定理的逆命题出发,提出猜想,发现结论,然后给出证明,让学生进一步理解互逆命题的意义,体会矩形的性质与判定的区别与联系.思路二如图,工人师傅在做门窗或矩形零件时,不仅要测量两组对边的长度是否分别相等,常常还要测量它们的两条对角线是否相等,以确保图形是矩形.你知道其中的道理吗?师生分析,将这个实际问题抽象为下面的数学问题.已知:如图,在四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC,对角线AC=BD.求证:四边形ABCD是矩形.引导学生分析,再写证明过程.由题意知四边形ABCD是平行四边形,要证明ABCD是矩形,根据矩形的定义,需证明它有一个角是直角.证明:AB=CD,AD=BC,四边形ABCD是平行四边形.又AB=DC,BC=CB,AC=DB,ABCDCB(SSS).ABC=DCB.由题意知ABDC(平行四边形的对边平行),ABC+DCB=180.ABC=DCB=180=90.ABCD是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形).学生经过猜想、证明,得出矩形的一个判定定理.定理:对角线相等的平行四边形是矩形.过渡语我们知道,矩形的四个角都是直角.反过来,一个四边形至少有几个角是直角时,这个四边形就是矩形呢?请证明你的结论,并与同伴交流.学生讨论、猜想、证明,得出矩形的另一个判定定理.生1:四个角是直角的四边形是矩形.生2:三个角是直角的四边形是矩形.追问:三个角是直角的四边形是矩形吗?生设法证明,并写出证明过程.已知:如图,四边形ABCD中,A=B=C=90.求证:四边形ABCD是矩形.解析要证明四边形ABCD是矩形,只需证明四边形ABCD是平行四边形即可.证明:A+B=180,ADBC.B+C=180,ABDC.四边形ABCD是平行四边形.又A=90,四边形ABCD是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形).教师明确这是判定矩形的又一个判定定理:有三个角是直角的四边形是矩形.至此,我们得到了矩形的三种判定方法:一个定义和两个判定定理.以后同学们可以直接应用矩形的定义、定理来解决问题.设计意图从实际问题入手,让学生经历观察、分析、猜想、证明等过程,感受数学与生活实际的密切联系,进一步发展用数学的意识.知识拓展应用矩形的判定定理时需要注意的问题:(1)注意区别“四边形”与“平行四边形”.如判定定理“对角线相等的平行四边形是矩形”要求满足的条件是“对角线相等”和“平行四边形”;判定定理“三个角都是直角的四边形是矩形”要求满足的条件是“三个角都是直角”和“四边形”.(2)无论是定义还是判定定理,运用时一定要分清它的条件与结论.2.例题讲解过渡语大家对刚才的判定定理理解得怎样呢?请看下面的例题.(补充)判断:(1)两条对角线相等的四边形是矩形.()(2)两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形.()(3)有一个角是直角的四边形是矩形.()学生独立分析,全班交流.(1)如图(1),四边形ABCD中,AC=BD,但四边形ABCD明显不是矩形,该打“”.(2)对角线互相平分的四边形是平行四边形,对角线相等的平行四边形为矩形,该打“”.(3)如图(2),四边形ABCD中,B=90,但四边形ABCD明显不是矩形,该打“”.(教材例2)如图,在ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且OA=OD,OAD=50,求OAB的度数.师生分析:已知OAD的度数,要求OAB的度数,只要能求得BAD的度数即可.学生规范板书解题过程.解:四边形ABCD是平行四边形,OA=OC=AC,OB=OD= BD.又OA=OD,AC=BD.四边形ABCD是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形),DAB=90(矩形的四个角都是直角),又OAD=50,OAB=40.设计意图运用矩形的判定与性质解决有关的计算问题,规范解题格式.