四川省成都市高中数学 第7课时 不等式的证法（二）课件 新人教A版选修45.pptVIP

古时候有个人叫王戎 7岁那年的某天 他和小伙伴在路边玩 看见一颗李子树上的果实多得把树枝都快压断了 小伙伴们都跑去摘 只有王戎站着没动 他说 李子是苦的 我不吃 小伙伴摘来一尝 李子果然苦得没法吃 小伙伴问王戎 这就怪了 你又没吃怎么知道李子是苦的啊 王戎说 如果李子是甜的 树长在路边 李子早就没有了 李子现在还这么多 所以啊 李子肯定是苦的 不好吃 王戎推断李子是苦涩的道理和你的方法一样吗 是什么方法 第7课时不等式的证法 二 预学1 反证法 1 反证法在证明的过程中 先假设要证的命题不成立 以此为出发点 结合已知条件 应用公理 定义 定理 性质等 进行正确的推理 得到和命题的条件 或已证明的定理 性质 明显成立的事实等 矛盾的结论 以说明假设不正确 从而证明原命题成立 我们把这种方法称为反证法 前面的比较法 综合法 分析法都是直接证明命题 属于直接证法 而反证法是通过说明假设的不成立来证明原命题成立 属于间接证法 2 反证法适应的题目类型反证法主要适合用于以下两种情况 结论和条件之间的联系不明显 直接证明的线索不清晰 难以入手 直接从正面证明需要分多种情形进行分类讨论 而反面只需研究一种情形或很少的几种情形 如否定型命题 唯一性命题 至多 至少型命题等一般适合用反证法 想一想 用反证法证明 已知a3 b3 2 求证 a b 2 时的假设为 得出的矛盾为 答案 a b 2a3 b3 2 或a3 b3 2 预学2 利用反证法证明不等式的步骤第一步 分清欲证不等式所涉及的条件和结论 第二步 做出与所证不等式相反的假定 第三步 从条件和假定出发 应用正确的推理方法 推出矛盾结果 第四步 断定产生矛盾结果的原因 在于开始所做出的假定不正确 于是原证不等式成立 预学3 放缩法放缩法就是将要证的不等式一边适当地放大 或缩小 使之得出明显的不等量关系后 再应用不等量大小的传递性 使不等式得到证明的方法 这种方法是证明不等式常用的方法 尤其在今后学习高等数学时用处更广泛 解析 第一个不等式成立的原因是将每一个分数的分母减小 从而分数值增大 第二个与第三个等号成立的原因是应用了裂项相消法 第四个不等式成立的原因是进行了放缩 方法指导 1 根据函数f x 的解析式 分别将x 1 2 3代入求得f 1 f 3 f 2 的值 进而求得f 1 f 3 2f 2 的值 2 至少有一个不小于 的反面情况较简单 比较方便证明 故从反面进行证明 即使用反证法 变式训练1 已知a b c 0 ab bc ca 0 abc 0 求证 a b c 0 解析 假设a 0 abc 0 bc 0 又a b c 0 b c a 0 ab bc ca a b c bc 0 与题设矛盾 若a 0 则与abc 0矛盾 必有a 0 同理可证 b 0 c 0 1 反证法是通过证明原命题的等价命题从而证明原命题的 其主要步骤是 提出假设 推出矛盾 肯定结论 当一个命题 正难则反 直接证明的东西较少 较抽象 较困难时 其反面常会较多 较具体 较容易 2 反证法中常见的矛盾形式 1 与已知条件即题设矛盾 2 与假设即反设矛盾 3 与已知的定义 公理和定理矛盾 即得出一个恒假命题 4 自相矛盾 3 放缩法的注意事项 当要证明的不等式中含有分式时 我们把分母放大 则相应的分式的值缩小 反之 若把分母缩小 则分式的值放大 这是一种常用的放缩方法 放缩法放大或缩小的限度不是唯一的 如果用某种放大的办法可以得到欲证结论 那么比此放大更 精细 的放大就应该更能得到所需结论 但是一般来讲 这种 风险 和 难度 是成正比的 放得越宽 能否证出命题的 风险 越大 但相对放大的 难度 就越低 反之 放大越精细 那么能证出最终结论的可能性越大 但是 难度 也相对增大 这其中的平衡就需要从大量练习中去把握 用反证法证明命题 设a b为实数 则方程x2 ax b 0至少有一个实根 时 要做的假设是 a 方程x2 ax b 0没有实根b 方程x2 ax b 0至多有一个实根c 方程x2 ax b 0至多有两个实根d 方程x2 ax b 0恰好有两个实根 解析 因