旋转变换综合教师版本.doc

旋转变换1. 旋转变换的概念：在平面内，将一个图形G绕着一个定点O沿某个方向（顺时针或逆时针）转动一定的角度，得到另一个图形G，这样由图形G到图形G的图形变换叫做旋转。这个定点O叫旋转中心，转动的角称为旋转角。三要素注：旋转变换的三要素：旋转中心，旋转方向，旋转角。2. 旋转变换的性质：（1）旋转前、后的图形全等；（2）对应点到旋转中心的距离相等(意味着：旋转中心在对应点连线段的垂直平分线上)（3）对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等，他们都等于旋转角。三等3. 旋转变换的作图：四部曲（1） 确定旋转中心、旋转方向和旋转角度；（2） 找出能确定图形的关键点；（3） 连结图形的关键点与旋转中心，并按旋转的方向分别将它们转动一个固定的角度，得到此关键点的对应点；（4） 按原图形的顺序连结这些对应点，所得图形就是旋转后的图形。提问：一定的角度的范围？4. 旋转对称图形：如果某图形绕着某一定点旋转一定角度（大于0小于360）后能与自身重合,那么这种图形就叫做旋转对称图形。特殊应用：求角度、求弧长、求面积、证明线段相等、证明角相等、证明位置关系、求函数解析式解题关键：要抓住图形变换过程中的几何不变性即旋转不变性、数值不变性等等1、图1是边长分别为4和3的两个等边三角形纸片ABC和CDE叠放在一起（C与C重合）.（1）操作：固定ABC，将CDE绕点C顺时针旋转30得到CDE，连结AD、BE，CE的延长线交AB于F（图2）；探究：在图2中，线段BE与AD之间有怎样的大小关系？试证明你的结论.（4分）（2）操作：将图2中的CDE，在线段CF上沿着CF方向以每秒1个单位的速度平移，平移后的CDE设为PQR（图3）；探究：设PQR移动的时间为x秒，PQR与ABC重叠部分的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数自变量x的取值范围.（5分）（3）操作：图1中CDE固定，将ABC移动，使顶点C落在CE的中点，边BC交DE于点M，边AC交DC于点N，设AC C=（3090）（图4）；探究：在图4中，线段CNEM的值是否随的变化而变化？如果没有变化，请你求出CNEM的值，如果有变化，请你说明理由.（4分）TS解：（1）BE=AD证明：ABC与DCE是等边三角形ACB=DCE=60 CA=CB，CE=CDBCE=ACD BCEACD BE=AD（也可用旋转方法证明BE=AD）（2）如图在CQT中 TCQ=30 RQP=60QTC=30QTC=TCQQT=QC=x RT=3xRTSR=90 RST=90y=32 (3x)2=(3x)2(0x3)（3）CNEM的值不变 证明：ACC=60MCENCC=120CNCNCC=120 MCE=CNCE=C EMCCCN CNEM=CCEC=2 将两块含30角且大小相同的直角三角板如图1摆放。（1）将图1中绕点C顺时针旋转45得图2，点与AB的交点，求证：；（2）将图2中绕点C顺时针旋转30到（如图3），点与AB的交点。线段之间存在一个确定的等量关系，请你写出这个关系式并说明理由；（3）将图3中线段绕点C顺时针旋转60到（如图4），连结，求证：AB.D解：（1）证明：过点作CA的垂线，垂足为D 易知：CD为等腰直角三角形，DA是直角三角形，且A30，所以 故 （2）解： 过点作C的垂线，垂足为E 易知：E为等腰直角三角形（其中2ACA45） CE是直角三角形，且130，所以故 （3）证明：将图3中线段绕点C顺时针旋转60到，易证：，于是45，故AB.图13已知正方形ABCD的边长AB=k（k是正整数），正PAE的顶点P在正方形内，顶点E在边AB上，且AE=1. 将PAE在正方形内按图1中所示的方式，沿着正方形的边AB、BC、CD、DA、AB、连续地翻转n次，使顶点P第一次回到原来的起始位置.（1）如果我们把正方形ABCD的边展开在一直线上，那么这一翻转过程可以看作是PAE在直线上作连续的翻转运动. 图2是k=1时，PAE沿正方形的边连续翻转过程的展开示意图. 请你探索：若k=1，则PAE沿正方形的边连续翻转的次数n= 时，顶点P第一次回到原来的起始位置.（2）若k=2，则n= 时，顶点P第一次回到原来的起始位置；若k=3，则n= 时，顶点P第一次回到原来的起始位置.图2（3）请你猜测：使顶点P第一次回到原来的起始位置的n值与k之间的关系（请用含k的代数式表示n）.解：（1）12次 （2）24次；12次当k是3的倍数时，n=4k；当k不是3的倍数时，n=12k.4操作：在ABC中，ACBC2，C900，将一块等腰三角形板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点。图，是旋转三角板得到的图形中的3种情况。研究：（1）三角板绕点P旋转，观察线段PD和PE之间有什么数量关系？并结合图加以证明。（2）三角板绕点P旋转，是否能居为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写出PBE为等腰三角形时CE的长）；若不能，请说明理由。（3）若将三角板的直角顶点放在斜边AB上的M处，且AM：MB1：3，和前面一样操作，试问线段MD和ME之间有什么数量关系？并结合图加以证明。解：（1）连结PC，ABC是等腰直角三角形，P是AB的中点， CPPB，CPAB，ACPACB450，ACPB450，又DPCCPEBPEDPCBPECPEDPCBPEPCDPBEPDPE（2）共有四种情况， 当点C与点E重合，即CE0时，PEPB CE2，此时PBBE 当CE1时，此时PEBE 当E在CB的延长线上，且CE2时，此时PBEB（3）MD：ME1：3过点M作MFBC，垂足分别是F、HMHAC，MFBC四边形CFMH是平行四边形，C900，CFMH是矩形，FMH900，MFCE5、已知，点P是正方形ABCD内的一点，连PA、PB、PC.图1图2（1）将PAB绕点B顺时针旋转90到PCB的位置（如图1）.设AB的长为a，PB的长为b（ba），求PAB旋转到PCB的过程中边PA所扫过区域（图1中阴影部分）的面积；若PA=2，PB=4，APB=135，求PC的长.（2）如图2，若PA2+PC2=2PB2，请说明点P必在对角线AC上.解：（1）S阴影=连结PP，证PBP为等腰直角三角形，从而PC=6;（2）将PAB绕点B顺时针旋转90到PCB的位置，由勾股逆定理证出PCP=90，再证BPC+APB=180，即点P在对角线AC上. 6如图1-2-1,直线y=2x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点,把OAB绕点O顺时针旋转90得到OCD.图1-2-1(1)求经过A、B、D三点的抛物线的解析式.(2)在所求抛物线上是否存在点P,使得直线CP把OCD分成面积相等的两部分?如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.解：(1)由已知可知A(-2,0)、B(0,4)、C(0,2)、D(4,0), 设经过A(-2,0)、B(0,4)、D(4,0)的抛物线为y=ax2+bx+c.则图1-2-2解得a=-,b=1,c=4.抛物线的解析式为y=-x2+x+4. (2)若存在点P满足条件,则直线CP必经过OD的中点