矩形的判定方法分两类:从四边形来判定和从平行四边形来判定.常用的判定方法有三种: 矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形是矩形;矩形的判定定理:对角线相等的平行四边形是矩形;矩形的判定定理:三个角都是直角的四边形是矩形.1.(2015临沂中考)如图,四边形ABCD为平行四边形,延长AD到E,使DE=AD,连接EB,EC,DB,添加一个条件,不能使四边形DBCE成为矩形的是()A.AB=BEB.DEDCC.ADB=90D.CEDE解析:四边形ABCD为平行四边形,ADBC,且AD=BC,AB=CD,又AD=DE,DEBC,且DE=BC,四边形BCED为平行四边形.A.AB=BE,AB=CD,BE=CD,平行四边形DBCE为矩形,故本选项错误;B.DEDC,EDB=90+CDB90,四边形DBCE不可能是矩形,故本选项正确;C.ADB=90,EDB=90,平行四边形DBCE为矩形,故本选项错误;D.CEDE,CED=90,平行四边形DBCE为矩形,故本选项错误.故选B.2.工人师傅在做门框或矩形零件时,常用测量平行四边形两条对角线是否相等来检测直角的精度,工人师傅依据的几何道理是.解析:工人师傅根据“对角线相等的平行四边形是矩形”,通过测量平行四边形两条对角线是否相等可判断做的门框或零件是否为矩形,进而判断直角的精度.故填对角线相等的平行四边形是矩形.3.(2014娄底中考)如图,要使平行四边形ABCD成为矩形,应添加的条件是(只填一个).解析:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形,可填ABC=90(或其余三个内角中的一个为90);又对角线相等的平行四边形是矩形,可填“AC=BD”.故可填ABC=90(答案不唯一).4.如图所示,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于O,E,F,G,H分别是OA,OB,OC,OD的中点.求证四边形EFGH是矩形.证明:矩形ABCD的对角线AC,BD相交于O,AO=BO=CO=DO.又E,F,G,H分别是OA,OB,OC,OD的中点,EO=FO=GO=HO.四边形EFGH为平行四边形,EG=HF,四边形EFGH是矩形.第2课时1.矩形的判定:有一个角是直角的平行四边形是矩形.对角线相等的平行四边形是矩形.三个角都是直角的四边形是矩形.2.例题讲解例1例2一、教材作业【必做题】教材第55页练习第1,2题;教材第60页习题18.2第1,2,3题.【选做题】教材第61页习题18.2第8题.二、课后作业【基础巩固】1.下列说法错误的是()A.对角线相等的四边形是矩形B.对角线相等的平行四边形是矩形C.有一个角是直角的平行四边形是矩形D.有三个角是直角的四边形是矩形2.在四边形ABCD中,AC和BD的交点为O,则下列条件中不能判定四边形ABCD是矩形的是()A.AB=CD,AD=BC,AC=BDB.AO=CO,BO=DO,BAD=90C.BAD=BCD,ABC+ADC=180,AOB=BOCD.ABCD,AB=CD,BAD=903.如果平行四边形各内角的平分线能够围成一个四边形,则这个四边形是()A.正方形B.矩形C.梯形D.平行四边形4.如图所示,E,F,G,H分别是四边形ABCD的四边中点,要使四边形EFGH为矩形,则四边形ABCD应具备的条件是()A.一组对边平行而另一组对边不平行B.对角线相等C.对角线互相垂直D.对角线互相平分5.要从一张长40 cm,宽20 cm的矩形纸片中剪出长为18 cm,宽为12 cm的矩形纸片,则最多能剪出()A.1个B.2个C.3个D.4个【能力提升】6.如图,在ABC中,ACB=90,CD为AB边上的中线,延长CD到点E,使得 DE=CD.连接AE,BE,求证四边形ACBE为矩形.7.(2015内江中考)如图,将ABCD的边AB延长至点E,使AB=BE,连接DE,EC,BD,DE交BC于点O.(1)求证ABDBEC;(2)若BOD=2A,求证四边形BECD是矩形.8.如图,直线MN经过线段AC的端点A,点B,D分别在NAC和MAC的平分线AE,AF上,BD交AC于点O,如果O是BD的中点,当点O在AC的什么位置时,四边形ABCD是矩形?并说明理由.【拓展探究】9.如图,ABC中,点O是AC边上的一个动点,过点O作直线MNBC,设MN交BCA的平分线于点E,交ACD的平分线于点F.(1)求证OE=OF;(2)当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形?说明理由.【答案与解析】1.A(解析:根据矩形的判定方法进行判断.)2.C(解析:AB=CD,AD=BC,由两组对边分别相等的四边形是平行四边形,知四边形ABCD是平行四边形,又AC=BD,由对角线相等的平行四边形是矩形知ABCD是矩形,故A正确;AO=CO,BO=DO,故四边形ABCD是平行四边形,又BAD=90,故平行四边形ABCD是矩形,故B正确;ABCD,AB=CD,故四边形ABCD是平行四边形,又BAD=90,故平行四边形ABCD是矩形,故D正确.故选C.)3.B(解析:平行四边形相邻两角的平分线相交成直角,根据有三个角是直角的四边形是矩形可判断.故选B.)4.C(解析:由三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半知四边形EFGH是平行四边形,由四边形ABCD的对角线互相垂直可得EFG=90,根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可解答.故选C.)5.C(解析:在矩形纸片的长上依次截取三个12 cm,再在纸片的宽上截取一个18 cm,可知共3个.故选C.)6.证明:在ABC中,ACB=90,CD为AB边上的中线,AD=BD.DE=CD,四边形ACBE为平行四边形,又ACB=90,四边形ACBE为矩形.7.证明:(1)在平行四边形ABCD中,AD=BC,AB=CD,BECD.又AB=BE,BE=DC,四边形BECD为平行四边形,BD=EC.在ABD与BEC中,ABDBEC(SSS).(2)由(1)知四边形BECD为平行四边形,则OD=OE,OC=OB.四边形ABCD为平行四边形,A=BCD,即A=OCD.又BOD=2A,BOD=OCD+ODC,OCD=ODC,OC=OD,OC+OB=OD+OE,即BC=ED,平行四边形BECD为矩形.8.解:O是AC的中点时,四边形ABCD是矩形.理由如下:因为AO=CO,BO=DO,所以四边形ABCD是平行四边形,又FAC=MAC,CAE=CAN,所以FAE=FAC+CAE=(MAC+CAN)=180=90,所以四边形ABCD是矩形.9.(1)证明:MNBC,OEC=BCE.CE平分BCA,BCE=OCE,OEC=OCE.OC=OE.同理可证OC=OF.OE=OF.(2)解:当点O运动到AC中点时,四边形AECF是矩形.理由如下:OA=OC,OE=OF,四边形AECF是平行四边形,又ACF=ACD,ACE=ACB,所以ECF=ACF+ACE=(ACD+ACB)=180=90.四边形AECF是矩形.在课堂教学中,学生学习的积极性的高低,对课堂教学效率的高低有决定性的作用.因此教师不仅要在备课上下工夫,还要在课堂上特别关注学生对数学活动的参与程度,要将自己对学生的殷切期望,用恰到好处的激励评价表达出来,让学生把他们的聪明才智充分地发挥出来,并享受学习中的乐趣.矩形的判定定理学生基本掌握,但综合运用时,仍有困难,要注意加强训练,促进能力的提升.对于数学中的问题,教师不必有问必答.要做到三个“不”:学生能自己说出来的,教师不说;学生能自己学会的,教师不讲;学生能自己做到的,教师不教.尽可能地提供多种机会让学生去理解、感悟、体验,从而提高学生的数学认识,促进学生数学水平的提高.练习(教材第55页)1.解:如果一条对角线用了38盆红花,还需要从花房运来38盆红花,根据矩形的对角线相等,以及此时对角线的交点处不放花可得.如果一条对角线用了49盆红花,还需从花房运来48盆红花,因为在第一条对角线已放49盆,说明对角线的中点已放一盆,则另一对角线的中点就不需要,因此少用一盆.2.解:四边形ABCD是平行四边形,OA=OC,OB=OD.OAB是等边三角形,OA=